灰色Verhulst模型的初始值優(yōu)化

王　健

(安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

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灰色Verhulst模型的初始值優(yōu)化

王健

(安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

[摘要]討論了一類灰色Verhulst模型的初始值優(yōu)化問(wèn)題.首先對(duì)模型的初始值增加擾動(dòng)因素,然后通過(guò)最小化原始序列的一次累加序列與模擬序列之差,建立非約束優(yōu)化模型,獲得了擾動(dòng)因素的一個(gè)計(jì)算公式,并提出一種改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型.最后,通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該改進(jìn)模型可以有效提高預(yù)測(cè)精度.

[關(guān)鍵詞]灰色Verhulst模型; 擾動(dòng); 初值修正

1引言

灰色Verhulst模型[1,2]主要用來(lái)描述數(shù)據(jù)具有飽和狀態(tài)的過(guò)程，目前，該模型已經(jīng)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)、社會(huì)發(fā)展等各個(gè)領(lǐng)域取得顯著應(yīng)用[3,4]. 然而，有時(shí)模型的預(yù)測(cè)精度并不高，為此，很多學(xué)者進(jìn)行了大量研究，通過(guò)優(yōu)化參數(shù)估計(jì)、建立對(duì)應(yīng)的離散模型、修改初始值以及改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)等途徑，從不同方面對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，并取得了良好效果[5-13]. 最近文獻(xiàn)[11]中提出了一種通過(guò)改進(jìn)灰導(dǎo)數(shù)來(lái)提高模型預(yù)測(cè)精度的方法，即以白化微分方程為基礎(chǔ)，利用梯形公式來(lái)白化灰導(dǎo)數(shù)，使差分方程的參數(shù)與微分方程對(duì)應(yīng)的參數(shù)有很好的一致性。

本文擬在上述研究基礎(chǔ)上，繼續(xù)討論Verhulst模型的初始值優(yōu)化問(wèn)題. 首先，利用文獻(xiàn)[11]中參數(shù)a,b的最優(yōu)估計(jì)式，得到一種改進(jìn)的灰色Verhulst模型. 同時(shí)，考慮對(duì)模型的初始值x(1)(n)增加擾動(dòng)因素η，把x(1)(n)+η作為模型的新初始值，然后以原始序列的一次累加序列與一次累加序列的模擬值的殘差平方和最小為條件，建立一個(gè)無(wú)約束條件的優(yōu)化模型，從而求出了擾動(dòng)因素η，最后，通過(guò)一個(gè)計(jì)算實(shí)例，表明改進(jìn)模型可以有效提高精度，具有較高的理論和應(yīng)用價(jià)值.

2傳統(tǒng)灰色Verhulst模型

定義1[1,2]設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列，

X(1)為X(0)的1-AGO序列，

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，

其中，

定理1[1,2]設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，

其中，

(2)灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)序列為

(3)還原值

2灰色Verhulst模型的改進(jìn)

最近，文獻(xiàn)[11]通過(guò)梯形公式改進(jìn)了灰導(dǎo)數(shù)，優(yōu)化了灰色Verhulst模型；并且給出了模型中參數(shù)a,b的最優(yōu)估計(jì)式：

(1)

下面，我們以文獻(xiàn)[11]提供的模型為基礎(chǔ)著重討論初始值的優(yōu)化問(wèn)題.

眾所周知，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型通常把x(1)(1)=x(0)(1)作為模型的初始值，這樣做是為了計(jì)算簡(jiǎn)單，但缺乏科學(xué)性. 為此，文獻(xiàn)[9]根據(jù)灰色系統(tǒng)的新信息原則[1,2]，提出了以X(1)的第n個(gè)分量x(1)(n)作為初始值，對(duì)Verhulst模型進(jìn)行改進(jìn)，并且給出了以新信息x(1)(n)為初始值的時(shí)間響應(yīng)序列

(2)

(3)

為求出擾動(dòng)因素η，我們建立如下無(wú)條件優(yōu)化模型

亦即

(4)

因此，優(yōu)化問(wèn)題(4)可轉(zhuǎn)化為如下情形：

(5)

定義指標(biāo)函數(shù)

為簡(jiǎn)單計(jì)，引入符號(hào)

則上式可寫成

-abR+aQ]

亦即

從而可得到一個(gè)關(guān)于擾動(dòng)因素η的簡(jiǎn)單而有效的計(jì)算公式

(6)

利用參數(shù)a，b的最優(yōu)估計(jì)式(7)以及初始值修正為x(1)(n)+η和(6)式，我們得到如下改進(jìn)的灰色Verhulst模型.

