關于Smarandache LCM函數(shù)與Smarandache簡單數(shù)列的混合均值

賴展翅

(咸陽職業(yè)技術學院基礎部，陜西　咸陽　712000)

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關于Smarandache LCM函數(shù)與Smarandache簡單數(shù)列的混合均值

賴展翅

(咸陽職業(yè)技術學院基礎部，陜西咸陽712000)

摘要：為了研究Smarandache LCM函數(shù)與Smaran-dache 簡單數(shù)列的混合均值性質，利用初等方法和解析方法，獲得了復合函數(shù)SL(pd(n))的混合均值的性質及漸近公式。發(fā)展了F.Smarandache教授在《Only Problems，Not solutions》一書中相關問題的研究工作。

關鍵詞：Smarandache LCM函數(shù); Smarandache簡單數(shù)列;混合均值; 漸近公式

1引言及結論

Smarandache簡單數(shù)集A：

其中d(n)為n的所有正因數(shù)的個數(shù)。這兩個數(shù)列稱為Smaran-dache 簡單數(shù)列。

對于Smarandache LCM函數(shù)與Smaran-dache 簡單數(shù)列的研究文獻已不少[2-9]，本文在前面文獻的基礎上，利用初等方法和解析數(shù)論方法，研究了復合函數(shù)SL(Pd(n))與SL(qd(n))的混合均值性質，即就是將證明以下結論：

定理設k≥2是給定正整數(shù)，對于任意整數(shù)x≥1，有下面的漸進公式：

其中ci(i=2，3，…，k)，di(i=2，3，…，k)是可計算常數(shù)。

2引理及其證明

SL(n)=P(n)。

證明設pi是n的素因子， (1

(1)

SL(P(n))=P(n)

(2)

由式(1)與式(2)立刻得到

P(n)

完成了推論的證明。

引理4[10]81對于任何實數(shù)x>1，有漸近公式

其中ai=(i-1)!，(i=1，2，3，…，k)。

3定理的證明

分類討論

(3)

由Abel求和公式[10]77及引理4有：

(4)

其中bi(i=1，2，3，…，k)是可計算常數(shù)。

(5)

由式(3)~式(5)可推得：

其中ci(i=2，3，…，k)是可計算常數(shù)。

結合式(1)和式(2)立即得到：

其中ci(i=1，2，3，…，k)是可計算常數(shù)。

用類似的方法可證明

其中ci(i=1，2，3，…，k)是可計算常數(shù)。

定理證明完畢。

參考文獻：

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[11]潘承洞，潘承彪. 解析數(shù)論基礎[M]. 北京：科學出版社，1999：93.

(責任編輯：何學華)

One hybrid Mean Value figure Involving of Smarandache LCM Function and Smarandache Sequences

LAI Zhan-chi

(Department of Basic Courses，Xianyang Vocational and Technical College, Xianyang Shaanxi 712000, China)

Abstract:In order to study the hybrid mean value properties of Smarandache LCM function and Smarandache sequences, the primary method and the analysis method were used. The hybrid mean value nature of the composite function SL(pd(n)) and its asymptotic figure were obtained. The study developed research work for the questions described in the book "Only Problems, Not solutions" by Professor F. Smarandache.

Key words:Smarandache LCM function; Smarandache sequences；mean value; asymptotic figure

作者簡介：賴展翅(1964-)，男，陜西咸陽人，副教授，碩士，研究方向：基礎數(shù)學及應用數(shù)學研究。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(10671155)；陜西省自然科學基金資助項目(SJ08A28)

收稿日期：2015-02-09

中圖分類號：O156.4

文獻標志碼：A

文章編號：1672-1098(2015)04-0016-03