速解高中解析幾何的方法之一
——數(shù)形結(jié)合

◆四川省郫縣第三中學(xué) 姚慰民

速解高中解析幾何的方法之一
——數(shù)形結(jié)合

◆四川省郫縣第三中學(xué) 姚慰民

解析幾何是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在所有題型中所占比值相對(duì)較高。一般來(lái)說(shuō)，解析幾何的難度比函數(shù)低，且有一定的技巧性。只要掌握了速解技巧，將題目的“數(shù)”與“形”相結(jié)合，將題目所給條件一一對(duì)應(yīng)來(lái)幫助解題，就能減少解題時(shí)間，提高答題效率，也不會(huì)漏掉題目條件。因此，準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的答題方法是影響高中解析幾何成績(jī)的決定因素。文章對(duì)速解高中解析幾何方法中的數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，對(duì)數(shù)形結(jié)合在解析幾何幾種題型中的運(yùn)用進(jìn)行舉例說(shuō)明。

高中解析幾何；速解方法；數(shù)形結(jié)合

所謂數(shù)形結(jié)合，就是把題目所給條件中的 “數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)，用簡(jiǎn)單的、直觀的幾何圖形及條件之間的位置關(guān)系來(lái)將復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言及條件之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)形象思維與抽象思維的結(jié)合，以形助數(shù)或以數(shù)解形，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象的問(wèn)題具體化，以達(dá)到簡(jiǎn)化解問(wèn)題途徑的目的。可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合在平面解析幾何和立體解析幾何的解題中有重要的作用。

一、解析幾何的概念

解析幾何是幾何學(xué)的分支，主要是用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)，因而解析幾何也叫坐標(biāo)幾何，它包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何是二維空間上的解析幾何，立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，立體解析幾何比平面解析幾何更加復(fù)雜、抽象。

二、數(shù)形結(jié)合法的概述

1.數(shù)形結(jié)合的解題思想

通常來(lái)說(shuō)，一道題目不會(huì)明確指定用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行答題，每道題也不會(huì)只有一種解題方法，但數(shù)形結(jié)合方法在解析幾何答題中具備相當(dāng)?shù)膬?yōu)勢(shì)，能減少運(yùn)算量，節(jié)約答題時(shí)間，提高正確率。因此，學(xué)生需要在平時(shí)練習(xí)中形成數(shù)形結(jié)合的解題思想，遇到解析幾何時(shí)，能清楚條件與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，將 “數(shù)”與 “形”一一對(duì)應(yīng)，快速找到解題突破點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)熟練掌握數(shù)形結(jié)合方法能夠舉一反三時(shí)，遇到的所有題目都是同一題目了。因此，高中生必須熟練掌握數(shù)形結(jié)合的解題思想。掌握數(shù)形結(jié)合思想，就必須搞清楚下列關(guān)系：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；⑤題目所給等式或代數(shù)方程式結(jié)構(gòu)中所含明顯的幾何意義。

2.數(shù)形結(jié)合的方法簡(jiǎn)介

數(shù)形結(jié)合法是速解高中解析幾何方法中的一種，由于部分解析幾何本身就是 “數(shù)”與 “形”的結(jié)合，因而數(shù)形結(jié)合法也是速解高中解析幾何方法中最為常見(jiàn)的一種。數(shù)形結(jié)合在求最值、解不等式、圓類問(wèn)題、算軌跡方程中有著廣泛的應(yīng)用，在復(fù)合函數(shù)和三角函數(shù)中也有應(yīng)用實(shí)例。

三、采用數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何題的策略

1.數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何最值問(wèn)題

最值雖只是數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，但解析幾何中的最值往往涉及到條件之間的位置關(guān)系，本質(zhì)上是空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，來(lái)實(shí)現(xiàn)曲面的數(shù)量化。因此，解析幾何中的最值問(wèn)題單從代數(shù)入手或僅對(duì)幾何圖形進(jìn)行分析不能達(dá)到解題目的，針對(duì)此類最值問(wèn)題，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題方法來(lái)進(jìn)行最值題型答題。以下面一題為例：

已知：實(shí)數(shù)x、y滿足（x-1）2+（y+2）2=5，求S=x-2y的最大值和最小值。

圖1

策略要領(lǐng)：

已知數(shù)量轉(zhuǎn)圖形，坐標(biāo)圖上示分明；

整理等式找截距，X與Y轉(zhuǎn)都可以；

最大值與最小值，都與正圓要相切。

2.數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何圓類問(wèn)題

解析幾何中圓類問(wèn)題，主要是求圓與圓之間的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等，數(shù)形結(jié)合對(duì)速解圓類問(wèn)題也有很大幫助。例如，在判斷圓與直線的位置關(guān)系時(shí)，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，學(xué)生可以直觀地觀察到直線在圓外，但需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時(shí)就需要有數(shù)形結(jié)合的解題思想，以數(shù)解形。通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外，這是最基本的用數(shù)形結(jié)合的方式解答圓類問(wèn)題。對(duì)數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何圓類問(wèn)題，以下特舉一例說(shuō)明：

