穩(wěn)定分布條件下的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量模型

武 東，李 瓊，劉愛(ài)國(guó)

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，合肥 230036；2.安徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系，合肥 230022）

0 引言

金融時(shí)間序列主要研究資產(chǎn)價(jià)值隨時(shí)間變化的理論與實(shí)踐。最為常見(jiàn)的金融時(shí)間序列是股票序列，其主要特征有收益率序列非平穩(wěn)性、弱相關(guān)性、波動(dòng)性聚類、厚尾性和杠桿效應(yīng)等諸多特征。為了刻畫金融時(shí)間序列的這些特征，常采用GARCH族模型[1]進(jìn)行擬合。1982年，Engle首創(chuàng)了自回歸條件異方差模型[2](簡(jiǎn)稱ARCH模型)，該條件方差模型是過(guò)去新息平方的函數(shù)，它運(yùn)用ARCH模型并結(jié)合AR模型成功預(yù)測(cè)了英國(guó)通貨膨脹問(wèn)題。1986年，Bollerslev推廣了ARCH模型，將過(guò)去的條件方差引入條件方差模型得到GARCH模型[3]，該模型能較好地計(jì)算股票收益率序列的波動(dòng)率。然而，ARCH模型和GARCH模型的條件方差均為過(guò)去新息平方的函數(shù),因此價(jià)格的升降變化對(duì)條件方差的影響是對(duì)稱的。但實(shí)踐中，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)好消息出現(xiàn)時(shí)，證券市場(chǎng)波動(dòng)變化不大，而壞消息出現(xiàn)時(shí)，證券市場(chǎng)波動(dòng)變化增大。通常，EGARCH模型和GJR-GARC H模型等非對(duì)稱GARCH模型均能刻畫新息的不對(duì)稱影響。

近來(lái)，文獻(xiàn)[4]推廣了GARCH模型和EGARCH模型得到了基于穩(wěn)定分布的PARCH模型和EPGARCH模型，并對(duì)滬深股票市場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)證研究。EPGARCH-S模型能刻畫金融時(shí)間序列的厚尾性、波動(dòng)聚類性和杠桿效應(yīng)等特征。在證券市場(chǎng)的實(shí)證分析中，首先對(duì)滬深港美股票指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行了描述性分析，得出它們均具有高峰厚尾特性和GARCH效應(yīng)。然后，利用EPGARCH-S模型和EGARCH-t模型對(duì)滬深指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列計(jì)算了風(fēng)險(xiǎn)值(VaR[5])。統(tǒng)計(jì)表明，基于EPGARCH-S模型的VaR能較好地評(píng)價(jià)金融風(fēng)險(xiǎn)。

1 模型

Mandelbrot(1963)[6]和Fama(1965)[7]指出股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率序列呈非正態(tài)性，建議使用穩(wěn)定分布擬合股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率。眾所周知，穩(wěn)定分布族是正態(tài)分布的一種推廣，但穩(wěn)定分布沒(méi)有解析的密度函數(shù)形式只能用它的特征函數(shù)進(jìn)行描述。下面給出一種較為常用的穩(wěn)定分布的特征函數(shù)的定義[8]。

定義1若隨機(jī)變量X的特征函數(shù)可表示為

則稱隨機(jī)變量X服從穩(wěn)定分布，記為S(α，β，γ，δ)，如果參數(shù)γ=1，δ=0，則稱為標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)定分布,并簡(jiǎn)記為S(α，β)。這里α表示尾部特征參數(shù)，主要反映分布尾部的厚薄程度；而β表示偏性參數(shù)，β＞0表示分布密度曲線是左偏的，β＜0表示分布密度曲線是右偏的，當(dāng)β=0時(shí),這時(shí)分布是對(duì)稱的。

假設(shè)證券價(jià)格的日收益率的條件均值方程為

其中新息zt的分布是零均值單位方差的標(biāo)準(zhǔn)化分布，由于EGARCH模型能較好地捕獲金融時(shí)間序列的高峰厚尾特性和杠桿效應(yīng)等，文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步推廣了EGARC H模型得到了EPGARCH模型，本文的條件方差函數(shù)采用EPGARCH模型，其表述形式為

