柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析

崔　文，李成剛，林家慶，謝志紅

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京　210016)

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柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析

崔文，李成剛，林家慶，謝志紅

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京210016)

摘要：針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，首先在已存在的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人凱恩動(dòng)力學(xué)求解方法的基礎(chǔ)上對(duì)廣義主動(dòng)力的求解進(jìn)行分類(lèi)與合并，詳細(xì)地推導(dǎo)出傳動(dòng)比不為1的多連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。然后分別運(yùn)用ADAMS與S函數(shù)對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行正動(dòng)力學(xué)仿真與數(shù)值仿真。最后通過(guò)對(duì)比仿真，證明了用凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的正確性。

關(guān)鍵詞：凱恩方法；柔性關(guān)節(jié)；傳動(dòng)比；ADAMS；S函數(shù)

傳統(tǒng)的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模是把機(jī)器人看作全剛體系統(tǒng)，運(yùn)用拉格朗日方程、牛頓-歐拉方程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，建立剛性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程[1-3]。但實(shí)際的機(jī)器人系統(tǒng)并非剛性系統(tǒng)，關(guān)節(jié)處的柔性會(huì)對(duì)機(jī)器人尤其是空間機(jī)器人的末端誤差以及其他的動(dòng)力學(xué)性能產(chǎn)生不可忽視的影響。此外，要實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的更精確控制必須考慮機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。因此，建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人精確的動(dòng)力學(xué)模型具有重要的意義。國(guó)內(nèi)的大部分文獻(xiàn)在運(yùn)用凱恩方法推導(dǎo)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，對(duì)于主動(dòng)約束力的求解不夠明確，而且在求解驅(qū)動(dòng)力對(duì)于廣義主動(dòng)力的貢獻(xiàn)時(shí)忽略了關(guān)節(jié)傳動(dòng)比或者默認(rèn)傳動(dòng)比為1[4-5]。為了解決這些問(wèn)題，從而可以對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行更好的動(dòng)力學(xué)分析與控制，本文給出了關(guān)節(jié)傳動(dòng)比不為1的多連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動(dòng)力學(xué)建模方法。

1柔性關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)化模型

采用比較簡(jiǎn)單的Spong模型建立柔性關(guān)節(jié)的模型[4]。Spong模型提出了2個(gè)假設(shè)：1)用線(xiàn)性彈簧來(lái)描述系統(tǒng)的關(guān)節(jié)柔性，其彈性力(或力矩)和關(guān)節(jié)的柔性變形是線(xiàn)性關(guān)系；2)把電機(jī)的轉(zhuǎn)子看作是集中在轉(zhuǎn)軸上的一個(gè)整體，如圖1所示。

圖中：φi為電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)角；θi為電機(jī)經(jīng)過(guò)減速裝置后輸出的轉(zhuǎn)角；qi為連桿的角位移，即經(jīng)過(guò)扭轉(zhuǎn)彈簧后輸出的轉(zhuǎn)角；Ni為減速裝置的傳動(dòng)比；Ji為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ii為機(jī)器人連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ki為扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù)。εi為扭轉(zhuǎn)彈簧變形所引起的變形轉(zhuǎn)角，εi=qi-θi。

圖1　柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型

2用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程

(1)

2.1求偏角速度與偏速度

凱恩方法中的偏速度或偏角速度并不是速度或角速度，只是表示速度或角速度對(duì)于第j個(gè)廣義速率Uj的偏導(dǎo)數(shù)。簡(jiǎn)單地講就是指在速度與加速度表達(dá)式里廣義速率前的系數(shù)，由此可以從連桿速度與加速度的遞推公式[6]推出連桿相對(duì)于廣義速率的偏速度與偏角速度，可得

(2)

(3)

(4)

2.2　系統(tǒng)的廣義慣性力

(5)

由文獻(xiàn)[4]可知所有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子相對(duì)廣義速率Uj的廣義慣性力為：

(6)

式中：Izj為轉(zhuǎn)子沿自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.3　系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力

為了使廣義主動(dòng)力的推導(dǎo)變得簡(jiǎn)單而且易于理解，需要將主動(dòng)約束力進(jìn)行分類(lèi)合并。因此，將情況1)、2)放在一起計(jì)算，看作是連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動(dòng)約束力對(duì)廣義主動(dòng)力的貢獻(xiàn)；將情況3)、4)放在一起計(jì)算，看作是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i與連桿i之間的主動(dòng)約束力對(duì)廣義主動(dòng)力的貢獻(xiàn)，如圖2所示。

圖2　主動(dòng)約束力位置

1)連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動(dòng)約束力的廣義主動(dòng)力。

根據(jù)連桿速度與角速度的遞推公式可知，連桿i-1的絕對(duì)角速度為iωi-1，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i的絕對(duì)角速度為iωRi。

(7)

由式(7)可得

(8)

式中：iωi-1,j與iωRi,j分別為iωi-1與iωRi相對(duì)廣義速率Uj的偏角速度。

(9)

因此由式(9)可得連桿i-1與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i之間主動(dòng)約束力(驅(qū)動(dòng)力矩)的廣義主動(dòng)力為

(10)

則所有的驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)廣義主動(dòng)力的貢獻(xiàn)為

(11)

2)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子i與連桿i之間的主動(dòng)約束力的廣義主動(dòng)力。

(12)

