極限（1+）x=e 的證明研究

吳曉麗

（江蘇省常州市建東職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

極限的定義及兩個重要極限是高等數(shù)學(xué)極限一章中的重要內(nèi)容，從表面上看，兩個重要的極限解決了某些類型的極限的求法，但是這兩個重要極限是高度抽象的，它們的意義不容忽視。由于大部分書都將兩個重要極限的應(yīng)用作為重點來講， 但我們也不能忽視對兩個極限本身的證明。 作為學(xué)生思維方法的拓展，這兩個極限本身的證明就意義重大。 對第二個重要極限的證明，前人也有許多的研究，本文就第二個重要的極限的證明，給出了自己的方法。

對第二個重要極限的證明大部分書中采用的方法不外乎兩種，一是列出數(shù)值表觀察其變化趨勢法；二是采用牛頓二項式定理展開，用單調(diào)有界來證明。 當(dāng)然也有其他的證明方法，如導(dǎo)數(shù)定義法、無窮小量法、洛必達法則法等。大一學(xué)生剛剛從高中進入大學(xué)，初等數(shù)學(xué)的印象還在，用初等數(shù)學(xué)的方法證明，學(xué)生會更好地理解這個極限。 下面我們采用初等數(shù)學(xué)的方法——構(gòu)造函數(shù)的方法來證明此極限。

首先不用證明給出下列幾個定理。

定理1：（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理2：（夾逼準(zhǔn)則）若x∈N（x＾0，δ）（其中δ 為某個正常數(shù)）時，有

下面用函數(shù)構(gòu)造法證明：

故有g(shù)（x）＞0 即f＇（x）＞0

故數(shù)列｛an｝=｛（1+）n｝是單調(diào)遞增數(shù)列，又a1=2≤an=（1+）n

即數(shù)列｛an｝=（1+）n｝單調(diào)遞增有界，故（1+）n存在且（1+）n=e，從而極限（1+）x=e。

令y=-x，x→-∞，y→+∞

［1］甄海燕.兩個重要極限的一種證明方法［J］.高師理科學(xué)刊，2013（02）.

［2］葛亞平，張海燕，陳文亞.應(yīng)用數(shù)學(xué)［M］.1 版.北京：高等教育出版社，2014.