若條件方差模型中的新息分布為穩(wěn)定分布，從而得到基于穩(wěn)定分布的EPGARCH模型，記為EPGARCH-S模型。當(dāng)d=2時(shí)，則退化為EGARCH模型，若取新息分布為t分布，則能得到基于t分布的EGARCH模型，簡(jiǎn)記為EGARCH-t模型。下面利用這兩個(gè)模型對(duì)滬深證券市場(chǎng)的收益率序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模并考查二者在VaR計(jì)算方面的有效性。

2 證券市場(chǎng)的實(shí)證分析

2.1 證券市場(chǎng)的特征分析

現(xiàn)在將上證綜合指數(shù)(000001)、深證成指(399001)、創(chuàng)業(yè)板指(399006)和創(chuàng)業(yè)300(399012)的日收盤價(jià)格作為研究對(duì)象。時(shí)間區(qū)間為2010年6月1日到2014年4月30日。這是因?yàn)?008～2009年是全球金融風(fēng)暴，故選擇的時(shí)間起點(diǎn)為2010年，這樣可以減少在此之前股票價(jià)格大幅度波動(dòng)對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響。收益率選取日收盤價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率，即pt為第t天的收盤價(jià)格，則第t天的收益率的公式為rt=100(lnpt-lnpt-1)。

表1 滬深指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的描述統(tǒng)計(jì)

表1列舉了滬深港美股指收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。四只股票指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率的峰度均大于3，說(shuō)明其具有高峰厚尾特性。下面利用EGARCH類模型對(duì)上述股票指數(shù)的收益率序列進(jìn)行建模，表2列舉了股票指數(shù)的EGARCH類模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。在EGARCH-t模型的參數(shù)估計(jì)中，α表示t分布的自由度，模型參數(shù)估計(jì)的方法采用了約束條件下的非線性優(yōu)化算法[4]。從表2中的α值可以看出,股票的收益率序列都具有高峰厚尾特性,因?yàn)镋PGARCH-S模型中的參數(shù)α是刻畫尾部特征的，β是偏性參數(shù)。說(shuō)明EPGARCH-S模型可以刻畫股票市場(chǎng)的非對(duì)稱性(杠桿效應(yīng))。

表2 滬深指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的EGARCH類模型的參數(shù)估計(jì)

2.2 風(fēng)險(xiǎn)度量的計(jì)算原理

定義2設(shè)隨機(jī)變量Z表示投資一定數(shù)額的資產(chǎn)W后，在未來(lái)某一持有期T內(nèi)的損益，則稱滿足P{Z＜-VaR}=α的正數(shù)VaR為該投資組合在未來(lái)持有期T內(nèi)置信水平為1-α的風(fēng)險(xiǎn)值。

假設(shè)該投資組合在[0 ，T]時(shí)期內(nèi)的收益率X=Z/W的分布函數(shù)為F(x)，且該投資組合的收益率分布的下側(cè)α分位數(shù)為xα=sup{x|P{X≤x} ≤α} ，則VaR(Z)=-xαW， 對(duì)于收益率序列{rt},可以得到VaR(rt)的計(jì)算公式為

2.3 EGARCH類模型在風(fēng)險(xiǎn)值計(jì)算中的比較分析

表3和表4給出利用EGARCH類模型計(jì)算得到股票收益率的風(fēng)險(xiǎn)值模型結(jié)果。下面利用Kupiec提出的似然比檢驗(yàn)法[9]驗(yàn)證EGARCH類模型的有效性。在Kupiec假設(shè)檢驗(yàn)中，若N為檢驗(yàn)樣本中損失高于VaR值的次數(shù)，n為樣本量。假設(shè)損失超出VaR值的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即N～B(n，1-α)，其中α為所用模型采用的置信水平，因此失效率f=N/T應(yīng)等于p。Kupiec假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)為H0:f=p，相應(yīng)的似然比統(tǒng)計(jì)量為

