具有奇異勢(shì)的擬線性分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程解的爆破性

李建軍,王看看,徒君

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 阜新 123000)

1.引言

分?jǐn)?shù)階Laplace算子是一類非局部橢圓算子,它在物理現(xiàn)象,反常物理現(xiàn)象中運(yùn)用廣泛,而且分?jǐn)?shù)階Laplace算子比經(jīng)典Laplace算子能更好地描述實(shí)際問題,因此引起了數(shù)學(xué)和物理學(xué)家的廣泛關(guān)注[1].分?jǐn)?shù)階擬線性偏微分方程是一類特殊的反應(yīng)擴(kuò)散方程,隨著科學(xué)的迅速發(fā)展,為了適應(yīng)各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域研究的需要,反應(yīng)擴(kuò)散方程這類非線性偏微分方程得到了深入的研究和廣泛的發(fā)展[2].例如樊佳幸[3]借助Sobolev嵌入定理,Gagliardo-Nirenberg不等式,利用Galerkin方法研究了一類帶有擴(kuò)散項(xiàng)的非線性拋物方程組的初邊值問題弱解整體存在和爆破的充分條件.楊慧,王建[4]利用上下解方法研究了一類具有非局部非線性Neumann邊界條件和非線性吸收項(xiàng)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的存在性和爆破性.薛應(yīng)珍,馮賀平[5]利用上下解方法研究了一類具有加權(quán)非局部邊界和非線性內(nèi)部源的多孔介質(zhì)拋物型方程組解的漸近性態(tài).

在數(shù)學(xué)理論上,反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局解和爆破解可以理解為: 在局部解存在的條件下,如果局部解能延拓到整個(gè)時(shí)間t →∞,此時(shí)稱該局部解為整體解;如果局部解只能延拓到某個(gè)有限的時(shí)間T,即當(dāng)t →T時(shí),局部解趨向無(wú)窮,此時(shí)稱該局部解在有限時(shí)間T內(nèi)爆破,且T稱為該解的爆破時(shí)刻.關(guān)于分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破性研究甚少,如LIN,TIAN等人[6]通過引入一種新的輔助函數(shù)和自適應(yīng)凹法,研究了含有分?jǐn)?shù)階Laplace算子的Kirchhoff型波動(dòng)方程初邊值問題解的爆破和爆破時(shí)刻.

在分?jǐn)?shù)階條件下,FU和Pucci[7]研究下列空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程解的全局存在性和爆破性:

由于分?jǐn)?shù)階Laplace算子的非局部性,利用Caffarelli-Silvestre擴(kuò)展方法[9]將非局部性問題(1.1)轉(zhuǎn)化為更高一維的局部橢圓型方程定解問題.更精確地,v=Es(u):Ω×(0,∞)→R作為問題(1.1) 中u:Ω →R的擴(kuò)展函數(shù),記C={(x,y)|(x,y)∈Ω×(0,∞)}及它的側(cè)邊界為?LC=?Ω ×[0,∞).根據(jù)文[10]知,(-Δ)s是函數(shù)v在Ω ×{0}上的Dirichlet-Neumann算子,即

這是一個(gè)具有動(dòng)力邊界條件的局部橢圓型方程定解問題.類似于文[8]中m=1的情況,(1.2)的能量泛函定義為

本文的主要結(jié)果是

定理1如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的全局解,v0∈Σ1,那么存在α ＞0,使得

定理2如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的全局解,且在函數(shù)空間(C)中關(guān)于t一致有界,那么對(duì)于每個(gè)序列tn →∞,存在一個(gè)平穩(wěn)解w,使得在(C)中有v=v(x,y,tn;v0)弱收斂于w.

定理3如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的解,且存在t0≥0使得E(v(t0))≤0,那么解v在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

定理4如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的解,v0∈Σ2,那么解v在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

2.準(zhǔn)備知識(shí)

3.解的衰減估計(jì),長(zhǎng)時(shí)間漸近性態(tài)及爆破性

根據(jù)文[8],由類似方法得到本文所考慮的具有奇異勢(shì)的擬線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程解的全局存在性,在全局解存在的基礎(chǔ)上,討論全局解的衰減估計(jì)、長(zhǎng)時(shí)間漸近性態(tài)以及局部解的爆破性.基于Nehan 流形,位勢(shì)阱,不穩(wěn)定集合,位勢(shì)阱的深度,本節(jié)通過能量法給出全局解的衰減估計(jì),長(zhǎng)時(shí)間漸近性態(tài);利用凹函數(shù)法,得到局部解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的充分條件.

定理1的證明根據(jù)位勢(shì)阱Σ1的等價(jià)定義,對(duì)所有的t ≥0,H(v(t))＞0,因此

定理證明方法與文[8]類似,故剩下的證明過程參考文[8].

定理3的證明關(guān)于解的爆破性證明方法有比較法,特征函數(shù)法,能量法,及本文采用的凹函數(shù)法[13,15].

論證的其余部分與定理3的證明方法類似,因此剩下的證明參考定理3.