基于三維空間均勻矩形陣列的MIMO系統(tǒng)研究*

劉 鵬，周 杰，黃 雷

（南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210044）

0 引言

在無(wú)線通信系統(tǒng)中天線陣列可以用來(lái)提升系統(tǒng)容量和信號(hào)質(zhì)量，所以角度參數(shù)對(duì)天線陣列性能的影響很重要。波達(dá)信號(hào)的角域包括水平方位到達(dá)角（Azimuth of Arrival，AOA）和俯仰角（Elevation of Arrival，EOA）。 文獻(xiàn)[1]中研究包含三維(three Dimensional，3D)天線陣列方法，假設(shè)方位到達(dá)角 AOA在[0，2π]上均勻分布，仰角則是不均勻地分布在水平面上。文獻(xiàn)[1]中沒有給出與水平方位到達(dá)角AOA、俯仰角EOA、天線陣列幾何相關(guān)的閉合解析式。文獻(xiàn)[2]中研究表明大約65%的入射信號(hào)相對(duì)于水平方位角平面仰角大于 10°。文獻(xiàn)[3]中提到室內(nèi)到室外幾種環(huán)境中平均仰角擴(kuò)展為9°。文獻(xiàn)[4]研究表明均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）和均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）下均勻分布和拉普拉斯分布的到達(dá)角概率分布函數(shù)和空間相關(guān)性函數(shù)，結(jié)果受限于方位平面。本文將研究方位到達(dá)角AOA和仰角EOA在均勻矩形陣列（Uniform Rectangular Array，URA）下對(duì)空間相關(guān)性的影響。

本文介紹了定向信道模型和均勻矩形陣列導(dǎo)向矢量（Steer Vector，SV），推導(dǎo)出在 3D均勻矩形陣列多種功率譜分布下空間衰落相關(guān)性的封閉形式表達(dá)式，分析AOA、EOA、方位角擴(kuò)展(Azimuth Spread，AS)、俯仰角擴(kuò)展(Elevation Spread，ES)及陣元間距對(duì)相關(guān)性的影響。采用多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法對(duì)MIMO系統(tǒng)波達(dá)信號(hào)方向進(jìn)行空間譜估計(jì)，推導(dǎo)了多種天線陣列空間譜通用公式。本文分析可以應(yīng)用于多輸入多輸 出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)容量分析以及MIMO系統(tǒng)的波達(dá)信號(hào)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)。

1 多天線信道模型

使用非頻率選擇性瑞利衰落信道模型分析天線陣列性能。信道脈沖響應(yīng)表示為[5]：

其中，J是發(fā)射端天線總數(shù)量，aj(t)是發(fā)射端第j個(gè)天線復(fù)振幅，α(φj，θj)是均勻矩形陣列入射信號(hào) 矢量 ，這里 0≤φj＜2π，0≤θj＜π。 如圖 1 所示，φj和 θj是發(fā)射端第j個(gè)天線的水平方位到達(dá)角和俯仰角。圖1坐標(biāo)系中xoy平面上設(shè)定一個(gè)N×P的均勻矩形天線陣列，入射信號(hào)矢量可以表示為[6]：

其中 μ=2πdxcosφsinθ/λ，υ=2πdysinφsinθ/λ，αN(μ)=[1，ejυ，…，ej(N-1)μ]T，αP(υ)=[1，ejυ，… ，ej(P-1)υ]T，[]T代表 轉(zhuǎn)置符號(hào)，λ是波長(zhǎng)。標(biāo)量dx和dy分別是天線陣元與x軸和y軸的平行間距。指數(shù)n和p表示天線陣元位于均勻矩形陣列 URA第n行第p列，表示為(n，p)。

圖1 均勻線性陣列URA三維空間接收模型

2 均勻矩形陣列空間衰落相關(guān)性

下面討論在天線陣列為3D均勻矩形陣列時(shí)，均勻分布和高斯分布情況下的空間相關(guān)性。在均勻矩形陣列URA下，(n，p)和(m，q)兩陣元之間空間相關(guān)性表示為：

