欠驅(qū)動(dòng)水面機(jī)器人的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制

（廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院，廣東 湛江 524094）

水面機(jī)器人也叫水面無(wú)人艇（unmaned surface vessel,USV），是一種在海洋或湖泊中能自主航行，并能完成指定任務(wù)的小型水面船舶。由于無(wú)人水面機(jī)器人在情報(bào)搜集、偵查、氣象探測(cè)、搜救等方面具有突出的優(yōu)勢(shì)，成為各國(guó)競(jìng)向發(fā)展的新裝備。

由于水面機(jī)器人在橫向上不具有驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，故被稱(chēng)為欠驅(qū)動(dòng)船舶，這種特性再加上海洋環(huán)境不確定性的影響，使得這種機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性、耦合性和各不確定性的動(dòng)態(tài)特性，從而造成控制器的設(shè)計(jì)和分析更為復(fù)雜。針對(duì)水面機(jī)器人的控制問(wèn)題，許多學(xué)者做了大量研究，如Ghommam J等人[1]提出了一種非連續(xù)反饋控制方法解決了無(wú)人艇的控制問(wèn)題，而廖煜雷等人[2]則提出了一種時(shí)變光滑的鎮(zhèn)定控制律。Ma Baoli等人[3]設(shè)計(jì)了一種指數(shù)穩(wěn)定的變切換控制律。劉楊等人[4]提出了一種非連續(xù)變參數(shù)鎮(zhèn)定控制器。Frdric M等人[5]實(shí)現(xiàn)了全局一致性漸近鎮(zhèn)定控制。孟威等人[6]利用滑模變結(jié)構(gòu)理論，提出了一種非線性的滑模軌跡跟蹤控制策略。最近，萬(wàn)磊等人[7]針對(duì)非完全對(duì)稱(chēng)欠驅(qū)動(dòng)的無(wú)人艇，設(shè)計(jì)了一種全局漸近鎮(zhèn)定的控制器。這些研究成果均保證了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，但是，至今未見(jiàn)到有限時(shí)間穩(wěn)定的水面機(jī)器人控制器的研究成果。

有限時(shí)間穩(wěn)定[8]是指系統(tǒng)的狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，具有比傳統(tǒng)的漸近收斂更好的動(dòng)態(tài)特性和更強(qiáng)的魯棒性，因而，有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制作為一種新的非線性控制方法得到學(xué)者的廣泛關(guān)注，從而取得了一系列的研究成果，如文獻(xiàn)[9-11]等。本文針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)水面機(jī)器人的復(fù)雜性特點(diǎn)，研究提出了一種有限時(shí)間收斂的控制器，從而獲得了更好的控制性能。

1 非完全對(duì)稱(chēng)水面機(jī)器人模型

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

考慮水面機(jī)器人在縱蕩、橫蕩和艏搖三個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7]

式中：η = [x，y，φ]T，x為縱蕩位移，y為橫蕩位移，φ為艏搖角度，參考方向?yàn)檎保琑（φ）為艏搖的旋轉(zhuǎn)矩陣，定義為

ν=[u，ν，r]T，u為縱蕩速度，ν為橫蕩速度，r為艏搖角速度。水面機(jī)器人水平面非線性動(dòng)力學(xué)模型[5]為

式中，τ為控制力，由于該水面機(jī)器人為無(wú)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，因此只考慮縱蕩方向和艏搖方向兩個(gè)控制輸入，即 τ＝ [τu，0，τr]T，M（ν）為慣性系統(tǒng)矩陣，且

C（ν）為科氏力和向心力矩陣，且

其中，c13=-c31＝ -m22ν- （m23+m32）r/2；c23=-c32=m11u；D（ν）為阻尼系數(shù)矩陣，且

實(shí)際上，由于水面機(jī)器人系統(tǒng)的非對(duì)角線元素不全為零，使得對(duì)系統(tǒng)的分析和控制器設(shè)計(jì)變得異常困難，為此，本文利用文獻(xiàn)[7]中的兩次全局微分同胚變換，得到如下形式的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)：

1.2 有限時(shí)間穩(wěn)定性定理

判別系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性的有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定性理論及相關(guān)概念如下：

定義1有限時(shí)間控制：考慮非線性系統(tǒng)

