基于主成分分析的相對重力觀測零漂和固體潮提取

于紅娟 郭金運(yùn)，2 李九龍 穆大鵬 孔巧麗，2

1 山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，青島市前灣港路579號，266590

2 海島（礁）測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，青島市前灣港路579號，266590

3 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，武漢市徐東大街340號，430077

本文通過實(shí)驗(yàn)，利用主成分分析（principal component analysis，PCA）提取CG－5重力儀［1］靜態(tài)相對觀測的零點(diǎn)漂移和固體潮。將經(jīng)過固體潮改正的9d觀測數(shù)據(jù)作為原統(tǒng)計(jì)量，使用PCA 提取日零漂，并與最小二乘線性擬合值作對比分析，用含有固體潮和零漂影響的觀測數(shù)據(jù)，在進(jìn)行零點(diǎn)漂移改正的基礎(chǔ)上使用PCA 提取固體潮，并與CG－5重力儀內(nèi)部軟件提供的固體潮模型計(jì)算值作對比。通過兩組實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果來驗(yàn)證本文方法的可靠性和適用性。

1 主成分分析方法

重力觀測的主成分分析［2－5］是基于協(xié)方差矩陣將重力數(shù)據(jù)作為原統(tǒng)計(jì)變量，通過線性變換得到新變量，新變量之間統(tǒng)計(jì)不相關(guān)。PCA 的主要目的是通過分離不相關(guān)成分提取主要信息并進(jìn)行數(shù)據(jù)降維。文中提取的零點(diǎn)漂移和固體潮為主要信息，即信號。主成分分析假設(shè)新變量PCAG＝（PCA1，PCA2，…，PCAn）T是由CG－5重力儀觀測數(shù)據(jù)的原統(tǒng)計(jì)變量G＝（G1，G2，…，Gn）T經(jīng)過線性變換得到的，即

式中，E是由重力觀測的統(tǒng)計(jì)變量G的協(xié)方差矩陣計(jì)算得到的線性變換矩陣。假設(shè)協(xié)方差矩陣為ΣG，則它是一個(gè)n階對稱陣。通過求解特征根和特征向量，矩陣ΣG可以分解為：

式中，D是對角陣，對角線上的元素λ1≥λ2…≥λn是矩陣ΣG的特征根，同時(shí)等于對應(yīng)重力觀測數(shù)據(jù)主成分的方差，E是由特征向量構(gòu)成的正交矩陣［3］。因此，可由式（1）得到：

前k個(gè)主成分的綜合能力以及所包含的重力值信息量可用累積貢獻(xiàn)率α表示：

式中，λi表示第i個(gè)特征值，p表示特征值總個(gè)數(shù)，k表示選取的個(gè)數(shù)。

如果選取較大的k個(gè)特征值所對應(yīng)的新變量重構(gòu)原重力觀測值統(tǒng)計(jì)變量，則可以達(dá)到提取主要信息的目的［4－5］：

式中，ET表示由選擇的特征向量構(gòu)成的k階矩陣。

2 數(shù)據(jù)及預(yù)處理

靜態(tài)相對重力數(shù)據(jù)由CG－5重力儀（序列號140541221）于某一固定觀測站觀測9d（2014－08－15～23）所得，以每天09：21至次日09：20為一個(gè)時(shí)間序列，即作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)觀測量。儀器自身具有地震濾波功能，能對低頻噪聲進(jìn)行過濾，并舍棄高于6倍標(biāo)準(zhǔn)偏差的高頻噪聲。采用6 Hz采樣率，可對1min的360個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行平均得到一個(gè)讀數(shù)，觀測過程中儀器進(jìn)行了溫度補(bǔ)償和傾斜改正。因此，每天可以采集同一個(gè)時(shí)間段（24 h）的1 440個(gè)重力觀測數(shù)據(jù)。

把所關(guān)心的數(shù)據(jù)成分認(rèn)為是信號，其他的作為噪聲。假設(shè)信號與噪聲統(tǒng)計(jì)不相關(guān)，嘗試?yán)肞CA 把這9d的時(shí)間序列作為9個(gè)統(tǒng)計(jì)量來分離信號和噪聲。實(shí)驗(yàn)使用了兩組觀測數(shù)據(jù)，第一組數(shù)據(jù)是進(jìn)行了固體潮改正的靜態(tài)相對觀測數(shù)據(jù)，嘗試運(yùn)用PCA 分離信號和噪聲來估算CG－5 重力儀的靜態(tài)零漂；第二組數(shù)據(jù)是未進(jìn)行固體潮改正的靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，嘗試使用PCA 分離信號和噪聲來提取固體潮。