E[g]是期望運(yùn)算符，上標(biāo)*表示共軛復(fù)數(shù)，αnp(φ，θ)表示為(n，p)天線的入射信號(hào)。p(φ，θ)為接收端到達(dá)角概率分布密度函數(shù)，假設(shè)AOA和EOA是非相關(guān)的，函數(shù)p(φ，θ)可以表示為p(φ)，p(θ)。

2.1 均勻分布情況下空間衰落相關(guān)性

假設(shè)波達(dá)信號(hào)水平方位角AOA和俯仰角EOA是均勻角能量分布函數(shù)。其函數(shù)表達(dá)式為：

式中，2Δφ是 AOA方位角的范圍，2Δθ是俯仰角 EOA的范圍。根據(jù)式(3)可以進(jìn)一步展開得到：

2.2 高斯分布情況下空間衰落相關(guān)性

假設(shè)波達(dá)信號(hào)水平方位角AOA和俯仰角EOA遵循高斯角能量分布[7]。其函數(shù)表達(dá)式為：

其中，σg是功率譜分布標(biāo)準(zhǔn)差，Cg是分布密度函數(shù)歸一化常數(shù)。φφ是水平方位中心到達(dá)角，φθ是俯仰中心到達(dá)角。根據(jù)式（3）可以得到均勻矩形陣列 URA下，入射信號(hào)遵循高斯角能量分布時(shí)，兩陣元之間空間相關(guān)性表達(dá)式：

3 波達(dá)信號(hào)空間譜分析

空間譜是陣列信號(hào)處理中的重要概念，是信號(hào)在空間各個(gè)方向上的能量分布。本文利用MUSIC算法來(lái)分析URA下入射信號(hào)空間譜與其他天線陣列比較情況。MUSIC算法是利用接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分離信號(hào)子空間和噪聲子空間，通過(guò)正交性來(lái)構(gòu)成空間掃描譜估計(jì)參數(shù)。假設(shè)有n信號(hào)入射到陣元數(shù)為p的天線陣列，n≤p，則其接收信號(hào)表達(dá)式為：

這 里 ，α(φi，θi)是 天 線 陣 列 信 號(hào) 導(dǎo) 向 矢 量 ，si(t)是 獨(dú)立同分布窄帶隨機(jī)信號(hào)，n(t)是均值為0、方差為σ2平穩(wěn)高斯白噪聲。天線陣列為均勻線性陣列和均勻圓形陣列時(shí)，其入射信號(hào)導(dǎo)向矢量分別表示為：

MIMO天線陣列信號(hào)自相關(guān)矩陣Ryy可表示為：

對(duì)式（14）進(jìn)行特征分解可以得到：

式中，Us是由大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即信號(hào)子空間，而Un是由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。假設(shè)信號(hào)子空間與噪聲子空間正交，且波達(dá)信號(hào)為弱相關(guān)或不相關(guān)，通過(guò)MUSIC算法得到空間譜公式為[8]：

4 數(shù)值結(jié)果與分析

圖2為入射信號(hào)遵循均勻分布時(shí)，俯仰角EOA和陣元間距對(duì)陣元(1，1)和陣元(2，2)之間空間相關(guān)性的影響。 設(shè)定 φ0和 θ0取 90°，AS為定值時(shí)，取 ES為不同值，比較兩個(gè)陣元之間相關(guān)性對(duì)于陣元間距的變化。隨著ES的增大，兩陣元間相關(guān)性隨之減小，隨著陣元間距的增大，空間相關(guān)性減小。

圖3所示為方位到達(dá)角AOA和陣元間距對(duì)兩陣元間空間相關(guān)性的影響。 設(shè)定 φ0和 θ0取 90°，ES為定值時(shí)，取AS為不同值，比較兩個(gè)陣元之間的相關(guān)性相對(duì)于陣元間距的變化。從圖中可以明顯看出，隨著AS的增大，兩陣元之間的相關(guān)性隨之減小，同樣隨著陣元間距的增大，空間相關(guān)性減小。