其中，f：Rn×m→Rn是連續(xù)的。如果存在一個(gè)連續(xù)反饋控制律u＝ 準(zhǔn)（x），其中 準(zhǔn)（0）=0，使得閉環(huán)系統(tǒng)的原點(diǎn)x=0是（局部）有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)x觶＝f（x，準(zhǔn)（x））是有限時(shí)間穩(wěn)定的，此反饋控制律u＝準(zhǔn)（x）被稱(chēng)為有限時(shí)間穩(wěn)定性控制器。

引理1[8]針對(duì)非線性系統(tǒng)（4），如果存在一個(gè)定義在原點(diǎn)鄰域U奐Rn上的函數(shù)V（x），并且V（x）是C1光滑的，且存在實(shí)數(shù)0<μ<1和d>0，使得下列條件成立：

（1）V（x）在U上是正定的；

（2）V觶（x）+dVμ（x）≤0，坌x綴U坌坌0

則系統(tǒng)（4）是局部有時(shí)間穩(wěn)定的。在初始狀態(tài)x（0）=x0下的停息時(shí)間估計(jì)為：

式中，x0為原點(diǎn)某一開(kāi)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)。如果U=Rn并且V（x）是正則的，則系統(tǒng)（1）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

引理 2對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ai,i=1，…，n，若0<μ1<1，0<μ2<2，則以下不等式成立:

定義如下的 Sig(·)α向量：

其中x=[x1，…，xn]T綴Rn，0< α <1,sgn(·)是標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)函數(shù)。

2 有限時(shí)間鎮(zhèn)定器設(shè)計(jì)

考慮系統(tǒng)（3）的兩個(gè)子系統(tǒng)

為設(shè)計(jì)輸入量f1，引入虛擬輸入σ，則系統(tǒng)（9）就化為：

選擇如下的Lyapunov函數(shù)

對(duì)上式求導(dǎo)，并結(jié)合式（11）可得

若選擇如下的控制律

將式（14）代入式（13），有

為保證z2的有限時(shí)間收斂，選擇如下的虛擬輸入量：

為設(shè)計(jì)控制輸入f2，定義誤差變量s=z6-σ，則，z6=s+σ將式（3）表示為如下形式：

選擇如下Lyapunov函數(shù)

對(duì)式（18）求導(dǎo)可得：

因此，設(shè)計(jì)控制律為

則有

實(shí)際上，V2≤-lV2≤0意味著V2是有界的，因此，z2,z3,z4和s是一致有界的。證畢。

3 仿真

為說(shuō)明本文算法的有效性，對(duì)上述控制律進(jìn)行機(jī)器人鎮(zhèn)定控制仿真實(shí)驗(yàn)，模型參數(shù)[7]為：m11=1.127，m22=1.890 2，m33=0.127 8，m23=m32=-0.074，d11＝0.035 8，d22=0.118 3，d33=0.030 8，d23=-0.012 4，d32=-0.004，機(jī)器人初始狀態(tài)為：x(0)=-1m，y(0)=-1m，φ(0)=/2，u(0)=0，ν(0)=0，r(0)=0，可計(jì)算出對(duì)應(yīng)微分同胚變換的初始狀態(tài)為：z1(0)=-1.039 2，z2(0)=0.857 7，z3(0)=1.570 8，z4(0)=1.039 2，z5(0)=0，z6(0)=0。控制參數(shù)選擇為：k2=2，k3=1，k4=1.5，k6=1.5，λ=sin(t)，α=0.8。仿真結(jié)果如圖1、圖2所示，從圖中容易看出，原系統(tǒng)和變換后的系統(tǒng)狀態(tài)變量都是有限時(shí)間收斂的，從而說(shuō)明了本文方法的有效性。

圖1變換后系統(tǒng)變量的收斂響應(yīng)曲線

圖2原系統(tǒng)變量的收斂響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)水面機(jī)器人的特性，采用全局微分同胚變換方法和有限時(shí)間穩(wěn)定性定理設(shè)計(jì)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定器，一方面提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，另一方面也確保了系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性和可行性。

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[2]廖煜雷，龐永杰，張鐵棟．欠驅(qū)動(dòng)自治水面船的全局k-指數(shù)鎮(zhèn)定控制方法[J]．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(4):417-422.

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[6]孟 威，郭 晨，孫富春，劉 楊，等.欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的非線性滑模軌跡跟蹤控制[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33(5):585-589.

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