由于觀測站環(huán)境干擾較多，采用滑動平均的方法［6］對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。通過實(shí)驗(yàn)并根據(jù)重力數(shù)據(jù)的實(shí)際變化情況，選取大小為5的移動窗口進(jìn)行平滑處理。

3 靜態(tài)零漂

用第一組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，把9d觀測數(shù)據(jù)作為原統(tǒng)計(jì)量，使用PCA 將噪聲和信號進(jìn)行分離。每天的數(shù)據(jù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，每個(gè)統(tǒng)計(jì)量為含有1 440×1個(gè)元素的列向量，這樣9d的觀測值就組成了1 440×9 的矩陣，即，。在得到統(tǒng)計(jì)量G后，通過式（2）計(jì)算其特征向量構(gòu)成的線性變換矩陣E，再由式（1）得到主成分的9個(gè)模式。圖1給出了所得到的9個(gè)特征根的值，它們等于對應(yīng)重力觀測數(shù)據(jù)主成分的方差。特征值相對很小甚至接近于0則認(rèn)為不含有主要的信息，因此，可以從降序排列的特征根中，找到一個(gè)特征根來確定主成分的個(gè)數(shù)，使得剩下的特征根具有接近相同且相對很小的值［4］。從圖1可看出，除第一個(gè)外其他的特征值都非常小，接近于0。并且通過計(jì)算得到第一個(gè)模式的貢獻(xiàn)率為99.8%，即第一模式包含了幾乎所有的數(shù)據(jù)信息。從圖1分析得出，第一模式可以認(rèn)為是信號部分，而其他8個(gè)模式為噪聲部分。

圖1 零漂提取中9個(gè)模式對應(yīng)的特征值Fig.1 Eigenvalues corresponding to nine modes in the zero drift estimation

因此，選擇第一模式PCA1重構(gòu)統(tǒng)計(jì)量G，分別得到由PCA 估算的9d 的零點(diǎn)漂移。由式（5），選擇第一模式進(jìn)行重構(gòu)得：

將其展開，得：

表1 08－15～23 零點(diǎn)漂移計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculated results of daily zero drifts from 08－15to 08－23

從表1可以看出，PCA 與LSLF 的9d日零漂差值均在10－2μGal／d量級，具有非常好的一致性，但是PCA 剔除了噪聲，效果更好。因此可以說，PCA 更適用于CG－5靜態(tài)數(shù)據(jù)的日漂移常數(shù)估算。08－15～23 的日漂移常數(shù)有明顯增加，說明CG－5 重力儀的零漂具有隨時(shí)間增加的特點(diǎn)。

4 固體潮

用PCA 得到的日零漂常數(shù)對第二組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性改正，得到經(jīng)零漂改正但未進(jìn)行固體潮改正的9d數(shù)據(jù)，將其作為原統(tǒng)計(jì)量并利用主成分分析分離信號和噪聲來估算固體潮。每個(gè)統(tǒng)計(jì)量為含有1 440×1個(gè)元素的列向量，這樣9d的觀測值就組成了1 440×9的矩陣，即

得到統(tǒng)計(jì)量G之后，通過式（2）計(jì)算其特征向量構(gòu)成的線性變換矩陣E，再由式（1）得到主成分的9個(gè)模式。研究可得，PCA 實(shí)現(xiàn)了信號和噪聲的分離，圖2給出了所得到的9個(gè)特征根的值，它們分別等于對應(yīng)重力數(shù)據(jù)主成分的方差。

圖2 固體潮提取中9個(gè)模式對應(yīng)的特征值Fig.2 Eigenvalues corresponding to nine modes in the solid earth tide estimation

