無限維系統(tǒng)中的量子糾錯定理

王 麗,孫凡果,賀 衎

(太原理工大學 數學學院,太原 030024)

無限維系統(tǒng)中的量子糾錯定理

王 麗,孫凡果,賀 衎

(太原理工大學 數學學院,太原 030024)

信息在傳輸過程中，經常會受到噪聲的影響。為了避免噪聲的影響，就需要對量子信息進行糾錯。 量子糾錯定理描述量子信道可糾錯的充分必要條件。但目前的糾錯定理基于有限維量子系統(tǒng)給出。 本文研究無限維量子糾錯定理，給出量子信道具有有限維糾錯碼的充要條件。

量子信道;量子糾錯;編碼

在量子力學中,一個量子系統(tǒng)由復希爾伯特空間H表示。一個量子態(tài)可以表示成一個跡為1的正算子ρ.用B(H)表示所有有界線性算子的全體,T(H)表示所有跡類算子的全體。跡范數定義為

如果ρ2=ρ,則ρ為純態(tài);如果ρ2≠ρ,則ρ為混合態(tài)。用S(H)表示復希爾伯特空間H上所有態(tài)的全體。通過量子糾錯可以避免在量子信息傳輸過程中噪聲和其它不必要的干擾。量子糾錯理論發(fā)展成了類似于噪聲信道的經典編碼[2-4,7-9]并且一些研究人員開發(fā)出了優(yōu)化的量子糾錯理論[5-6,10-12]。

量子信道ε:T(H)→T(H)是一個完全正的保跡線性映射。在文獻[13]中討論了無限維系統(tǒng)的量子信道表示量子信道ε的算子和表示為

1 主要結論和證明

設C是復希爾伯特空間H的子集, 并且P是H到C上的正交投影, 如果存在一個量子信道R:T(H) →T(H) 使得

R°ε(ρ)=ρ.

對所有滿足ρ=PρP的ρ∈T(H)都成立,則C是信道ε上的一個量子糾錯碼(QECC)。下面的定理是主要結論。

PEi?EjP=αijP.

式中,D=(αij)∈T(l2)是一個密度算子。

由上述定理,得到下面推論。Mn代表n階矩陣。

PEi?EjP=αijP.

式中:D=(αij)是一個正矩陣。

為證明定理1,需要下面引理。

則

1)Φ是正的當且僅當對所有|ψ〉∈Η,存在壓縮矩陣Ω=(ωji(|ψ〉))j,i使得

C|ψ〉=Ω(|ψ〉)A|ψ〉 ;

2)Φ是完全正的當且僅當存在壓縮矩陣Ω=(ωji)j,i∈Β(l2)使得

C=ΩΑ.

式中：A=(A1,A2,…,An,…)T;C=(C1,C2,…,Cn,…)T;ΩΑ=(ωjiI)A=(Ω?I)A.

引理2的證明 定義Φ=Φ1-Φ2,Ψ=Φ2-Φ1。顯然Φ和Ψ是從T(H)到T(K)的線性映射。 我們知道T(H)的對偶空間是B(H),用Φ*和Ψ*∶B(K)→B(H)分別表示Φ和Ψ的共軛, 則對任意X∈B(K)

如果Φ1=Φ2, 那么Φ*=0,Ψ*=0, 這說明Φ*和Ψ*是從B(K)到B(H)的完全正的線性映射。 所以存在壓縮算子Ω=(ωij)和Γ=(γji)使得Α=ΩΒ,Β=ΓΑ.

通過引理1,存在復數βkj使得

RkEjP=βkjP

對所有1≤j≤∞,1≤k≤∞都成立。注意

(αijp)=D?P.

因此D≥0.

通過替換

由算子的極分解,存在算子Uk使得

對任意滿足ρ=PρP的ρ,

所以,C是ε的量子糾錯碼。證明完成。

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(編輯：劉笑達)

Theory of Quantum Error-Correction in Infinite-Dimensional Quantum System

WANG Li ，SUN Fanguo，HE Kan

(CollegeofMathematics，TaiyuanUniversityofTechnology，Taiyuan030024，China)

Information is often affected by noise during transmission. In order to avoid the effect of noise,it is needed to correct the quantum information.The current quantum error-correction theory gives the sufficient and necessary conditions for the error-correction of quantum channel in finite dimensional quantum systems. In this paper,the quantum error-correction theory in infinite dimensional quantum systems was studied,and the necessary and sufficient conditions were given for the error-correction of quantum channel with finite dimensional error correcting codes.

quantum channel;quantum error-correction;infinite dimensional quantum systems

1007-9432(2015)04-0480-03

2015-01-10

國家自然科學基金項目資助：糾纏破壞信道和量子測量的代數結構和幾何特征(11201329)

王麗(1980-)，女，山西運城人，博士，主要從事算子代數與量子力學研究，(Tel)15035115553

賀衎，男，副教授，(Tel)13803496971

O177.1

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.04.024