圖2

策略要領(lǐng)：

圓類的位置關(guān)系，幾個(gè)步驟要仔細(xì)；

第一變形函數(shù)式，坐標(biāo)系上畫分明。

圓與直線的問(wèn)題，先看直線圓內(nèi)外；

設(shè)圓心到直線的距離為d，當(dāng)d＞r相離，當(dāng)d=r相切，當(dāng)d＜r相交。也可聯(lián)立解方程看解的個(gè)數(shù)。

圓與圓的位置關(guān)系，由圓心距與兩半徑的長(zhǎng)度來(lái)確定的，圓心距用d來(lái)表示，兩圓的半徑分別用r，R來(lái)表示。當(dāng)d＞R+r時(shí)，相離；當(dāng)d=R+r時(shí)，外切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時(shí)，相交；當(dāng)d=R-r時(shí)，內(nèi)切；當(dāng)0=＜d＜R-r時(shí)，內(nèi)含。也可以用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定。

3.數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何不等式問(wèn)題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決解析幾何中的不等式問(wèn)題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個(gè)曲線方程，然后將曲線方程在數(shù)軸上表示，注意計(jì)算過(guò)程中值域與定義域，然后幾個(gè)圖形的交集就是該不等式的解集。

圖3

策略要領(lǐng)：

遇到XX不等式，變形得出等價(jià)式；

代換設(shè)置Y變量，化為曲線方程式；

坐標(biāo)軸上畫分明，圖形交集為解集。

4.數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何軌跡方程問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合在速解解析幾何軌跡方程的應(yīng)用最為廣泛，因?yàn)檐壽E屬于幾何類，方程屬于代數(shù)類，它本身就是一種數(shù)形結(jié)合，解答方法必定運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法。幾乎全國(guó)高考數(shù)學(xué)解析幾何軌跡方程都有一道選擇題和一道解答題，有些地區(qū)最后一道突破題都是利用數(shù)形結(jié)合法速解解析幾何軌跡方程問(wèn)題。因此，考生必須掌握數(shù)形結(jié)合法解答解析幾何軌跡方程，下面舉例分析說(shuō)明：

如圖4，拋物線y2=4x上有兩動(dòng)點(diǎn)A、B（都非原點(diǎn)），已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明是什么曲線。

解析：設(shè)直線AB的方程為x=ay+b（a1≠0），代入曲線方程y2=4x中，得y2-4ay-4b=0。另A（x1，y1），B（x2，y2），列方程組y1+y2=4a，y1y2=-4b。題目已知OA⊥OB，由此可得x1x2+y1y2=0，也就是 （ay1+b）（ay2+b）+y1y2=0。推斷出-4b+ b2=0，b=4?？芍?，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)P（4，0）。

設(shè)M（x，y），題目已知OM⊥AB，可推斷出M的軌跡是以O(shè)P為直徑的圓 （去除原點(diǎn)）。所以M的軌跡方程為（x-2）2+y2=4（x≠0）。

圖4

策略要領(lǐng)：解析幾何軌跡方程就是數(shù)形結(jié)合一種形式，解答這類問(wèn)題的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、待定系數(shù)法、代入法、交軌法。本例主要屬于交軌法范疇，凡看到曲線交點(diǎn)，聯(lián)立方程消參，用韋達(dá)定理，向量垂直數(shù)量積為零等建立關(guān)系，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得動(dòng)點(diǎn)軌跡，避開(kāi)題目干擾的多余條件，找到正確的突破口。

數(shù)形結(jié)合是一種解析幾何解題方法，同時(shí)又是一種科學(xué)思想。于教師而言，要培養(yǎng)學(xué)生這種科學(xué)思想，使學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)總結(jié)概括的習(xí)慣；于學(xué)生而言，要善于探究數(shù)形結(jié)合背后知識(shí)所隱藏的思想，學(xué)會(huì)舉一反三，而不是通過(guò)對(duì)一道題的記憶進(jìn)行解題。特別是高中理科生一定要培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)解答物理、化學(xué)及生物問(wèn)題也會(huì)有很大的作用。

[1]徐鋒文.數(shù)形結(jié)合思想在解決解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013,(11):123-124.

[2]安佰玲,黃保軍,盧濤等.解析幾何教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用[J].淮海煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(2):69-73.

（編輯：易繼斌）

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