從圖2可知，前3個(gè)特征值為主要成分［4］。進(jìn)一步計(jì)算得到，第一模式的貢獻(xiàn)率為65.2%，前兩個(gè)模式的累積貢獻(xiàn)率為94.8%，前3個(gè)模式的累積貢獻(xiàn)率為99.9%，幾乎包含了重力數(shù)據(jù)的全部信息。因此，主成分的前3個(gè)模式為分離得到的信號，選擇該模式來重構(gòu)統(tǒng)計(jì)量G，分別得到PCA 對應(yīng)的每一個(gè)模式的值。圖3 給出了線性改正后的9d數(shù)據(jù)時(shí)序圖。從圖3可見，15和16日的波形變化相近，17～19日的波形變化相近，20～23日的波形變化相近。又因?yàn)槭芄腆w潮影響，重力觀測曲線每天可觀測到兩個(gè)波峰、兩個(gè)波谷［7］。因此，初步推測波形的不同是這9d的固體潮影響不同所致，并推測這3個(gè)模式對應(yīng)固體潮的變化。通過進(jìn)一步計(jì)算PCA 的前3個(gè)模式累積量（見式（9）），即對前3個(gè)模式疊加計(jì)算并進(jìn)行中心化處理后的結(jié)果（PCA）與CG－5重力儀內(nèi)部軟件提供的固體潮模型計(jì)算的固體潮值（solid earth tide，SET）比較發(fā)現(xiàn)，3 個(gè)模式正好對應(yīng)于固體潮的影響量。

圖3 線性漂移改正后的重力數(shù)據(jù)時(shí)序圖Fig.3 Gravimetric datatime series of 9days after the linear correction

于是，由式（5）選擇前3個(gè)模式進(jìn)行重構(gòu)：

將其展開，得：

從表2看出，PCA和SET計(jì)算的固體潮值統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，兩者最大差值僅5μGal，具有較好的一致性，說明PCA 可用于靜態(tài)觀測中的固體潮估算。15～23日固體潮的平均值均在0 附近，SET 計(jì)算的均值稍微偏離零軸，但整體上正負(fù)值具有較好的對稱性；15～18日的固體潮高潮值達(dá)到90μGal，低潮值達(dá)－80μGal；19～23日的固體潮高潮值達(dá)124μGal，低潮值達(dá)－78μGal。結(jié)合圖3、圖4 可以看出，固體潮具有一定的規(guī)律性，每天都會有兩個(gè)高潮和低潮，并且高潮和低潮會隨日期增加往后推遲一段時(shí)間。PCA 和SET的均方根和標(biāo)準(zhǔn)差較為接近，相差僅在10－1μGal量級。PCA 和SET 的差值最大均不大于8 μGal，最小都在5μGal內(nèi)；均值在0附近波動，波動范圍在3μGal內(nèi)；均方根小于5μGal，說明PCA 與SET 計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性。

采用以上計(jì)算結(jié)果對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行線性改正和固體潮改正（圖5）。CG－5 相對重力儀的重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差為5μGal［1］，而從圖5中可以看出，經(jīng)過改正后的15～23日重力數(shù)據(jù)變化很小，均在5 μGal范圍內(nèi)。另外，導(dǎo)致這種變化的原因可能還有海潮、零漂的非線性等影響，最后可對數(shù)據(jù)進(jìn)行平均得到該測站點(diǎn)的重力讀數(shù)值。

圖4 固體潮于08－15～23的PCA 與SET 時(shí)序圖Fig.4 Time series of the solid Earth tide derived from PCA and SET from 08－15to 08－23

表2 固體潮于08－15～23的PCA與SET統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.2 Statistical results of the solid earth tide derived from PCA and SET from 08－15to 08－23

圖5 固體潮改正后的重力觀測值時(shí)序圖Fig.5 Gravimetric observations time series after zero drift and solid earth tide correction

5 結(jié) 語

1）PCA 提取線性漂移時(shí)，第一個(gè)模式的貢獻(xiàn)率為99.8%，該模式包含了幾乎所有數(shù)據(jù)信息。因此，用該模式估算的線性漂移與LSLF值對比，相差僅在10－2μGal量級，但PCA 剔除了噪聲，效果更好。說明在估算零點(diǎn)漂移方面，PCA 比LSLF更具有優(yōu)越性。

2）PCA 提取固體潮時(shí)，第一模式的貢獻(xiàn)率為65.2%，前兩個(gè)模式的累積貢獻(xiàn)率為94.8%，前3個(gè)模式的累積貢獻(xiàn)率達(dá)99.9%。可以看出，前3個(gè)模式幾乎包含了重力數(shù)據(jù)的全部信息。前3個(gè)模式的疊加計(jì)算正好對應(yīng)固體潮，并與SET值基本一致。PCA－SET 的統(tǒng)計(jì)值均小于8 μGal，其中均方根都小于5μGal。因此，PCA 用于估算固體潮具有可靠性。

3）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果對觀測數(shù)據(jù)作零漂和固體潮改正后，其變化均在5μGal范圍內(nèi)，導(dǎo)致這種變化的原因可能是儀器的測量精度、海潮和零漂的二次項(xiàng)等微小影響。

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