有關二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容探討

熊允發(fā),　管　濤

(中國人民公安大學網絡安全保衛(wèi)學院， 北京　100038)

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有關二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容探討

熊允發(fā),管濤

(中國人民公安大學網絡安全保衛(wèi)學院， 北京100038)

摘要我們稱n個隨機變量X1,X2,…,Xspan的整體ξ=(X1,X2,…,Xspan)為n維隨機變量或稱隨機向量。對于二維連續(xù)型隨機變量與分布這一部分內容的講解，主要應從概念的界定入手，著重講解它的分布規(guī)律以及它們的相關關系，即：聯(lián)合密度、邊緣密度、聯(lián)合密度與邊緣密度的關系(積的關系、商的關系)。

關鍵詞連續(xù)型； 隨機向量； 分布

0引言

眾所周知，概率統(tǒng)計是大學理工科學生的一門必修專業(yè)基礎課，它概念新穎，應用廣泛，涉及面寬，在實際應用中存在各種各樣的問題，這樣就給學生們的學習帶來了很多的困難。作者根據二十多年的教學經驗，又查閱了諸多國內外的相關書籍，就二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容簡單地談幾點教學心得，希望能給廣大教師和學生以新的啟迪。

1連續(xù)型隨機向量的概念界定

為了研究問題的方便，我們僅以二維連續(xù)型隨機變量為例。

如果二維隨機變量ξ=(X,Y)可能取的值不是只有有限個或者可列個(即可排成一個序列)，則稱ξ=(X,Y)為連續(xù)型的。若(X,Y)是連續(xù)型的，則X，Y都是一維連續(xù)型隨機變量。反之，也成立。下面我們將其從數(shù)學意義上嚴格定義一下：

【定義】對于二維隨機變量ξ=(X,Y)，如果存在非負可積函數(shù)

f(x,y)(-∞

使對任意一個鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D：“即由不等式a

則稱二維隨機變量ξ=(X,Y)為連續(xù)型的，并稱f(x,y)(-∞

【注釋】該定義中的f(x,y)是非負可積的函數(shù)，積分區(qū)域D是平面上的任意區(qū)域[1]。

簡言之，二維連續(xù)型隨機變量落在平面上任意區(qū)域的概率就等于密度函數(shù)在該區(qū)域上的二重積分。

【例1】設(X,Y)服從D上的均勻分布， 求P(X+Y≤1)的值。

其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.見圖1(a)。

圖1

解：D的面積S=1/2，所以(X,Y)的概率密度為

f(x,y)dxdy

見圖1(b)所示。

2連續(xù)型隨機向量的分布規(guī)律

所謂分布，就是隨機向量取各個不同值的概率的集合。二維連續(xù)型隨機變量(向量)的分布，指的就是以上定義中f(x,y)的不同積分的集合。為便于理解，我們分以下三個部分加以介紹。

1)聯(lián)合密度

(1)定義：稱以上定義中f(x,y)為ξ=(X,Y)的聯(lián)合分布密度(簡稱聯(lián)合密度)。

(2)性質：對于連續(xù)型隨機變量ξ=(X,Y)可以證明，對于平面上任意的集合D，均有

這里f(x,y)是聯(lián)合分布密度，且具有：

①非負性 f(x,y)≥0；

③若f(x,y)在(x,y)點連續(xù)，F(xiàn)(x,y)在(x,y)點處的二階偏導數(shù)存在且連續(xù)，則有

(3)幾何意義：

由(2)得，二維隨機變量ξ=(X,Y)落在平面上任一區(qū)域D內的概率就等于聯(lián)合密度f(x,y)在D上的積分，也就是把概率的計算轉化為一個二重積分的計算。由此指出(X,Y)∈D的概率，數(shù)值上就等于以曲面z=f(x,y) 為頂，以平面區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積，這就給出了f(x,y)的幾何意義[2]。

【例2】設(X,Y)的聯(lián)合密度為

求(1)常數(shù)C；

(2)P(0

∴C=1

(2)D=((x,y):0

∴P(0

2)邊緣分布密度

(1)定義：對于二維隨機變量(X,Y)作為其分量的隨機變量X(或Y)的密度函數(shù)fX(x)(或fY(y))，稱為(X,Y)的關于X(或Y)的邊緣分布密度。

(2)問題：已知聯(lián)合密度f(x,y)，如何求邊緣分布密度fX(x),fY(y)？

若(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y)，則X，Y的分布密度分別是

證明：由于{-∞

P(a

令D=((x,y):a

P(a

根據隨機變量分布密度的定義，不難看出

【注釋】從以上的證明可以看出，聯(lián)合密度決定了邊緣密度。因此，我們做題分析問題時，一定要先求出聯(lián)合密度[3]。

【定義】設G是平面上面積為a(0

則(X,Y)的聯(lián)合密度為：

【例3】 設(X,Y)服從如圖2所示區(qū)域G(拋物線y=x2和直線y=x所圍成的區(qū)域)上的均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度。

圖2

故所求(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

f(x,y)dy

3)聯(lián)合分布與邊緣分布的關系

(1)積的關系(聯(lián)合密度等于邊緣密度的乘積)具體的就是講X與Y相互獨立的問題。

何謂X與Y相互獨立呢？

【定義】設X與Y是兩個隨機變量，如果對任意a

【定理】設X，Y分別有分布密度fX(x)和fY(y)，則X與Y相互獨立的充要條件是二元函數(shù)fX(x)·fY(y)為隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度。

即X，Y相互獨立?f(x,y)=fX(x)·fY(y)

證明：①設fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度，

P((a

=P(a

=P(a

可見，X與Y是相互獨立的。

②設X，Y相互獨立，

D=((x,y):a

P((X,Y)∈D)=P(a

=P(a

故fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度。

【注釋】一般情況下，邊緣密度是不能決定聯(lián)合密度的。只有當X，Y相互獨立時，兩個邊緣密度的乘積就是它們的聯(lián)合密度。即當X,Y獨立時，邊緣密度也能確定聯(lián)合密度[4]。

解：由題意

故(X1,X2)的聯(lián)合密度為

f(x1,x2)=fX1(x1)·fX2(x2)

(2)商的關系(條件分布密度等于聯(lián)合密度除以邊緣密度)

【注釋】要求條件分布密度，首先要知道聯(lián)合密度，其次要求出邊緣密度，兩者的比值即為條件概率密度[5]。

【例5】設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

①求條件概率密度fY|X(y|x)

②求條件概率P(X<1|Y<1)

其中

P(X≤1,Y≤1)

參考文獻

[1]王展青，李壽貴. 概率統(tǒng)計[M].北京：科學出版社，2000:83-84.

[2]錢小軍. 數(shù)量方法[M].北京：高等教育出版社，1999:89-91.

[3]李茂年，周兆麟.數(shù)理統(tǒng)計方法[M].天津：天津人民出版社，1982:58-70.

[4]許承德. 概率統(tǒng)計[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2000:60-65.

[5]李排昌，熊允發(fā).概率統(tǒng)計[M].北京：中國人民公安大學出版社，2004:48-60.

(責任編輯于瑞華)

作者簡介熊允發(fā)(1963—)， 男， 湖北仙桃人，教授。研究方向為概率統(tǒng)計與隨機過程。

中圖分類號D035.319