Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈的射線常返性

范振耀

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈的射線常返性

范振耀

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

給出了Cayley樹邊界?TC，2的集合形式，研究在不限定根頂點O的條件下，Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈的射線常返性，得出了Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈或者強常返，或者非常返的結(jié)論。

Cayley樹；樹指標(biāo)集馬氏鏈；射線常返性

0 引言

樹指標(biāo)集隨機過程是近年發(fā)展起來的概率論的一個新的研究方向。Spitzer首先研究了Markov隨機場[1]，Berger和葉中行研究了齊次樹圖上平穩(wěn)隨機場熵率的存在性[2]，楊衛(wèi)國利用分析方法研究了樹指標(biāo)集馬氏鏈一般的強大數(shù)定律，給出了齊次樹指標(biāo)集馬氏鏈的若干極限性質(zhì)[3]，黨慧、楊衛(wèi)國研究了二叉樹上分支馬氏鏈定義的等價形式，并指出，在二叉樹情況下，樹指標(biāo)集馬氏鏈?zhǔn)翘厥獾姆种яR氏鏈[4]。樹指標(biāo)集馬氏鏈的概念是Benjamin.I和Peres首先提出來的，其本質(zhì)是Markov隨機場，他們研究了樹指標(biāo)集馬氏鏈常返和射線常返的性質(zhì)，是假定根頂點O在確定的條件(T0≡x0，x0∈G，G∈N)下討論的，并且文章提出了若干問題，其中一個問題是樹指標(biāo)馬氏鏈的常返性是否依賴于根頂點x0[5]。范振耀、金少華、邊靜指出在不限定根頂點O的條件下，有限狀態(tài)集合樹指標(biāo)集馬氏鏈或者非常返，或者強常返，并給出了在有限狀態(tài)空間下樹指標(biāo)集馬氏鏈的充分條件[6]。本文將在不限定根頂點O條件下，論證Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈或者強射線常返性，或者非射線常返性。

1 主要結(jié)論

對于Cayley樹TC，2第n層共有2n個頂點(n≥0)，設(shè)σn為其中任意一個，記作A={σn}。

Step1：若S(σn-1)=σn，則A={σn-1，σn}；

Step2：若S(σi)=σj，則A={σn，σn-1，…，σj，σi}；

Step3：若σi≠0，重復(fù)Step2，若σi=0，則A={σn，σn-1，…，σ1，σ0}，其中σ0為根頂點，σi為第i層上的頂點。

所以{Sn(k，ω)，F(xiàn)n，n≥1}為一個下鞅。

由定理可知，在不限定初始狀態(tài)下，Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈或者非常返，或者強常返。即我們可以按照常返性將可列狀態(tài)G分為兩個集合G1，G2，當(dāng)初始狀態(tài)選G1中元素時，Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈?zhǔn)菑姵７档模?dāng)初始狀態(tài)選G2時，Cayley樹指標(biāo)集馬氏鏈?zhǔn)欠浅７档摹?/p>

[1] Spitzer F. Markov random fields on an infinite tree[J]. Ann Probab，1975(3)：387-398.

[2] Berger T，Ye Z. Entropic aspects of random fields on trees[J]. IEEE Trans inform Theory，1990，36(5)：1006-1018.

[3] Yang Weiguo. Some limit properties for Markov chains indexed by a homogeneous tree[J]. Statistics & Probability Letters，2003，65(3)：241-250.

[4] 黨慧，楊衛(wèi)國.二叉樹上分支馬氏鏈的等價性質(zhì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2014，30(5)：491-496.

[5] Benjamini I， Peres Y. Markov chains indexed by trees[J].Annals of Probability，1994，22(1)：219-243.

[6] 范振耀，金少華，邊靜.樹指標(biāo)集馬氏鏈的常返性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2009，39(18)：221-223.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

On the Ray Recurrence of the Markov Chains of the Cayley Tree Index Set

FAN Zhen-yao

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper obtains the set of the Cayley tree boundary of ?TC，2，studies the ray recurrence of the Markov chains of Cayley tree index set under the condition of unlimited root vertex， and concludes that the Markov chains of Cayley tree index show either strong recurrence or nonrecurrence.

Cayley tree；Markov chains of tree index set； ray recurrence

O211.62

A

1672-349X(2015)06-0009-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.004