基于赫爾默特方差分量估計的水準(zhǔn)網(wǎng)平差方法研究

龔 率 劉曉華 黃志偉 王洪偉

1 成都市勘察測繪研究院，成都市一環(huán)路北三段70號，610081

高差觀測值的權(quán)決定了水準(zhǔn)網(wǎng)內(nèi)不符值和閉合差的分配原則，對水準(zhǔn)網(wǎng)的平差計算和精度評定有重要意義［1－3］。水準(zhǔn)網(wǎng)平差的傳統(tǒng)定權(quán)方法是按水準(zhǔn)路線的距離或按測站數(shù)定權(quán)。按距離定權(quán)的前提條件是每km 的高差觀測等精度，高差觀測的偶然中誤差與距離呈正相關(guān)關(guān)系；按測站數(shù)定權(quán)的前提是每測站的高差觀測精度一致，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系［4－5］。但對于起伏變化劇烈的水準(zhǔn)網(wǎng)平差，不同測段間每km 或每測站高差觀測的精度是否一致是值得商榷的。

本文從高差觀測精度與地形起伏大小的關(guān)系出發(fā)，將高差觀測值分類，并分別推導(dǎo)其偶然中誤差計算公式，以此確定各類觀測值的初始權(quán)。然后將赫爾默特方差分量估計法［6］的思想引入水準(zhǔn)網(wǎng)平差計算中，以解決各類高差觀測值權(quán)的匹配問題。

1 高差的分類及定權(quán)

1.1 高差的分類

在起伏大的測區(qū)每測站高差觀測的精度較一致，在起伏小的測區(qū)每km 的高差觀測精度較一致［6］。本文按地形起伏大小將高差觀測值分為兩類，首先定義“平均起伏度”K0：

式中，N總表示水準(zhǔn)網(wǎng)中包含的測站總數(shù)，S總為水準(zhǔn)網(wǎng)所有測段路線的距離總和（單位為km）。

同理，對于任意第i測段定義“測段起伏度”Ki：

式中，Ni為第i測段包含的測站數(shù)，Si為第i測段的路線長度。

由定義可知，“平均起伏度”K0反映水準(zhǔn)網(wǎng)的總體起伏狀況，“測段起伏度”Ki則反映特定測段的局部起伏狀況。若Ki較大，則認(rèn)為第i測段起伏較大，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)的正相關(guān)程度大于其與水準(zhǔn)路線距離的正相關(guān)程度，高差的權(quán)應(yīng)按測站數(shù)確定；若Ki較小，則認(rèn)為第i測段起伏較小，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)的正相關(guān)程度小于其與水準(zhǔn)路線距離的正相關(guān)程度，高差的權(quán)應(yīng)按測段路線距離確定［2］。以“平均起伏度”K0作為判別值，將水準(zhǔn)網(wǎng)的高差觀測值分為兩類：高差觀測誤差主要取決于測段包含的測站數(shù)，稱為“Ki≥K0”類；高差測量誤差主要受測段的路線長度影響，稱為“Ki＜K0”類。

1.2 高差的分類定權(quán)

顧及§1.1高差分類的標(biāo)準(zhǔn)，任意測段i和j的高差權(quán)按如下方式確定［5］。

若Ki＜K0，高差的權(quán)Pi應(yīng)按水準(zhǔn)路線的距離計算：

若Kj≥K0，高差的權(quán)Pj按測站數(shù)計算：

其中，μ0為單位權(quán)中誤差，為每km 高差中數(shù)的偶然中誤差（單位為mm／km），為每測站高差中數(shù)的偶然中誤差（單位為mm／站）。和按式（5）計算：

式中，n1為“Ki＜K0”類高差觀測值的總數(shù)，n2為“Ki≥K0”類高差觀測值的總數(shù)，di為測段往返測高差誤差（單位為mm）。

2 水準(zhǔn)網(wǎng)的赫爾默特方差分量估計

2.1 方差分量估計

赫爾默特方差分量估計法是一種較為成熟的驗后估計方法［6］，廣泛應(yīng)用于全站儀邊角網(wǎng)和三維網(wǎng)的最小二乘平差中。本文將其引入水準(zhǔn)網(wǎng)平差計算中，具體過程如下。