圖2 均勻分布下AS=0°時(shí)d/λ和ES對(duì)空間衰落相關(guān)性的影響

圖3 均勻分布下ES=0°時(shí)d/λ和AS對(duì)空間衰落相關(guān)性的影響

圖4所示為入射信號(hào)遵循高斯分布時(shí)，方位到達(dá)角AOA和陣元間距對(duì)兩陣元間空間相關(guān)性的影響。當(dāng)AS為0°時(shí)，取ES為不同值，比較兩個(gè)陣元之間的相關(guān)性相對(duì)于陣元間距的變化。從圖中可以看出隨著ES的增加空間相關(guān)性減小。

圖4 高斯分布下AS=0°時(shí)d/λ和ES對(duì)空間衰落相關(guān)性的影響

如圖5所示，入射信號(hào)遵循高斯分布時(shí)，方位到達(dá)角AOA和陣元間距對(duì)兩陣元之間的空間相關(guān)性的影響。當(dāng) ES為 0°時(shí)，取 AS為不同值，可以看出隨著AS的增加，空間衰落相關(guān)性下降的更快，結(jié)論與均勻分布情況下得出的結(jié)論一致。

圖5 高斯分布下ES=0°時(shí)d/λ和ES對(duì)空間衰落相關(guān)性的影響

圖6 均勻線性陣列下空間譜

圖7 均勻圓形陣列下空間譜

圖8 均勻矩形陣列下空間譜

如圖6～圖8所示為MIMO天線陣列在分別采用ULA、UCA和URA情況下的空間譜分析仿真結(jié)果。假設(shè)有9個(gè)天線陣元，ULA陣元間距為d=0.5λ，UCA陣元半徑r=0.5λ，URA陣元間距為dx=dy=0.5λ。 在到達(dá)角參數(shù) φ和θ取相同值的情況下，入射信號(hào)在三維空間中進(jìn)行定位時(shí)，會(huì)出現(xiàn)相位模糊情況。圖6所示ULA空間為非均勻性，方向選擇性強(qiáng)，所以波達(dá)信號(hào)的相位模糊比較嚴(yán)重，出現(xiàn)許多的MUSIC偽譜峰值。在圖7和圖8中可以看出，UCA和URA情況下相位模糊情況比ULA減弱，在θ角測(cè)向時(shí)可能出現(xiàn)一個(gè)偽譜峰值。所以分析空間譜時(shí)采用UCA和URA會(huì)得到更好的效果，趨向于無(wú)模糊定位。

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)了三維多徑信道中均勻矩形陣列URA在多種角能量分布下的空間衰落相關(guān)性解析公式，分析AOA、EOA、AS、ES以及陣元間距對(duì)空間衰落相關(guān)性的影響。采用多重信號(hào)分類MUSIC算法對(duì)MIMO系統(tǒng)波達(dá)信號(hào)方向進(jìn)行空間譜估計(jì)，推導(dǎo)了多種天線陣列空間譜通用公式。通過(guò)計(jì)算機(jī)程序模擬仿真驗(yàn)證了分析結(jié)果，仿真結(jié)果表明方位角擴(kuò)展AS和仰角擴(kuò)展ES是天線相關(guān)性的主要決定因素，空間衰落相關(guān)性隨著AS和ES的增加而減小。當(dāng)AS和ES增加同樣角度時(shí)，在AS增加的情況下，空間衰落相關(guān)性下降的更快，表明了AS對(duì)空間相關(guān)性影響更大。仿真結(jié)果還表明，采用同樣的參數(shù)情況下估計(jì)MIMO系統(tǒng)空間譜，均勻矩形陣列URA相對(duì)于ULA和UCA更有優(yōu)勢(shì)。

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