基于離散GM模型和指數(shù)平滑模型組合的統(tǒng)計預(yù)測方法

陳有為

（西安郵電大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，西安710121）

1 離散GM模型和指數(shù)平滑模型構(gòu)建

1.1 離散GM（1，1）模型

根據(jù)離散GM（1，1）模型的基本原理，設(shè)定含參數(shù)的擬合模型如下：

其中，參數(shù)β1和β2由最小二乘估計得到，計算方法為：

1.2 指數(shù)平滑模型

指數(shù)平滑模型是一種在數(shù)值加權(quán)平均的基礎(chǔ)上進行預(yù)測的模型，其基本原理是：首先對原始數(shù)據(jù)進行平滑處理，然后根據(jù)處理后的新數(shù)值，經(jīng)過估計參數(shù)進行模型擬合，再用該模型進行數(shù)值預(yù)測。一般而言，指數(shù)平滑模型中的加權(quán)系數(shù)根據(jù)幾何級數(shù)遞減，所有權(quán)數(shù)的和為1。指數(shù)平滑模型思路簡單，計算方法通俗易懂，預(yù)測結(jié)果也相對較穩(wěn)定，不僅適用于短期序列的預(yù)測，還適用于中期序列預(yù)測。本文采用三次指數(shù)平滑模型進行預(yù)測，其基本計算公式如下：

1.3 組合預(yù)測模型構(gòu)建

灰色系統(tǒng)模型的一大優(yōu)點在于不要求通過足夠的數(shù)據(jù)建立模型，因此可以將原有數(shù)據(jù)序列的末端數(shù)據(jù)根據(jù)不同步長分別構(gòu)建離散GM（1，1）模型，然后將所有的單項模型分別和指數(shù)平滑模型進行組合，再從中選擇最佳組合模型，從而達到精確預(yù)測的效果。

現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)根據(jù)n個初始數(shù)據(jù)，構(gòu)建了m個單項的GM（1，1）模型xi(0)（k）（其中，i=1，2，…，m；k=1，2，…，n），于是，根據(jù)這些單項模型，結(jié)合指數(shù)平滑模型，可構(gòu)建組合預(yù)測模型如下：

其中，w1，w2，…，wm為待定的組合加權(quán)系數(shù)，有w1+w2+…+wm=1。一般可以根據(jù)最大灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的法則對組合加權(quán)系數(shù)進行確定。定義原始數(shù)據(jù)序列{x(0)（k）}與預(yù)測數(shù)據(jù)序列{xi*(0)（k）}的相關(guān)系數(shù)可進行如下計算：

根據(jù)相關(guān)系數(shù)最大值的原則，可以解得式（12）中的權(quán)重系數(shù)wi（i=1，2，…，m）。這個問題歸結(jié)為求式（13）的R（xi*(0)（k），xi(0)（k））的最大值，這是一個非線性最優(yōu)解問題，可通過非線性規(guī)劃求得。

在解得權(quán)重系數(shù)w*i（i=1，2，…，m）后，組合預(yù)測模型中的預(yù)測值xi*(0)（k）可表示為以下線性組合：

2 組合預(yù)測模型在實際統(tǒng)計領(lǐng)域中的運用

為了檢驗離散GM模型與指數(shù)平滑模型組合后的改進模型在實際統(tǒng)計運用中的有效性和預(yù)測精度，首先選取我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量進行預(yù)測，時間跨度為1991～2012年。其中，城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜數(shù)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 1991～2012年我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜數(shù)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

首先，根據(jù)城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜數(shù)量的原始數(shù)據(jù)，構(gòu)建三次指數(shù)平滑模型。這里，首先需對加權(quán)系數(shù)λ進行確定。根據(jù)最小二乘原則，選定初始值 S0（1）=S0（2）=S0（3）=125.9，確定加權(quán)系數(shù)λ的值為 0.65。于是，可根據(jù)式（6）～式（11），計算得到：

根據(jù)以上的三次平滑預(yù)測模型，可以計算2003～2012年我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜數(shù)量的擬合值，結(jié)果如表2所示。