(2)灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)序列為

(3)還原值

3實(shí)例驗(yàn)證

現(xiàn)以2000-2008年我國(guó)高速公路事故死亡人數(shù)的變化實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，建立改進(jìn)模型，并與傳統(tǒng)灰色Verhulst模型進(jìn)行比較.

選用表1中前6個(gè)數(shù)據(jù)X(0)={2162，3147，3927，5269，6235，6407}建立模型，后3個(gè)數(shù)據(jù)用于模型的檢驗(yàn).

表1　全國(guó)高速公路2000-2008年事故死亡人數(shù)統(tǒng)計(jì)表(人)

3.1　傳統(tǒng)灰色Verhulst模型

于是，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的時(shí)間函數(shù)響應(yīng)式為

k=0, 1, 2, ……

3.2　改進(jìn)的灰色Verhulst模型

改進(jìn)模型的建立優(yōu)化和預(yù)測(cè)過(guò)程如下:

1)通過(guò)原始序列X(0)，計(jì)算得到累加生成序列X(1)和緊鄰均值生成序列Z(1)；

2)利用上述數(shù)據(jù)序列，分別求得

的結(jié)果；

3)根據(jù)定理2中(1)式，計(jì)算模型參數(shù)值a,b；

6)計(jì)算模擬誤差，并進(jìn)行精度檢驗(yàn).

為便于比較，現(xiàn)將傳統(tǒng)灰色Verhulst模型、改進(jìn)的灰色Verhulst模型在三步之內(nèi)的預(yù)測(cè)值及平均誤差列表如下：

表2　兩種不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果及相對(duì)誤差比較

從表2可以看出，傳統(tǒng)Verhulst模型在三步之內(nèi)的平均預(yù)測(cè)誤差竟達(dá)12.4%，而改進(jìn)模型的誤差只有8.01%，遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)Verhulst模型的平均相對(duì)誤，有較好的預(yù)測(cè)效果. 同時(shí)，文中所提供的擾動(dòng)因素η的計(jì)算簡(jiǎn)單、有效，也彌補(bǔ)了以往研究Verhulst模型時(shí)，文獻(xiàn)中沒(méi)有擾動(dòng)因素η計(jì)算公式的不足.

4結(jié)論

本文基于新信息原理，對(duì)模型的初始值增加擾動(dòng)因素η，即把x(1)(n)+η作為新的初始值；然后通過(guò)最小化原始序列的一次累加序列與模擬序列之差，建立非約束優(yōu)化模型，并得到一個(gè)擾動(dòng)因素η的計(jì)算公式. 實(shí)例表明，改進(jìn)模型可以有效提高模型精度，從而拓廣了模型的使用范圍.

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[責(zé)任編輯：Z]

Study on Optimizing the initial Value of Grey Verhualst Model

WANG Jian

( School of Mathematics and statistics, Anyang Normal University, Anyang 455000, China )

Abstract:This paper discusses the optimizing initial value of grey Verhulst model, by adding the disturbing factors into the initial value of the model, and minimizing the differences between the 1-AGO sequence and simulation sequence of raw sequence and building an unconstrained programming model. It obtains a formula of disturbing factors, an amendatory grey Verhulst model was proposed in the paper. By comparison and analysis of some examples that amendatory model can have higher precision practicability and reliability

Key words:grey Verhulst model; disturbing factors ; modified initial value

[中圖分類號(hào)]N914.4; F224.9

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2015)02-0001-05

[作者簡(jiǎn)介]王健(1972-)，男，河南安陽(yáng)人，安陽(yáng)師范學(xué)院副教授，主要從事灰色系統(tǒng)理論研究。

[基金項(xiàng)目]河南省自然科學(xué) (0511013800)

[收稿日期]2015-01-20