1）按前文所述將水準(zhǔn)網(wǎng)的高差觀測值分為兩類，并分別按式（7）定各類高差觀測值的初始權(quán)。

2）進(jìn)行預(yù)平差計算，并分別求得預(yù)平差后“Ki＜K0”類高差觀測值改正數(shù)的加權(quán)平方和與“Ki≥K0”類高差觀測值改正數(shù)的加權(quán)平方和。

3）按式（8）重新確定兩類高差觀測值的權(quán)［6］：

式中，

式中參數(shù)的具體含義見文獻(xiàn)［6］。

4）根據(jù)兩類高差觀測值的新權(quán)，再次進(jìn)行最小二乘平差，求得它們第一次估計的方差分量和，并按式（9）再次定權(quán)：

5）重復(fù)步驟2）～4），直至兩類高差觀測值的驗后單位權(quán)方差相等為止，即滿足。

2.2 水準(zhǔn)網(wǎng)方差分量估計的應(yīng)用前提

驗后估計法是一種基于概率統(tǒng)計學(xué)原理的算法，在進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)的方差分量估計時必須保證高差觀測值所組成的樣本空間具有統(tǒng)計學(xué)意義，即水準(zhǔn)網(wǎng)方差估計必須滿足如下前提條件：

1）水準(zhǔn)網(wǎng)中必須包含大量具有往返測量的高差觀測值。

2）高差觀測值能構(gòu)成多個附合水準(zhǔn)路線與閉合水準(zhǔn)路線，即應(yīng)存在大量的多余觀測量。

3）水準(zhǔn)網(wǎng)內(nèi)測段間地形起伏差異較為明顯。

4）水準(zhǔn)網(wǎng)中“Ki＜K0”類與“Ki≥K0”類高差觀測值的數(shù)量差異不能太大。

5）方差分量估計側(cè)重從總體上調(diào)整各類觀測量的權(quán)，同類觀測量內(nèi)部的權(quán)比關(guān)系受初始權(quán)的，影響較大，因此初始權(quán)的確定應(yīng)力求合理。

3 算例分析

為比較本文方法與傳統(tǒng)定權(quán)方法的差異，采用C＃語言編寫水準(zhǔn)網(wǎng)平差程序，并選取某高速鐵路的二等水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)（該測區(qū)包含平原和山地兩種地形，測段起伏緩陡不一），然后分別采用按距離定權(quán)（簡稱“S”）、按測站數(shù)定權(quán)（簡稱“N”）和赫爾默特方差分量估計（簡稱“Helmert”）等3種方法對算例數(shù)據(jù)進(jìn)行平差計算和精度評定。

3.1 高程平差值和高程中誤差的比較

3種定權(quán)方法高程平差值的差異情況如圖1和表1所示。

表1 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程平差值差異統(tǒng)計表Tab.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由圖1和表1可知，算例水準(zhǔn)網(wǎng)按測站數(shù)定權(quán)和按路線距離定權(quán)的高程平差結(jié)果差異特別顯著，其平均差異約為0.8 mm，最大差異達(dá)1.5 mm。而方差分量估計的結(jié)果總體上介于兩傳統(tǒng)方法之間。

3種定權(quán)方法中高程中誤差的差異情況如圖2和表2所示。

圖1 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程平差值差異圖Fig.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value differences

圖2 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程中誤差對比圖Fig.2 Different level net weighting method of mean square error of elevation comparative statistics

表2 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程中誤差對比統(tǒng)計表Tab.2 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由圖2和表2可知，赫爾默特方差分量估計平差后的高程中誤差總體上處于兩傳統(tǒng)方法平差結(jié)果之間，并且方差分量估計平差后的高程中誤差總體趨勢較兩傳統(tǒng)方法緩和。

