索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化設(shè)計

尤國強, 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學院 工程技術(shù)學院，陜西 西安 710105

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索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化設(shè)計

尤國強, 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學院 工程技術(shù)學院，陜西 西安 710105

摘要：針對太空可展開天線的特殊性能要求, 對周邊桁架式可展開天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行了形狀優(yōu)化設(shè)計。選取天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的上弦節(jié)點縱坐標為設(shè)計變量,繼而分別以索網(wǎng)表面精度和結(jié)構(gòu)基頻為優(yōu)化目標，建立了優(yōu)化數(shù)學模型?？紤]到索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元計算的非線性和復雜性，使用序列二次規(guī)劃法對模型進行求解。通過算例分析可知，文中的形狀優(yōu)化計算方法可以有效地提高天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的工作性能，取得的優(yōu)化結(jié)果和結(jié)論對于工程實踐具有一定的指導意義。

關(guān)鍵詞：可展開天線；索網(wǎng)結(jié)構(gòu)；形狀優(yōu)化；表面精度；基頻；優(yōu)化數(shù)學模型；序列二次規(guī)劃法

劉瑞妮(1983-)，女，講師，碩士.

做為大型高精密儀器，太空可展開天線具有反射面精度、收納率、展開剛度等一系列特有的工作性能指標。只有在這些性能指標均滿足指定要求的情況下，天線才能在太空正常工作[1-4]，而通過優(yōu)化設(shè)計來合理地給定天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)是實現(xiàn)上述目標最為行之有效的方法。

文中所研究的可展開天線整體結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。其中，天線的索網(wǎng)體系由48片結(jié)構(gòu)形式相同并且呈輻射狀分布的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)組成，它主要用于形成天線的反射面系統(tǒng)，并且兩端分別與周邊桁架和中央圓筒相連。該索網(wǎng)體系的具體結(jié)構(gòu)形式如圖2所示。

圖1　可展開天線整體結(jié)構(gòu)

圖2　天線索網(wǎng)體系

當索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中所有上弦索節(jié)點的初始坐標位置均處于理想拋物線上時，在對結(jié)構(gòu)施加初始預張力后，上弦索節(jié)點在張力的作用下將偏離其原來的理想位置而導致結(jié)構(gòu)表面精度下降。因此，若希望在初始預張力已經(jīng)確定的情況下進一步提高結(jié)構(gòu)的表面精度性能，則可以通過形狀優(yōu)化的方法來給出更為合理的上弦索節(jié)點初始坐標位置，從而使平衡態(tài)時的上弦索形狀更接近理想拋物線，以達到提高表面精度的目的。同時，由索單元切線剛度矩陣表達式可知，索單元節(jié)點的坐標位置也是影響單元切線剛度矩陣的因素之一。因此，基于以上考慮，文中將上弦索節(jié)點的初始坐標位置作為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算中的設(shè)計變量來研究它對結(jié)構(gòu)性能的影響規(guī)律。

1優(yōu)化參數(shù)的設(shè)定

由于可展開天線索網(wǎng)體系是帶有幾何非線性特征的柔性結(jié)構(gòu)，而且其結(jié)構(gòu)形式復雜，單元數(shù)目眾多，難于整體優(yōu)化分析和設(shè)計，因此，為了便于研究，文中將具有相同結(jié)構(gòu)形式的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)先行分離出來進行分析，以實現(xiàn)由簡到繁、由局部到整體的優(yōu)化設(shè)計思路。

提取出的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示。該模型采用兩節(jié)點直桿索單元建立，圖中標號1～36為節(jié)點號，θ1和θ2分別為上弦索單元K1、K2與水平方向所成夾角。結(jié)構(gòu)中的上、下弦索沿中軸線對稱分布，它們均由17個索單元平滑連接組成；而中間縱向索則是由在對稱節(jié)點位置連接上、下弦索的16個豎直方向的索單元組成；整個單片索網(wǎng)結(jié)構(gòu)共包含50個索單元。

圖3　單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)

可展開天線能夠正常工作的首要前提是確保其電性能達到預定要求。由天線設(shè)計理論中的Ruze公式可知，當天線反射面為理想設(shè)計曲面時，反射后的電磁波在其口面上會處于等相位狀態(tài)，而在這種理想情況下天線增益將不會有所損失。但實際上，天線反射面在外界載荷或結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響下必然會產(chǎn)生變形，這一變形將會使天線口面不再是等相位面從而引起電磁波的路程差(或稱光程差)，并導致天線增益下降[5-7]?？紤]到天線反射面變形程度對其工作性能的重要影響，文中將上弦索的表面精度作為單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計性能指標之一，該指標能夠較好地反映上弦索實際形狀與理想拋物線的變形偏差情況。

另外，由于天線在太空展開和工作時都必然會遇到振動的情況，故需要盡量提高結(jié)構(gòu)基頻，使其遠離激勵(衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整或變軌)頻率，從而避免諧振現(xiàn)象對天線的破壞，確保天線結(jié)構(gòu)的動力性能。因此，文中以單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的基頻作為優(yōu)化設(shè)計的另一個性能指標。

