一基于貝塞爾函數(shù)的位相型超分辨光瞳濾波器的設(shè)計

南玉杰, 朱化鳳, 徐 軍, 王秀民, 云茂金

(1.中國石油大學(xué)勝利學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,山東 東營 257000; 2.中國石油大學(xué) 理學(xué)院,山東 青島 266555;3.青島大學(xué) 物理學(xué)院,山東 青島 266071)

一基于貝塞爾函數(shù)的位相型超分辨光瞳濾波器的設(shè)計

南玉杰1, 朱化鳳2, 徐 軍2, 王秀民2, 云茂金3

(1.中國石油大學(xué)勝利學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,山東 東營 257000; 2.中國石油大學(xué) 理學(xué)院,山東 青島 266555;
3.青島大學(xué) 物理學(xué)院,山東 青島 266071)

研究設(shè)計了一種基于零階貝塞爾函數(shù)的分區(qū)位相型超分辨光瞳濾波器。數(shù)值模擬了設(shè)計參量對超分辨性能參量(光斑壓縮比G,斯特爾比S和旁瓣因子M)的影響。結(jié)果表明：通過對各個參數(shù)進行合理的取值,可以在取得較高的斯特爾比的情況下實現(xiàn)較好的光斑壓縮比。該濾波器第二區(qū)相對半徑的改變對超分辨性能的影響較小,抗設(shè)計誤差能力強;該方法適用于波面是軸對稱的零階貝塞爾函數(shù)的徑向分布的階躍型光瞳濾波器。

信息光學(xué);貝塞爾函數(shù);超分辨;光瞳濾波器

如何在光學(xué)系統(tǒng)中實現(xiàn)更好的超分辨效果是近幾年來光學(xué)超分辨領(lǐng)域研究的熱點問題?，F(xiàn)在對光瞳濾波器的研究大多是基于對光瞳函數(shù)的改變和優(yōu)化。出現(xiàn)了振幅型光瞳濾波器[1]、位相型光瞳濾波器[2]、復(fù)振幅型光瞳濾波器[3- 4]、可調(diào)諧的光瞳濾波器[5]等。本文提出一種新的光瞳函數(shù),設(shè)計了基于零階貝塞爾函數(shù)的位相型光瞳濾波器,分別討論了參數(shù)a、b和各區(qū)半徑對超分辨性能參量的影響,理論分析結(jié)合Matlab數(shù)值模擬表明,這類光瞳濾波器能夠達到較好的超分辨效果,研究表明設(shè)計半徑誤差對超分辨性能的影響很小,這將為設(shè)計特殊需要的光瞳濾波器提供一種新的手段。

1 實現(xiàn)超分辨的基本原理和性能參量

根據(jù)Born等人的超分辨理論,使入射光波為單色光時,焦點附近的復(fù)振幅歸一化分布可表示為

(1)

式中，ρ為歸一化的半徑;P(ρ)為系統(tǒng)的光瞳函數(shù);J0(vρ)為零階貝塞爾函數(shù)。

當(dāng)u=0時,根據(jù)式(1)可得光學(xué)系統(tǒng)焦平面上的橫向復(fù)振幅為

(2)

當(dāng)v=0時,對應(yīng)系統(tǒng)軸向的復(fù)振幅表達式

(3)

可得到焦點附近的橫向和軸向的強度點擴散函數(shù)

I(v,0)=U(v,0)U*(v,0) ,

(4)

I(0,u)=U(0,u)U*(0,u) .

(5)

通常用光斑壓縮比G、斯特爾比S、旁瓣因子M三個物理參量來評定光瞳濾波器的超分辨性能。光斑壓縮比G:加光瞳濾波器與不加光瞳濾波器時的主瓣第一極小值半徑之比;斯特爾比S:加光瞳濾波器與不加光瞳濾波器時的主極大強度之比;旁瓣因子M:加光瞳濾波器時的最高旁瓣強度與主極大強度之比。G、S、M之間是相互制約的關(guān)系,在設(shè)計光瞳濾波器時,對這三個性能參量應(yīng)綜合考慮。為了獲得較好的超分辨效果,一般要求G、M盡量小,S盡量大。

2 基于貝塞爾函數(shù)的光瞳濾波器的超分辨性能分析

根據(jù)超分辨理論和設(shè)計位相型光瞳濾波器的原理,設(shè)濾波器的光瞳函數(shù)為

(6)