總之，方差分量估計的平差結(jié)果總體處于傳統(tǒng)定權(quán)方法平差結(jié)果之間，能在一定程度上中和傳統(tǒng)方法定權(quán)不準(zhǔn)確所致的平差結(jié)果差異，較好地反映控制網(wǎng)的實測狀況。

3.2 方差一致性檢驗

方差一致性檢驗是判定平差隨機(jī)模型正確性的一個重要依據(jù)，是對平差定權(quán)方法正誤判定的重要依據(jù)［8］。本文對3種定權(quán)方法的驗后單位權(quán)方差在顯著性水平α＝0.05下進(jìn)行方差一致性檢驗，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，按測站數(shù)定權(quán)和按水準(zhǔn)路線距離定權(quán)的兩種傳統(tǒng)方法均不能通過檢驗，而方差分量估計的定權(quán)方法卻能通過檢驗。由此可以說明，本文所提方法對測段的起伏狀況具有良好的適應(yīng)性，能更為準(zhǔn)確地表達(dá)各高差觀測值的實測精度。

表3 不同定權(quán)方法方差一致性檢驗統(tǒng)計表Tab.3 Different weighting method variance consistency check statistics

4 結(jié) 語

水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，傳統(tǒng)的定權(quán)方法過度理想化高差觀測精度與測站數(shù)或路線距離的關(guān)系，對整網(wǎng)僅采用按測站數(shù)或按路線距離定權(quán)，常使地形起伏差異較大的水準(zhǔn)網(wǎng)平差不能得到理想的成果。本文提出的基于測段起伏狀況分類的赫爾默特方差分量估計法比水準(zhǔn)網(wǎng)平差的傳統(tǒng)定權(quán)方法更能反映整個水準(zhǔn)網(wǎng)的實測精度，為復(fù)雜地區(qū)大型水準(zhǔn)控制網(wǎng)的平差計算和精度評定提供更為合理的定權(quán)方案，值得進(jìn)一步深入研究。

［1］周永明，黃立人.定權(quán)誤差對平差結(jié)果的影響［J］.地殼形變與地震，1987，7（1）：35－43（Zhou Yongming，Huang Liren.Influence of the Weight Error of Observations on Adjustment Results［J］.Crustal Deformation and Earthquake，1987，7（1）：35－43）

［2］梁振英.關(guān)于水準(zhǔn)網(wǎng)平差中權(quán)的估算問題的探討［J］.測繪學(xué)報，1983，12（1）：56－66（Liang Zhenying.The Discussion on Weight Estimation in the Adjustment of Leveling Network［J］.Acta Geodetica et Cartographica Sinica，1983，12（1）：56－66）

［3］陳健.水準(zhǔn)網(wǎng)平差中權(quán)的設(shè)定問題［J］.武漢測繪學(xué)院學(xué)報，1980（2）：12－23（Chen Jian.On the Mode of Weighting in Leveling Nets Adjustment［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1980（2）：12－23）

［4］薄志鵬.一等水準(zhǔn)測量的實有精度和權(quán)的確定［J］.武漢測繪學(xué)院學(xué)報，1983（2）：1－15（Bo Zhipeng.The Determination of First Order Leveling Measurement of Actual Accuracy and Weighting［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1983（2）：1－15）

［5］龔率.工程控制網(wǎng)平差的定權(quán)方法研究及其軟件研制［D］.成都：西南交通大學(xué)，2013（Gong Shuai.Study on Weighting Methods and Software Development in the Adjustment of Engineering Control Network［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2013）

［6］崔希璋，於宗儔，陶本藻，等.廣義測量平差［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009（Cui Xizhang，Yu Zongchou，Tao Benzao，et al.Generalized Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［7］武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009（Subject Group of Surveying Adjustment，School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University.Errors Theory and Fundation of Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［8］劉長建，馬高峰.Helmert方差分量估計結(jié)果的方差一致性檢驗 實 質(zhì)［J］.測繪學(xué)院學(xué)報，2002，19（2）：96－98（Liu Changjian，Ma Gaofeng.The Essence of Test for Uniform Variance of Variance Component Estimation of Helmert Type［J］.Journal of Institute of Surveying and Mapping，2002，19（2）：96－98）