由于柔性(扭轉(zhuǎn)彈簧)的作用，關(guān)節(jié)兩端的角速度不相等，設(shè)靠近連桿i-1一端的絕對(duì)角速度為iΩi-1，靠近連桿i一端的絕對(duì)角速度為iΩi，于是得到如下公式：

(13)

則iΩi的相對(duì)廣義速率Uj的偏角速度為

(14)

(15)

于是得到所有彈簧兩端的扭矩(柔性關(guān)節(jié)內(nèi)力)相對(duì)廣義速率Uj的廣義主動(dòng)力為

(16)

2.4　系統(tǒng)的凱恩方程

(19)

3仿真分析

圖3　虛擬樣機(jī)模型

本文進(jìn)行柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的正動(dòng)力學(xué)仿真，輸入為關(guān)節(jié)力矩，輸出為關(guān)節(jié)角位移。設(shè)置扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)k1=k2=2 000N·m/rad，關(guān)節(jié)傳動(dòng)比N1=N2=100。將運(yùn)動(dòng)學(xué)模型得出的速度、加速度、偏速度的數(shù)值以及由ADAMS模型得出的質(zhì)量、慣量參數(shù)[8]代入動(dòng)力學(xué)方程中整理得到具體的數(shù)學(xué)方程，可得

(20)

其中：

q=(q1,q2)T，

θ=(θ1,θ2)T，

K=diag(2 000,2 000)，

G(q)=(0,0)T，

N2J=diag(0.019 7,0.019 7)，

Nτ=(N1τ1,N2τ2)T，

根據(jù)這組微分方程組在MATLAB中編寫(xiě)S函數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，如圖4所示。

圖4　MATLAB中Simulink仿真模型

由上述處理過(guò)程可知，ADAMS中的虛擬樣機(jī)是根據(jù)實(shí)際柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人模型建立的，而S函數(shù)中的仿真模型是根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程得到的，因此將ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真直接得出的曲線(xiàn)當(dāng)作實(shí)際值，將MATLAB中Simulink數(shù)值仿真得到的曲線(xiàn)作為理論值，然后進(jìn)行對(duì)比分析。

首先設(shè)置關(guān)節(jié)輸入力矩N1τ1=50N·mm，N2τ2=5N·mm，可分別得到理論與實(shí)際關(guān)節(jié)角位移曲線(xiàn)，如圖5，6所示。

圖5　關(guān)節(jié)1的角位移曲線(xiàn)

再將關(guān)節(jié)力矩設(shè)置成隨時(shí)間變化的量：N1τ1=50sin(t)N·mm，N2τ2=5sin(t)N·mm，分別得到理論與實(shí)際關(guān)節(jié)角位移曲線(xiàn)，如圖7，8所示。

圖6　關(guān)節(jié)2的角位移曲線(xiàn)

圖7　關(guān)節(jié)1的角位移曲線(xiàn)

圖8　關(guān)節(jié)2的角位移曲線(xiàn)

由圖5~8可知，無(wú)論輸入力矩為常量還是變量，理論角位移曲線(xiàn)與實(shí)際角位移曲線(xiàn)都比較接近。這表明由凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程是正確的和有效的。

通過(guò)對(duì)比得到的曲線(xiàn)可知，ADAMS仿真曲線(xiàn)與MATLAB的S函數(shù)數(shù)值積分總是存在誤差，這是因?yàn)檫\(yùn)用凱恩方法建立的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程中忽略了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)子與連桿之間的慣性耦合，而ADAMS軟件仿真時(shí)考慮到了慣性耦合的影響。

4結(jié)束語(yǔ)

本文在柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人傳動(dòng)比不為1的情況下，系統(tǒng)地給出了用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并運(yùn)用動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS與S函數(shù)進(jìn)行對(duì)比仿真。仿真結(jié)果表明，本文給出的關(guān)節(jié)傳動(dòng)比不為1的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的凱恩動(dòng)力學(xué)建模方法是正確的與有效的，而且可以適用于任意自由度、任意空間形式的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人。此外，本文的凱恩方法中將主動(dòng)力的貢獻(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)與合并，使推導(dǎo)過(guò)程更加清晰易懂，為其他學(xué)者用凱恩方法建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型奠定了良好的基礎(chǔ)。

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Kane dynamic modeling and simulation analysis for the flexible-joint robot

CUI Wen, LI Chenggang, LIN Jiaqing, XIE Zhihong

(School of Mechanicak and Electrical Engineering,

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Jiangsu Nanjing, 210016, China)

Abstract：Aimming at the problem of dynamic modeling of flexible-joint robot, it classifies and merges the solution of generalized active force, derives the dynamic equation of the flexible joint robot where the transmission ratio is not 1 in detail on the basis of the existed kane modeling method. Based on ADAMS, it analyzes the dynamic simulation and the S function, realizes a numerical simulation on the flexible-joint robot. At last, it compares the simulation results and proves the correctness of the dynamic equation of the flexible joint robot established by Kane method.

Key words：Kane method; flexible-joint; transmission ratio; ADAMS; S function

作者簡(jiǎn)介：崔文(1990—)，男，江蘇徐州人，南京航空航天大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制。

基金項(xiàng)目：江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程(SJLX0119)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助

收稿日期：2015-11-17

中圖分類(lèi)號(hào)：TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-509X(2015)12-0005-05

DOI:10.3969/j.issn.2095-509X.2015.12.002