然后，根據(jù)城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜數(shù)量的原始數(shù)據(jù)，構(gòu)建離散GM（1，1）模型。由前面的分析，這里分別根據(jù)2002～2012年的數(shù)據(jù)序列、2003～2012年的數(shù)據(jù)序列、2004～2012年的數(shù)據(jù)序列和2005～2012年的數(shù)據(jù)序列，構(gòu)建4個離散GM（1，1）模型，然后分別將這四個離散GM（1，1）模型與三次指數(shù)平滑模型進行組合，并根據(jù)相關(guān)系數(shù)值最大的規(guī)則選擇最優(yōu)組合預(yù)測模型。

計算可得，通過2003～2012年的數(shù)據(jù)序列建立的組合預(yù)測模型的相關(guān)系數(shù)達到0.762，是四個組合預(yù)測模型中最高的，因此利用2003～2012年數(shù)據(jù)序列建立的離散GM（1，1）模型最為合理。參考式（2）和式（3），并借鑒王豐效（2011）等人的方法，采用最小二乘法對離散GM（1，1）模型的參數(shù)進行估計，結(jié)果為：

根據(jù)該遞推公式，便可得到2003年至2012年我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量的GM（1，1）擬合值，結(jié)果仍如表2所示。

根據(jù)以上三次指數(shù)平滑預(yù)測模型和離散GM（1，1）預(yù)測模型，可構(gòu)建組合預(yù)測模型。根據(jù)式（13），并采用一定的計算處理，可得到三次指數(shù)平滑預(yù)測模型和離散GM（1，1）預(yù)測模型的權(quán)重系數(shù)分別為：

于是，通過加權(quán)可得到組合預(yù)測模型下我國2003年至2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量的預(yù)測值，結(jié)果仍由表2給出。

表2 三種預(yù)測模型的我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量預(yù)測值

對比表2中三種預(yù)測方法得到的結(jié)果可知，由離散GM（1，1）模型與指數(shù)平滑模型的組合模型預(yù)測結(jié)果的均方誤差低于兩種單項預(yù)測方法。組合模型預(yù)測結(jié)果的均方誤差僅為3.2767，而離散GM（1，1）方法預(yù)測結(jié)果的均方誤差高達9.3809。從歷年我國城鎮(zhèn)居民人均蔬菜購買量的預(yù)測誤差來看，組合預(yù)測方法得到的各年預(yù)測誤差普遍低于另外兩種單項預(yù)測方法，計算可得，組合預(yù)測方法得到的平均絕對誤差值為2.0792，三次指數(shù)平滑模型得到的平均絕對誤差值為4.3755，離散GM（1，1）模型得到的平均絕對誤差值為5.0564。

由圖1可清晰地看出，組合預(yù)測模型對我國城鎮(zhèn)居民人均蔬菜購買量的預(yù)測值最接近原始值，而離散GM（1，1）的預(yù)測波動性最高。由此可見，組合預(yù)測模型的預(yù)測精度要高于三次指數(shù)平滑模型和離散GM（1，1）模型。

圖1 三種預(yù)測模型對我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量預(yù)測結(jié)果的比較（單位：千克）

3 結(jié)論

由于指數(shù)平滑預(yù)測模型對樣本數(shù)據(jù)的條件要求較高，特別是需要大量的時間序列，而離散GM（1，1）預(yù)測模型雖然不要求提供大量的原始數(shù)據(jù)，但在實際過程中對離散的數(shù)據(jù)預(yù)測效果并不是很好，為此本文通過加權(quán)方法，設(shè)計了一種由三次指數(shù)平滑預(yù)測模型和離散GM（1，1）預(yù)測模型組合的預(yù)測模型，并選取了我國城鎮(zhèn)居民家庭人均購買鮮菜量的實例進行預(yù)測和比較。由實證結(jié)果可知，由組合預(yù)測模型得到的預(yù)測結(jié)果在預(yù)測精度上優(yōu)于三次指數(shù)平滑預(yù)測模型和離散GM（1，1）預(yù)測模型，因此這種組合預(yù)測模型可能比單項的預(yù)測模型更具有可行性。

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