變量對(duì)稱性問題的計(jì)算分析

汲守峰，劉 卉

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

變量對(duì)稱性問題的計(jì)算分析

汲守峰，劉 卉

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

高等數(shù)學(xué)中很多問題的求解涉及函數(shù)的多個(gè)自變量，如果某幾個(gè)自變量具有奇偶性或定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱，就可以利用變量的對(duì)稱性簡化計(jì)算過程。

函數(shù)奇偶性；變量對(duì)稱性；簡化計(jì)算

0 引言

高等數(shù)學(xué)中的很多問題在計(jì)算時(shí)若考慮變量的對(duì)稱性會(huì)大大簡化計(jì)算過程。在多元函數(shù)微分學(xué)中，自變量之間若具有對(duì)稱性，則函數(shù)對(duì)處于對(duì)稱位置的自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)其結(jié)果類似[1]。多元函數(shù)積分學(xué)中，某個(gè)自變量在積分區(qū)間對(duì)稱時(shí)，以定積分關(guān)于自變量的對(duì)稱性或奇偶性為基礎(chǔ)[2]，也會(huì)減小計(jì)算的難度。在應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法[3]計(jì)算有多個(gè)變量問題的條件極值時(shí)，對(duì)變量進(jìn)行對(duì)稱性分析可有效簡化方程組[4]，從而簡化計(jì)算過程。本文通過以下幾個(gè)實(shí)例，分析變量對(duì)稱性問題的方便解法，并應(yīng)用Matlab軟件驗(yàn)證結(jié)論。

1 對(duì)稱性問題的計(jì)算分析

1.1 利用對(duì)稱性求解拉格朗日乘數(shù)法目標(biāo)函數(shù)的極值

對(duì)目標(biāo)函數(shù)的自變量加以限制的條件極值問題，通過引入拉格朗日函數(shù)的方法，為找到內(nèi)部可能存在的最值點(diǎn)提供了可行的解決辦法。但在對(duì)各個(gè)自變量求偏導(dǎo)得到的方程組求解時(shí)，可能會(huì)因變量個(gè)數(shù)過多導(dǎo)致求解困難，而多數(shù)條件極值問題其變量之間往往具有對(duì)稱性，考慮對(duì)稱性可充分簡化方程組及減少變量個(gè)數(shù)，使計(jì)算變得簡單。

例1 求函數(shù)f(x，y，z)=x4+y4+z4在滿足條件xyz=8時(shí)的極值。

解 引入拉格朗日函數(shù)：f(x，y，z，k)=x4+y4+z4+k(xyz-8)，

利用Matlab R2012a Command Window命令窗口獲得該非線性方程組的解：

>>syms k x y z real

[k，x，y，z]=solve('4*x^3+k*y*z=0'，'4*y^3+k*x*z=0'，'4*z^3+k*x*y=0'，'x*y*z=8')

k=vpa(k，3)，x=vpa(x，3)，y=vpa(y，3)，z=vpa(z，3)

運(yùn)行結(jié)果：

k=

-8.0

-8.0

-8.0

-8.0

x=

2.0

-2.0

-2.0

2.0

y=

2.0

-2.0

2.0

-2.0

z=

2.0

2.0

-2.0

-2.0

得到4個(gè)駐點(diǎn)(x，y，z)為C1(2，2，2)，C2(-2，-2，2)，C3(2，-2，-2)，C4(-2，2，-2)，函數(shù)值均為48。根據(jù)對(duì)稱性，只需對(duì)其中一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行說明，比如C1(2，2，2)，f(C1)=48。

考慮第一卦限在曲面xyz=8上，

所以函數(shù)h(x，y)的最小值只能在閉區(qū)域D的內(nèi)部取得，而其內(nèi)部只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)(2，2)，故(2，2)是函數(shù)h(x，y)的極小值點(diǎn)，即P1(2，2，2)是f(x，y，z)的極小值點(diǎn)。