式中,φ=J0(bρ),a、b為設(shè)計參數(shù),ρ1、ρ2為第一、二區(qū)的相對半徑。

下面分別討論參數(shù)a、b和兩區(qū)相對半徑分別變化時,光瞳濾波器的橫向和軸向的超分辨性能特點。

2.1 改變參數(shù)a,光瞳濾波器的橫向光學(xué)性能分析

在研究的過程中,主要采用直接搜尋法進行數(shù)值模擬研究。首先通過大體嘗試把半徑參數(shù)設(shè)為ρ1=0.35、ρ2=0.4,并令b=1.6π,在這些參數(shù)附近可以實現(xiàn)超分辨,將參數(shù)代入到式(1)～(4)和(6),并利用Matlab作圖,可得到如圖1所示橫向光強分布曲線圖,表1是與此對應(yīng)的各超分辨性能參量的值。

圖1 改變參數(shù)a時,橫向光強分布曲線

表1 參數(shù)a變化時,超分辨性能參量的值

由圖1和表1可知,a在一定范圍內(nèi)取值,光瞳濾波器是可以實現(xiàn)超分辨的。比較分析表1各組數(shù)值發(fā)現(xiàn),它是符合超分辨能力的提高,是以斯特爾比的下降和旁瓣能量的提高為代價的規(guī)律的。當(dāng)參數(shù)a的取值由7/4π變?yōu)?3/4π后,光斑壓縮比G(由0.763 2變?yōu)?.842 1)是增大的,但斯特爾比S(由0.436 5變?yōu)?.436 2)的值卻幾乎不變,參數(shù)a的取值由5/4π變?yōu)?1/4π時,其G和S具有與此相似的變化趨勢。這一特點將為光瞳濾波器在特殊領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

2.2 改變參數(shù)b,光瞳濾波器的橫向光學(xué)性能分析

將參數(shù)a=5/4π,半徑ρ1=0.35、ρ2=0.4時的光瞳函數(shù)代入到(4)式,并作圖。圖2為參數(shù)b變化時,橫向光強的分布曲線圖,表2是相應(yīng)的各性能參量的值。

圖2 參數(shù)b取不同值時,橫向光強分布曲線

表2 參數(shù)b取不同值時,各性能參量的值

根據(jù)圖2和表2可知,b的取值在一個小的范圍內(nèi)變化時具備一定的超分辨能力,和a的取值相比,具有超分辨能力的b的取值范圍要小得多,參數(shù)b取值的變化對超分辨能力的影響比參數(shù)a要明顯得多。但此類光瞳濾波器有一個缺點,就是旁瓣能量較高,即較多的主瓣能量轉(zhuǎn)移到旁瓣上,不利于成像質(zhì)量的提高,降低成像對比度,但這可加入共焦掃描顯微系統(tǒng)來加以抑制,來獲得較低的旁瓣能量。

2.3 改變參數(shù)a或參數(shù)b,軸向光學(xué)特性分析

圖3和圖4分別為參數(shù)a和參數(shù)b取不同值時所對應(yīng)的軸向光強分布曲線圖。也就是把(參數(shù)a取不同值,b=1.6π,半徑ρ1=0.35、ρ2=0.4)和(參數(shù)b取不同值,a=5/4π,半徑ρ1=0.35、ρ2=0.4)時的光瞳函數(shù)分別代入式(5),利用數(shù)值模擬作圖得到的。

圖3 參數(shù)a變化時,軸向光強分布曲線

圖4 參數(shù)b變化時,軸向光強分布曲線

通過比較圖3和圖4可知,隨著參數(shù)a或參數(shù)b的增大,軸向主峰值是減小的,但減小到某一值時,主峰值將趨于不變。參數(shù)a或b取較小值時(a=3/4π,5/4π;b=π,1.4π),軸向光強出現(xiàn)了較大的焦移,也就是光強主峰值的位置與焦點不再重合,而是出現(xiàn)了一定的偏移。但是a、b取較大值(a=11/4π,13/4π;b=3π)時,光強主峰值的位置與焦點是基本重合的,參數(shù)a變化時的重合性比參數(shù)b變化時的重合性要好,這將大大提高主瓣的能量,對光學(xué)系統(tǒng)成像對比度的提高是有利的。

