離散鞅論在多期期權(quán)定價(jià)中的推廣

周一美

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

離散鞅論在多期期權(quán)定價(jià)中的推廣

周一美

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

研究了離散鞅論在多期期權(quán)定價(jià)下的推廣。通過(guò)假設(shè)前提，確定了多期期權(quán)模型的結(jié)構(gòu)，分析其歐式期權(quán)的性質(zhì)，并運(yùn)用反證法和單期模型的相關(guān)理論得出了多期期權(quán)下的關(guān)系式。

離散鞅論；期權(quán)定價(jià)；多期期權(quán)定價(jià)；歐式期權(quán)

近年來(lái)，期權(quán)模型的應(yīng)用研究受到國(guó)內(nèi)廣大學(xué)者的關(guān)注，楊建奇、肖慶憲對(duì)期權(quán)定價(jià)的方法和模型進(jìn)行了綜合描述[1]，付薔對(duì)鞅理論及其在某些金融模型中的應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)研究[2]。在國(guó)外，Black F， Scholes M等將B-S模型作為期權(quán)定價(jià)中的經(jīng)典方法，對(duì)其假設(shè)的局限性和模型本身參數(shù)估計(jì)中所存在的偏差做出了反思[3-4]。金融學(xué)家們?cè)诖嘶A(chǔ)上建立了資產(chǎn)定價(jià)基本定理[5]。本文將對(duì)單期期權(quán)模型進(jìn)行推廣，以得到離散鞅論在多期模型下的關(guān)系式。

1 期權(quán)定價(jià)的多期模型

N期(多期)模型的假設(shè)前提：金融市場(chǎng)是無(wú)套利市場(chǎng)，N期股票收益是獨(dú)立分布的。選擇X=(0，1)N作為N期模型的適應(yīng)樣本空間，樣本點(diǎn)為x=(x1，x2，x3，…，xN)，x∈X。n≤N時(shí)，Sn是期權(quán)到期時(shí)刻為n時(shí)的股票價(jià)格，并由x*=(x1，x2，x3，…，xN)決定。

顯然Sn(x)≡Sn(x*)，則股票價(jià)格變化為：

a，b，p的定義同單期模型，且滿足0<1+r

定義空間X上的概率測(cè)度P為：

設(shè)不同的期權(quán)到期時(shí)刻為0，1，2，…，N，令V1，V2，V3，…，VN為股票價(jià)格是S1，S2，S3，…，SN，且期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K時(shí)的歐式期權(quán)價(jià)格，則有

2 將單期模型中的方法引入到多期模型中

設(shè)一個(gè)N期模型的資產(chǎn)組合系數(shù)為{(αn，βn，γn)，n=0，1，2，…，N}，αn，βn，γn是定義在X={0，1}N上的隨機(jī)變量，且x=(x1，x2，x3，…，xN)。

其中：

定理1 在期權(quán)到期時(shí)刻為1，2，3，…，N時(shí)，歐式期權(quán)價(jià)值分別為V1，V2，V3，…，VN，則有遞推關(guān)系式：

(1)

證明 與單期模型中的證明方法相同，首先用反證法證明，假設(shè)ε=Vn-1-(βn-1Sn-1+γn-1Bn-1)>0。

(2)

在t=n時(shí)刻的財(cái)富過(guò)程是：

(3)

將Vn=g代入式(3)中得：

由于對(duì)所有的x∈X，Bn，Bn-1均為正，故Wn(x)>0，與無(wú)套利前提矛盾。

故Vn-1-(βn-1Sn-1+γn-1Bn-1)=0。

將βn-1，γn-1代入后得到期權(quán)的價(jià)格遞推關(guān)系式：

(4)

以此類推分別求出Vi-3，Vi-4，…，V0。

故期權(quán)的初始價(jià)格滿足：

[1] 楊建奇，肖慶憲.期權(quán)定價(jià)的方法和模型綜述[J].商業(yè)時(shí)代，2008(16)：65-81.

[2] 付薔.鞅理論及其在某些金融模型中的應(yīng)用[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2012.

[3] Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637-659.

[4] Harrison J M， Kreps D M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets[J]. Journal of Economic Theory，1979，20：381-408.

[5] 邵宇.微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社有限公司，2003：240-243.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

Application of Discrete-time Martingale to Multi-period Option Pricing

ZHOU Yi-mei

(College of Mathematics and Physics， Bohai University， Jinzhou 121013， China)

In this paper， the authors study the promotion of discrete-time martingale theory in multi-period option pricing， determine the structure of the multi-stage option model by assuming the premise， analyze the nature of the European option， and obtain the relationship under multi-period option with reductio ad absurdum and the single-phase model.Key Words： discrete-time martingale； option pricing； multi-period option pricing； European option

O211.9

A

1672-349X(2015)06-0007-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.003