由變量的對(duì)稱性可知C2(-2，-2，2)，C3(2，-2，-2)，C4(-2，2，-2)也是f(x，y，z)的極小值點(diǎn)，極小值為48。

1.2 利用變量對(duì)稱性求超越方程根的個(gè)數(shù)

當(dāng)x≥2時(shí)，易知f(x)≥0，那么只需討論f(x)在[0，2]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

利用Matlab R2012a Command Window命令窗口獲得該超越方程的正解。

設(shè)函數(shù)y=x^1/6+x^1/4+x^1/2-2*cos(x)，求其正根

>>p=2；

y=inline('x^1/6+x^1/4+x^1/2-p*cos(x)'，'x'，'p')；

[x，yx]=fzero(y，[0，5]，[]，p)

運(yùn)行結(jié)果：

x=

1.0623

yx=

-1.1102e-16

再輸入命令：

>>x=-2∶0.1∶2

y=abs(x)^1/6+abs(x)^1/4+abs(x)^1/2-p*cos(x)

plot(x，y，'-ro')

grid on

title('y的函數(shù)圖像')

xlabel('x')

ylabel('y')

legend('y=abs(x)^1/6+abs(x)^1/4+abs(x)^1/2-2*cosx')

輸出圖1。

圖1 函數(shù)y在區(qū)間[-2，2]上的圖像

1.3 具有對(duì)稱性的二重積分的計(jì)算

若D關(guān)于x(y)軸對(duì)稱，D1是D位于x(y)軸上(右)方的部分，f(x，y)是D上連續(xù)函數(shù)，則

解 原積分區(qū)域D不具有對(duì)稱性，添加輔助線y=-sinx，將D分成兩部分D1，D2(見圖2)，對(duì)于D1：f(x，y)=f(x，-y)，是關(guān)于y的偶函數(shù)；對(duì)于D2：f(x，y)=f(-x，y)，是關(guān)于x的偶函數(shù)。

圖2 積分區(qū)域D的圖形

因?yàn)閥xf(x2+y2)為y或x的奇函數(shù)，所以

通過添加輔助線使得積分區(qū)域變成關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的區(qū)域，再根據(jù)被積函數(shù)的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)的奇偶性進(jìn)行運(yùn)算，明顯簡化了運(yùn)算過程。

1.4 利用對(duì)稱性計(jì)算曲面積分

若曲面∑關(guān)于xoy(或yoz或zox)坐標(biāo)面對(duì)稱，曲面∑1是曲面∑位于xoy上方(yoz前方或zox右方)的部分，f(x，y，z)在曲面∑上連續(xù)，則

由x，y，z的對(duì)稱性，有

所以I=I1+I2+I3+I4=

2 結(jié)語

利用變量對(duì)稱性對(duì)求解的問題進(jìn)行簡化計(jì)算，除上述討論情形外，還可以應(yīng)用于三重積分、對(duì)弧長的曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分及計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)等方面。若不考慮變量的對(duì)稱性直接計(jì)算，則過程較為繁瑣，同時(shí)也容易出錯(cuò)，而利用變量的對(duì)稱性可使計(jì)算過程大幅簡化，也便于檢查。

[1] 廖為鯤.淺談具有對(duì)稱性的二重積分的解法[J].科教導(dǎo)刊，2013(4)：172.

[2] 楊羅輝，張玲.一類二重積分的簡便算法[J].高等函授學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005(19)：27-30.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].7版.北京：高等教育出版社，2007：116-121.

[4] 劉秀君.考研高等數(shù)學(xué)選講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013：61-62.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

An Analysis and Calculation of Variable Symmetry

JI Shou-feng， LIU Hui

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

Many problems in higher mathematics are related to multiple variables of functions. If certain independent variables have parity or the definition domain on coordinate origin， the axes， and the coordinate plane are symmetrical， simplified calculation can be achieved through variable symmetry.

parity of function； variable symmetry； simplified calculation

O172.2

A

1672-349X(2015)05-0011-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.005