2.4 改變半徑ρ1,光瞳濾波器的橫向光學(xué)特性分析

圖5為參數(shù)a=3/2π,b=1.6π,半徑ρ2=0.4,ρ1取不同值的光瞳函數(shù)所對應(yīng)的橫向光強隨橫向距離變化的曲線圖。表3為相應(yīng)的超分辨性能參量值。

綜合圖5和表3可知,半徑ρ1增大,橫向光斑壓縮比GT越小,這意味著橫向超分辨效果越來越好。但斯特爾比S越來越小,即主瓣的能量利用率越來越低,旁瓣因子M越來越大,即旁瓣噪聲有所升高,但總體來說旁瓣因子并不是很大,適合于高質(zhì)量的成像系統(tǒng)中應(yīng)用。

圖5 半徑ρ1取一系列值,橫向光強分布曲線

表3 半徑ρ1取一系列值,超分辨性能參量的值

2.5 相對半徑ρ2對橫向光強分布特性的影響

圖6為參數(shù)a=3/2π,b=1.6π,半徑ρ1=0.25,ρ2取一系列值時的橫向光強分布曲線圖。由圖6可看出,半徑ρ2在一定范圍內(nèi)取值時,依據(jù)這些參數(shù)設(shè)計的光瞳濾波器可以實現(xiàn)較好的橫向超分辨,并且其超分辨能力很穩(wěn)定,基本是保持不變的。

圖6 ρ2取一系列值,橫向光強分布曲線

總體看來,此類光瞳濾波器在實現(xiàn)超分辨的同時提高了旁瓣強度,但旁瓣能量并不是很高。這樣在成像系統(tǒng)中,不會對成像對比度造成很大的影響。由上面的分析我們還可以看到,此類光瞳濾波器的設(shè)計對相對半徑的要求不是很高,這樣對實際制作時相對半徑誤差要求就不高,相對容易制作。人們可以根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的實際需要,對其他的參數(shù)取值進行取舍,設(shè)計各方面都符合需求的超分辨光瞳濾波器。

3 結(jié) 論

本文在超分辨光瞳濾波理論的基礎(chǔ)上,設(shè)計了一類基于特殊函數(shù)的(Bessel函數(shù))的位相型超分辨光瞳濾波器。精確分析了各個參數(shù)(參數(shù)a、b,相對半徑ρ1、ρ2)的改變對光瞳濾波器超分辨性能參量(光斑壓縮比G、斯特爾比S、旁瓣因子M)的影響,結(jié)果表明這類光瞳濾波器具有橫向超分辨能力,并且具有比較高的斯特爾比。研究結(jié)果還可以理解為,如果該濾波器是三個區(qū)域?qū)?yīng)的位相為(0,π,0)的光瞳濾波器,入射光束為徑向零階貝塞爾函數(shù)分布波面,則也可以實現(xiàn)較好的超分辨效果。該研究結(jié)果將對超分辨光瞳濾波器的設(shè)計優(yōu)化、光瞳濾波器在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用起到一定的理論指導(dǎo)作用。

[1] 徐丹,朱化鳳,云茂金,等.基于貝塞爾函數(shù)的振幅型系列超分辨光瞳濾波器的設(shè)計[J].激光與光電子學(xué)進展,2011,48(8):2201- 2206.

[2] SALEL T R M, MORRIS G M. Axial super-resolution with phase-only pupil filters[J]. Opt Commun, 1998,156(1):227- 230.

[3] 南玉杰,朱化鳳,徐丹,等.兩區(qū)復(fù)振幅光瞳濾波器的優(yōu)化設(shè)計研究[J].光子學(xué)報,2011,40(S1):41- 45.

[4] 云茂金,劉立人,孫劍鋒,等.復(fù)振幅光瞳濾波器的三維超分辨性能研究[J].光學(xué)學(xué)報,2005,25(4):475- 478.

[5] ZHU H F, GAN H J, GAO H Y, et al. A new design of adjustable superresolving filters based on birefringent crystal[J]. Appl Opt, 2006,45(1):104-109.

[責(zé)任編輯] 李冬梅

2014-12-30

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項(12CX06089A);山東省自然科學(xué)基金項目(Y2008A34);國家自然科學(xué)基金項目(10904080)

南玉杰(1985—),女,山東冠縣人,中國石油大學(xué)勝利學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院助教,碩士,主要從事信息光學(xué)及應(yīng)用研究。

10.3969/j.issn.1673-5935.2015.01.013

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A

1673-5935(2015)01- 0041- 04