在優(yōu)化設(shè)計變量方面，如前文所述，將上弦索節(jié)點的初始坐標位置作為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化中的設(shè)計變量。需要指出的是，如果從索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)制造實際情況出發(fā)，則優(yōu)化上弦索節(jié)點初始坐標位置實質(zhì)上就是對上弦索單元和中間縱向索單元原始索段長度的優(yōu)化調(diào)整。

由于單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的表面精度是根據(jù)上弦索單元節(jié)點平衡態(tài)時的縱坐標值與其在理想拋物線上的縱坐標值之間的偏差計算得出的，因此，為避免過多的設(shè)計變量數(shù)目給優(yōu)化計算帶來不利影響，文中僅將上弦索節(jié)點初始縱坐標值相對于理想位置的變化量作為優(yōu)化時的設(shè)計變量；在優(yōu)化迭代計算時只需將這一變化量與節(jié)點在原來理想位置時的縱坐標值相加得到新的節(jié)點初始縱坐標值。另外，因為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)上弦索單元共包含18個節(jié)點，而左右兩端的2個節(jié)點又為固結(jié)點，故此處節(jié)點縱坐標變化量的數(shù)目共有16個。

2 以表面精度為目標函數(shù)時的優(yōu)化計算分析

以表面精度最小為目標函數(shù)，以16個上弦索節(jié)點縱坐標變化量為設(shè)計變量，可以建立如下優(yōu)化數(shù)學模型：

(1)

(2)

圖3所示的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)為優(yōu)化對象進行優(yōu)化計算時，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的索材料設(shè)為芳綸纖維材料，其單元彈性模量和密度分別取為1.24e11 N/m2和1.45e3 kg/m3；優(yōu)化計算時將索單元初始預張力值均取為50 N，索單元半徑值均取為1 mm。在確定設(shè)計變量取值范圍方面，由于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)需具有反向雙曲結(jié)構(gòu)形式，這樣就要求節(jié)點縱坐標的變化范圍不能設(shè)的太大而使上弦索出現(xiàn)直線或與原方向相反的彎曲結(jié)構(gòu)形式。為此，在進行了一些試算的基礎(chǔ)上，文中將上弦索節(jié)點縱坐標變化量取值的上、下限分別設(shè)為1 mm和-1 mm，優(yōu)化計算時16個設(shè)計變量的初始值均取為0 mm，此時上弦索的初始位置將正好處于理想拋物線上。

采用序列二次規(guī)劃法[9-12]對優(yōu)化模型進行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。其中，表面精度最優(yōu)值為0.011 53 mm，它與計算初始值0.086 18 mm相比下降了86.62%；另外，此時的基頻值為4.303 25 Hz。表1列出了在最優(yōu)解處設(shè)計變量的具體取值情況。

圖4　表面精度在優(yōu)化迭代計算中的變化情況圖

表1 以表面精度為優(yōu)化目標時最優(yōu)解處設(shè)計變量的取值

上弦索節(jié)點號縱坐標變化量Δz/mm上弦索節(jié)點號縱坐標變化量Δz/mm2-0.004258100.0211603-0.015370110.0334604-0.042490120.0884905-0.036420130.10850060.042900140.1681007-0.035840150.2196008-0.007770160.27840090.014440170.307900

由表1可知，在最優(yōu)解處上弦索節(jié)點縱坐標變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關(guān)，與水平方向夾角大的單元節(jié)點的縱坐標變化量也相應較大。這是因為當以表面精度為優(yōu)化目標時，優(yōu)化計算的作用實質(zhì)上就是相對于理想位置預先給上弦節(jié)點一個變形量，以使變形后的上弦索形狀能夠盡量與理想拋物線重合，因此，優(yōu)化得到的節(jié)點縱坐標變化量實際上反映的是各節(jié)點受力后偏離其原位置的程度。因為在初始預張力的作用下，與水平方向夾角大的索單元在豎直方向獲得的分力相應較大，故該單元上的節(jié)點在縱坐標方向上的變形量也較大，因此最優(yōu)解處得到的節(jié)點縱坐標變化量會隨著節(jié)點所在單元與水平方向夾角的增大而增大。

另一方面，在整個優(yōu)化計算過程中結(jié)構(gòu)基頻值的變化很小，由此可知，當以節(jié)點坐標位置為設(shè)計變量時，可以實現(xiàn)在不影響結(jié)構(gòu)的動力性能的前提下對表面精度進行優(yōu)化設(shè)計。