由表3和表4可以得到如下結(jié)論：第一，從Kupiec檢驗(yàn)的P值可見(jiàn)，在顯著性水平0.05，0.01下，EPGARCH-S模型基本上都是有效的，只有當(dāng)顯著性水平為0.05時(shí)，創(chuàng)業(yè)板指的VaR模型失效，因?yàn)槠銹值小于給定顯著性水平，而基于EGARCH-t模型的VaR模型都是失效的，因?yàn)樗蠵值均很小，說(shuō)明EPGARCH-S模型能較好地刻畫風(fēng)險(xiǎn)，而EGARCH-t模型擬合效果欠佳；第二，從失效天數(shù)、失效比率可以發(fā)現(xiàn)，基于EEPGARCH-S模型計(jì)算得到的失效比率接近于顯著性水平，而基于GARCH-t模型計(jì)算的失效比率偏離顯著性水平較大；第三，從VaR均值比較可見(jiàn)，基于EPGARCH-S模型的VaR均值要略低于基于EGARCH-t模型的VaR均值，說(shuō)明基于EGARCH-t模型的VaR值過(guò)于保守且不夠準(zhǔn)確；第四，由VaR均值可以得到結(jié)論：在一定顯著性水平下，創(chuàng)業(yè)板指(399006)和創(chuàng)業(yè)300(399012)兩只創(chuàng)業(yè)股的風(fēng)險(xiǎn)值要大于兩只綜合指數(shù)股，說(shuō)明其風(fēng)險(xiǎn)更高，投資時(shí)須謹(jǐn)慎。

表3 基于EGARCH類模型的VaR計(jì)算(α=0.05)

表4 基于EGARCH類模型的VaR計(jì)算(α=0.01)

通過(guò)上面的比較分析,可以得出結(jié)論：一方面，由于穩(wěn)定分布相對(duì)于t分布更具有靈活多變的特征，而穩(wěn)定分布能較為準(zhǔn)確地刻畫金融時(shí)間序列的尾部特征；另一方面，EPGARCH模型比EGARCH模型增加了一個(gè)未知參數(shù)，形式更加靈活，對(duì)收益序列的波動(dòng)率的捕獲能力更強(qiáng)。綜上所言，EPGARCH-S模型對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)的對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)率的擬合準(zhǔn)確度較高,能較好地描述證券市場(chǎng)的對(duì)數(shù)收益率的“易變性聚類”現(xiàn)象和“高峰厚尾”特性。

3 結(jié)論

EPGARCH-S模型融合了穩(wěn)定分布和EPGARCH模型二者的優(yōu)點(diǎn)，從而能很好地刻畫證券市場(chǎng)對(duì)數(shù)收益率序列的諸多特征,如高峰厚尾,波動(dòng)聚集性,非對(duì)稱性等。故本文采用了EPGARCH-S模型對(duì)我國(guó)證券市場(chǎng)的對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)值計(jì)算，從Kupiec檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，其精度高于傳統(tǒng)的EGARCH-t模型。統(tǒng)計(jì)表明，EPGARCH-S模型能很好地計(jì)算和評(píng)估股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

[1]張世英,樊智,協(xié)整理論與波動(dòng)模型:金融時(shí)間序列分析及應(yīng)用[M],北京:清華大學(xué)出版社，2004.

[2]Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimation of The Variance of United Kingdom Inflation[J].Econometrica,1982,(50).

[3]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics,1986,(31).

[4]武東,湯銀才,基于穩(wěn)定分布的EPGARCH模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008,25(1).

[5]Jorison P.Value at Risk:The New Benchmark for Controlling Market Risk[M].New York:McGraw-Hill Companies,1997.

[6]Mandelbrot,B.The Variation of Certain Speculation Prices[J].Journal of Business,1963,(26).

[7]Fama E F.The Behavier of Stock Prices[J].Journal of The Business,1965,(38).

[8]武東,湯銀才.穩(wěn)定分布及其在金融中的應(yīng)用[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2007,23(4).

[9]Kupiec P.Techniques for Verifying The Accuracy of Risk Measurement Models[J].Journal of Derivatives,1995,(2).