平等對(duì)待極坐標(biāo)系

趙澤福，趙燕春（昭通學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南　昭通　657000）

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平等對(duì)待極坐標(biāo)系

趙澤福，趙燕春
（昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000）

摘要：遵循簡(jiǎn)潔明了原則，本文結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際，把極坐標(biāo)系在高中教學(xué)大綱中的地位和極坐標(biāo)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用進(jìn)行對(duì)比，闡述了極坐標(biāo)參照系的重要性.因此在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們應(yīng)該把極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)這兩個(gè)參照系統(tǒng)平等對(duì)待.

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)系；平面直角坐標(biāo)系；圓錐曲線(xiàn)；簡(jiǎn)潔明朗原則

極坐標(biāo)系與其他坐標(biāo)系（比如直角坐標(biāo)系）一樣，也是數(shù)學(xué)中確定平面上點(diǎn)的位置的重要的參照系統(tǒng).在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，從O點(diǎn)出發(fā)作一條水平向右的射線(xiàn)OX，并規(guī)定長(zhǎng)度單位和轉(zhuǎn)角的正方向，這樣就構(gòu)了極坐標(biāo)系.

極坐標(biāo)系是一個(gè)單純的二維系統(tǒng)，該系統(tǒng)中任意點(diǎn)P的位置均可由P相對(duì)于極點(diǎn)O的距離ρ和一個(gè)OX逆時(shí)針轉(zhuǎn)至OP的轉(zhuǎn)角θ組成的有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)來(lái)表示.其應(yīng)用的范圍十分廣泛，數(shù)學(xué)、物理、工程、航海、航空等領(lǐng)域都用得上.簡(jiǎn)單地說(shuō)，極坐標(biāo)系就是利用“方向”和“距離”來(lái)表示平面上點(diǎn)的位置，這一數(shù)學(xué)思想也是非常貼近學(xué)生的生活實(shí)際的.

極坐標(biāo)系中曲線(xiàn)與方程的關(guān)系與學(xué)生非常熟悉的平面直角坐標(biāo)系中曲線(xiàn)與方程的關(guān)系有些不同，原因在于一個(gè)確定的點(diǎn)P的極坐標(biāo)具有多樣性，即點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ, θ)不具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是與無(wú)數(shù)個(gè)有序?qū)崝?shù)(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)對(duì)應(yīng).這與平面直角坐標(biāo)系不同，但不影響極坐標(biāo)系的應(yīng)用價(jià)值，畢竟平面上兩個(gè)不同點(diǎn)A,B的極坐標(biāo)是不同的，這就是極坐標(biāo)作為一種有效的參照系統(tǒng)的原因吧.

高中數(shù)學(xué)考試大綱對(duì)極坐標(biāo)的要求過(guò)低，在加上課時(shí)上的限制，實(shí)施新課程的多數(shù)省市都將本專(zhuān)題作為選學(xué)選考內(nèi)容.因此多數(shù)師生都不重視，從而把極坐標(biāo)系邊緣化，學(xué)生只知道直角坐標(biāo)系而不知還有其他坐標(biāo)系.

對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，參照系的選擇原則上是任意的，但參照系的不同對(duì)問(wèn)題研究的難易程度有很大的影響，具體表現(xiàn)之一為計(jì)算上的冗簡(jiǎn)程度.優(yōu)化計(jì)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要必備能力，同時(shí)也是學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的一大障礙.教師要重視引導(dǎo)學(xué)生：在解題運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)算的合理性、簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性.因此能達(dá)到這一要求的解題途徑，才算得上最佳的解題途徑.

我們選擇參照系統(tǒng)時(shí)要遵循簡(jiǎn)單、方便、可行的原則，并掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)各自的特點(diǎn)和能夠包含的信息.極坐標(biāo)使用極距和極角，直角坐標(biāo)則包含到兩坐標(biāo)軸距離等信息，其多適于解決函數(shù)問(wèn)題.極坐標(biāo)參照系統(tǒng)和直角坐標(biāo)參照系統(tǒng)描述同一運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)有異曲同工之妙，但在繁簡(jiǎn)程度方面卻有迥異.所以在研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)應(yīng)該平等供我們選擇.當(dāng)然選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)膮⒄障到y(tǒng)以后，還要注意必須建立合適的坐標(biāo)系，這才有效優(yōu)化我們的解答路徑.

圓錐曲線(xiàn)是歷年高考的必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，關(guān)于圓錐曲線(xiàn)試題,多數(shù)是綜合題,在高考中常處于壓軸題的位置,并且題型變化靈活,目的是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.不過(guò)有些平面幾何及圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題如用極坐標(biāo)法，不僅解決問(wèn)題的思路簡(jiǎn)便，而且運(yùn)算過(guò)程非常簡(jiǎn)化.現(xiàn)例舉如下：

1　有關(guān)圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度問(wèn)題

以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，過(guò)F垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l的射線(xiàn)為極軸建立極坐標(biāo)系，得圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程統(tǒng)一為其中p是焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，運(yùn)用此方程并結(jié)合ρ和θ的幾何意義解決橢圓（01）、拋物線(xiàn)（e=1）的有些焦點(diǎn)弦問(wèn)題堪稱(chēng)干凈利落.