國內(nèi)相關(guān)研究機構(gòu)已對可展開天線中的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行了較長時間的研究，在已有的較為成熟全面的研究中，文獻[8]以可展開天線中索網(wǎng)單元的預張力為設(shè)計變量進行了天線結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，取得的優(yōu)化結(jié)果中索網(wǎng)表面精度值為2 mm左右，且優(yōu)化計算中基頻值受設(shè)計變量的影響非常大，這導致優(yōu)化目標受基頻變化的影響難以得到更理想的最優(yōu)解；文獻[13]以可展開天線中縱向索單元的長度為設(shè)計變量對天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，取得的優(yōu)化結(jié)果中索網(wǎng)表面精度值也為毫米量級，且基頻值受設(shè)計變量的影響同樣很大。與這些研究相比，文中取得的優(yōu)化結(jié)果中，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)表面精度值為0.011 53 mm，且以文中提出的形狀優(yōu)化方法進行優(yōu)化計算時，結(jié)構(gòu)基頻變化很小，這將能為可展開天線整體性能優(yōu)化計算提供更有利的優(yōu)化手段。

3 以基頻為目標函數(shù)時的優(yōu)化計算分析

以結(jié)構(gòu)的基頻最大為優(yōu)化目標，以16個上弦索節(jié)點縱坐標變化量為設(shè)計變量，可以建立以下優(yōu)化數(shù)學模型：

(3)

采用與上一節(jié)相同的參數(shù)設(shè)置以及計算方法來求解上面的優(yōu)化模型，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。其中，最大結(jié)構(gòu)基頻值為4.304 22 Hz，它與計算初始值4.303 29 Hz相比提高了0.021 61%；另外，此時的表面精度值為0.857 2 mm。表2列出了在最優(yōu)解處設(shè)計變量的具體取值情況。

圖5　基頻在優(yōu)化迭代計算中的變化情況

上弦索節(jié)點號縱坐標變化量Δz/mm上弦索節(jié)點號縱坐標變化量Δz/mm2010-13-111-14-112-15-113-16-114-17-115-18-11609-1171

由表2可知，最優(yōu)解處上弦索最右端節(jié)點的縱坐標上移至取值范圍的上限，而中間13個節(jié)點的縱坐標則下移至取值范圍的下限。這樣的取值使得上弦索具有更大的彎曲程度，從而令結(jié)構(gòu)內(nèi)的應力水平達到最大，并相應地使結(jié)構(gòu)基頻在此處也得到了它的最大值。

另外，在整個優(yōu)化計算過程中結(jié)構(gòu)基頻值的變化很小，這與上一節(jié)得到的計算效果相同。因此，可以進一步證實：上弦索節(jié)點縱坐標初始位置在較小范圍內(nèi)的變化對結(jié)構(gòu)的動力性能將不會產(chǎn)生很大的影響。因此，在可展開天線剛性結(jié)構(gòu)部分設(shè)計給定的情況下，采用文中方法對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，將不會降低天線的整體動力性能，這一點將有利于可展開天線整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。

5結(jié)論

1)算例表明，以索單元節(jié)點坐標值為優(yōu)化設(shè)計變量，應用序列二次規(guī)劃法，可以較好地解決包含精度、頻率等復雜優(yōu)化目標的可展開天線幾何非線性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問題，得到的優(yōu)化結(jié)果對于工程實踐具有一定的指導意義。

2)通過以索網(wǎng)表面精度為目標的優(yōu)化計算可知，最優(yōu)解處上弦索節(jié)點縱坐標變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關(guān)，節(jié)點縱坐標變化量會隨著節(jié)點所在單元與水平方向夾角的增大而增大。由此可知，與水平方向夾角大的上弦索單元的節(jié)點縱坐標值在優(yōu)化過程中對優(yōu)化目標具有較大的影響。

3)由上面兩類優(yōu)化計算可知，上弦索節(jié)點縱坐標初始位置在較小范圍內(nèi)的變化對結(jié)構(gòu)的動力性能將不會產(chǎn)生很大的影響。這表明，以節(jié)點坐標位置

為設(shè)計變量的天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計，不會在優(yōu)化的同時降低索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的動力性能。

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網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1191.U.20151206.1008.006.html

Shape optimization of cable-net structures

YOU Guoqiang，LIU Ruini，HU Jingqin

School of Technology and Engineering, Xi’an Fanyi University, Xi’an 710105, China

Abstract：Based on the special requirements of deployable space antenna, a shape optimization method is proposed here for the cable-net structure of a perimeter truss type deployable antenna according to its special performance features. In this method, the optimal mathematical model is established with the vertical ordinate of upper cable nodes as variables, surface precision of cable-net and fundamental frequency of structure as objectives. And considering the nonlinearity and complexity of the finite element computation of the cable net, the sequential quadratic programming method is used to solve it. The analysis results of examples show that the shape optimization can effectively improve the structural properties of cable-net structures, and these results can be helpful for engineering practice.

Keywords：deployable antenna; cable-net structure; shape optimization; surface precision; fundamental frequency; optimum mathematic model; sequential quadratic programming

通信作者：尤國強，E-mail：simonyouyou@163.com.

作者簡介：尤國強(1980-)，男，講師，博士；

基金項目：陜西省教育廳資助項目(14JK2040).

收稿日期：2015-04-09.網(wǎng)絡出版日期：2015-12-06.

中圖分類號：V443.4

文獻標志碼：A

文章編號：1009-671X(2015)06-058-04

doi:10.11991/yykj.201504007