部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中MLE的相合性

蔡定教，易景平

(1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 安陽 455000)

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部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中MLE的相合性

蔡定教1，2，易景平2

(1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 安陽 455000)

[摘要]部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)包括精確數(shù)據(jù)以及區(qū)間刪失數(shù)據(jù)， 在慢性病研究中有廣泛的應(yīng)用.本文主要考慮在具有1類部分刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布中最大似然估計的相合性，在一定的正則條件下證明了最大似然估計的強相合性.

[關(guān)鍵詞]區(qū)間刪失;相合性;最大似然估計;緊集;生存函數(shù)

部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)在實際生活中有廣泛的應(yīng)用. 如在慢性病的研究中，有些病人開始患病的年齡是已知的；而另一些人只知道現(xiàn)在已患病，因而只知道患病時刻在當(dāng)前時刻之前；還有一類未患病的可疑個體，則只知患病時刻在當(dāng)前時刻之后. 更一般的情形發(fā)生在跟蹤研究中，如亞類心絞病和冠心病的研究中. 對于一類病人，心絞病或冠心病的發(fā)病時刻是清楚的，但是對另一些病人則只在某兩個時刻進(jìn)行臨床檢測. 此外在丹麥的糖尿病研究中的數(shù)據(jù)也是既有精確值也包含區(qū)間刪失數(shù)據(jù).

我們知道在僅有精確值的情形，指數(shù)模型中未知參數(shù)的最大似然估計具有強相合性. 本文中我們考慮在具有1類部分區(qū)間刪失數(shù)據(jù)情形下最大似然估計的強相合性. 1類部分刪失數(shù)據(jù)具體描述如下：對于一些研究對象，我們能觀察到它們生存時間的精確值T1,…Tn1，然而對其他的對象卻只能知道它們的現(xiàn)狀. 也就是說對于這些組中的第j個對象，只知道它在檢測時刻Uj時是否已失效；因而觀測數(shù)據(jù)為：(δj,Uj),j=1,…,n2. 當(dāng)未知失效時刻Tj≥Uj時δj=1；否則δj=0.

1生存分析模型

設(shè)生存分析模型服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布. 則生存函數(shù)為S(x)=exp{-λx},x>0， 相應(yīng)的密度函數(shù)為f(x)=λexp{-λx},x>0.

-exp{-λUj})(1-δj).

對數(shù)似然函數(shù)為：

+(1-δj)ln(1-exp{-λUj})].

假設(shè)1真值λ0為Λ的內(nèi)點且Λ為緊集.

2Jessen不等式和Hoeffding不等式

Jessen不等式：設(shè)X為m維隨機向量，f為定義在Rm上的凸函數(shù)，EX存在有限，則

Ef(X)≥f(EX).

當(dāng)f為嚴(yán)凸時，上式中等號當(dāng)且僅當(dāng)P(X=EX)=1時才成立.

Hoeffding不等式：設(shè)X1,…,Xn是個獨立隨機變量且P(Xi∈[a,b])=1,1≤i≤n,Sn=X1+…+Xn，則對任意t≥0，有

3相合性

定義1：對指數(shù)型分布族，最大似然估計MLE的定義如下：

這里p(x;λ)=(exp{-λUj})δ(1-exp{-λUj})(1-δ).令E為真實參數(shù)為λ0時的期望， 則對任意λ≠λ0，0<α<1，由Jessen不等式得

由p(x;λ)關(guān)于λ的可識別性知不等號嚴(yán)格成立， 即

(1)

對λ的任一領(lǐng)域N, 定義

則對一列λ的半徑為ε的開領(lǐng)域Nε，當(dāng)ε→0時， 有Nε收縮到λ， 從而有

由(1)式知當(dāng)n1充分大而ε充分小時，存在ηε>0使得

(2)

通過簡單的計算可得

再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的凹性得

(3)

右邊和事件中每一項的概率為一致有界獨立隨機變量的平均值非負(fù)的概率. 而由(2)知這些隨機變量具有負(fù)的期望. 利用Hoeffding不等式，每一項的概率具有階e-εn2，這里ε取為2ρ2/(M-log(1-α))2, 其中M=max(ηλk,1≤K≤m)，ρ為某一負(fù)數(shù)且(2)中的期望n1>N在時小于ρ. 進(jìn)一步有

利用Borel-Cantelli引理及假設(shè)2知以概率1

由N0的任意性即得證.

[參考文獻(xiàn)]

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[責(zé)任編輯：Z]

[中圖分類號]O213.9

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1671-5330(2015)02-0006-02

[作者簡介]蔡定教(1979—)，男，浙江溫州人,北京師范大學(xué)博士生，講師，主要從事生物統(tǒng)計的研究。

[收稿日期]2015-02-02