例1（2010全國(guó)卷1文理數(shù)（16））已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn)D，且BF=2FD，則橢圓C的離心率e為_(kāi)________.

圖1　

解析很多高中教師都認(rèn)為：此題作為客觀題還是稍微難了點(diǎn).方法一、考生的習(xí)慣解法為，作DD1⊥y軸于D1，由BF=2FD得，，所以即，由橢圓的第二定義知：又由BF=2FD得a=2，即a2=3c2，所以

如果我們采用圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)統(tǒng)一方程，情況又如何呢？方法二、，由BF=2FD得又如圖易知，則整理①得=2，即3e2=1，所以e=.明顯感覺(jué)到方法二比方法一簡(jiǎn)潔明朗些！

由此可以看出：在處理圓錐曲線(xiàn)某些涉長(zhǎng)度的焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，采用極坐標(biāo)參照系把問(wèn)題化歸為關(guān)于極角θ的三角函數(shù)問(wèn)題，處理起來(lái)是要方便一些.

2　有關(guān)橢圓、雙曲線(xiàn)中心弦和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)弦問(wèn)題

此時(shí)以橢圓、雙曲線(xiàn)中心或拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為極點(diǎn)O，以圓錐曲線(xiàn)的一軸為極軸建立極坐標(biāo)系.令x=ρcosθ，y=ρsinθ把平面直角坐標(biāo)系方程換算成極坐標(biāo)方程，從而使得解題過(guò)程出乎意料的明朗快捷.

圖2　

解析作為特殊情況，當(dāng)l1、l2分別為x軸、y軸時(shí)，⑴顯然成立，但在一般情況下設(shè)l1方程為y=kx，則l2方程為，把這兩方程代入橢圓方程解出A、B、C、D的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式求出|AB|、|CD|，然后將|AB|、|CD|代入⑴左邊化簡(jiǎn)即得證.

問(wèn)題⑵,由于四邊形ABCD面積S=|AB|?|CD|，則問(wèn)題變成一個(gè)關(guān)于k的無(wú)理式的最值問(wèn)題.

這樣做不但要解兩個(gè)方程組，而且還要涉及無(wú)理式的化簡(jiǎn)、求最值等，這兩份工作都是學(xué)生不情愿做的（當(dāng)然萬(wàn)不得之時(shí)這兩份工作也得做）.

不妨在極坐標(biāo)下：令x=ρcosθ，y=ρsinθ橢圓方程化為，設(shè)，又A、B∈橢圓，則，由于橢圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則⑴左邊==⑴右邊.得證

若在極坐標(biāo)下，問(wèn)題⑵即為一個(gè)關(guān)于θ的三角函數(shù)最值問(wèn)題.當(dāng)然處理關(guān)于θ的三角問(wèn)題就比處理關(guān)于k的無(wú)理式問(wèn)題要容易一些.

3　有關(guān)平面幾何線(xiàn)段運(yùn)算問(wèn)題

解決此問(wèn)題的手法是多樣的.如果是線(xiàn)段的加減法運(yùn)算，多數(shù)學(xué)生都會(huì)采用平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等手段來(lái)解決；如果是線(xiàn)段的乘除運(yùn)算，我們采用相似變換等手段來(lái)解決；如果是加減乘除混合運(yùn)算呢？問(wèn)題就相對(duì)復(fù)雜些了.當(dāng)然解決此問(wèn)題的方法之一是：選擇適當(dāng)點(diǎn)為極點(diǎn)、適當(dāng)?shù)纳渚€(xiàn)為極軸建立極坐標(biāo)系，就可把線(xiàn)段的加減乘除混合運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極角θ的三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題.從而使問(wèn)題明朗化、簡(jiǎn)潔化.

例3已知是正三角形ABC外接圓O的BC上任意一點(diǎn)，半徑為r.試求PA2－PB?PC的值.

圖3　

若以P為極點(diǎn)，PO射線(xiàn)為極軸建立極坐標(biāo)系.則圓O：

ρ=2rcosθ，|PA|=ρA=2rcosθ，

若以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選定的PO所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)處理此題，圓O方程x2+y2=r2，

教師如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已經(jīng)是一個(gè)古老而又有道理的話(huà)題.應(yīng)該認(rèn)為：讓學(xué)生習(xí)慣用簡(jiǎn)潔明了的思路，并且運(yùn)算又不是很冗繁的方法解決看似復(fù)雜的問(wèn)題，也算是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的一個(gè)有效手段.因此我們?cè)谔幚韼缀螁?wèn)題時(shí)應(yīng)把極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)這兩個(gè)參照系統(tǒng)平等對(duì)待.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕劉紹學(xué)，錢(qián)珮玲，章建躍，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)[M].北京:人民教育出版社，2007.

〔2〕羅守山，等.普通高等學(xué)校少數(shù)民族預(yù)科教材初等數(shù)學(xué)[M].北京:人民教育出版社，2013.

〔3〕張雄，李德虎，等，數(shù)學(xué)方法論與解題研究（第二版）[M].北京:高等教育出版社，2013.

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673- 260X（2015）01- 0001- 02