基于Choquet 積分的電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案評估

章 侃，文福拴，2，胡列翔，徐 謙，蘭 洲，曾平良

(1． 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州市310027;2． 文萊科技大學(xué)電機(jī)與電子工程系，斯里巴加灣市BE1410;3． 國網(wǎng)浙江省電力公司，杭州市310007;4． 國網(wǎng)浙江省電力公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，杭州市310008;5． 中國電力科學(xué)研究院，北京市100192)

0 引 言

電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃從總體上可分為規(guī)劃方案形成和規(guī)劃方案優(yōu)選2個階段。在方案優(yōu)選階段，采用相應(yīng)的評價指標(biāo)體系對各待選規(guī)劃方案進(jìn)行評價得到綜合評價結(jié)果，然后排序選出綜合最優(yōu)的電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案。

針對電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案綜合評價問題，國內(nèi)外已經(jīng)做了一些研究工作。文獻(xiàn)［1］采用層次分析法(analytic hierarchy process，AHP)對分布式電源規(guī)劃進(jìn)行方案優(yōu)選;文獻(xiàn)［2］采用熵權(quán)法和灰色關(guān)聯(lián)分析法對輸電系統(tǒng)規(guī)劃方案進(jìn)行評價和優(yōu)選;文獻(xiàn)［3-4］分別采用模糊決策方法和區(qū)間熵方法對輸電系統(tǒng)規(guī)劃方案進(jìn)行評價。上述文獻(xiàn)所采用的評價指標(biāo)體系中，所包含的評價指標(biāo)具有關(guān)聯(lián)性，但所采用的綜合評價方法并沒有對這種關(guān)聯(lián)性進(jìn)行適當(dāng)處理。文獻(xiàn)［5］采用多屬性網(wǎng)絡(luò)層次組合方法，對智能電網(wǎng)進(jìn)行綜合評價;文獻(xiàn)［6］采用網(wǎng)絡(luò)分析法，對含高滲透率間歇性電源的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案，進(jìn)行評價和優(yōu)選。文獻(xiàn)［5-6］均采用了網(wǎng)絡(luò)分析法來構(gòu)建指標(biāo)權(quán)重矩陣，雖然考慮了指標(biāo)間的關(guān)聯(lián)性，但在構(gòu)建指標(biāo)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的過程中需全面考慮指標(biāo)間的關(guān)聯(lián)反饋關(guān)系，這對于指標(biāo)數(shù)量較多的問題，計算負(fù)擔(dān)很重，且所有關(guān)聯(lián)指標(biāo)之間的相對權(quán)重也不易確定。

目前比較常用的規(guī)劃方案綜合評價方法以期望效用理論為基礎(chǔ)，對指標(biāo)采用線性加權(quán)求和的方式得到綜合評價結(jié)果。然而，具有關(guān)聯(lián)性的指標(biāo)未必符合線性關(guān)系，亦即未必可加，此時綜合評價問題原理上就屬于非線性期望問題。在此背景下，本文提出一種基于Choquet 容度積分的綜合評價方法。利用Choquet 容度對不可加的關(guān)聯(lián)指標(biāo)進(jìn)行測度，然后采用Choquet 非線性積分求取綜合評價結(jié)果。

在衡量規(guī)劃方案收益的不確定性方面，目前的研究成果主要集中在客觀風(fēng)險領(lǐng)域。已經(jīng)提出了一些風(fēng)險評估指標(biāo)，如尾部條件期望(tail conditional expectation)、風(fēng)險價值(value at risk，VaR)、條件風(fēng)險價值(conditional value at risk，CVAR)等［7］。在對規(guī)劃方案進(jìn)行評價時，現(xiàn)有方法一般不考慮決策者的主觀風(fēng)險偏好，而這可對決策結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。在此背景下，本文采用合適的效用函數(shù)刻畫決策者的風(fēng)險偏好，利用基于Choquet 積分的風(fēng)險溢價度量決策者為消除風(fēng)險愿意減少的回報量，然后求取考慮了決策者風(fēng)險偏好的主觀預(yù)期綜合收益作為經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)的綜合評價結(jié)果。然后，把經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)和可靠性指標(biāo)評價結(jié)果綜合考慮，建立決策參考表。最后，用算例對所提出的方法進(jìn)行說明。

1 傳統(tǒng)期望效用理論

對于某一投資組合{S1，S2，…，Si，…，Sk}(i=1，2，3，…，k)，k 為該投資組合中的投資項目數(shù)。用pi表示投資組合內(nèi)第i個項目能夠獲得收益yi的概率(i=1，2，3，…，k);u(yi)表示在收益yi下，該項目所能獲得的效用。這樣，該投資組合的期望效用可以表示為

式中:Y =［y1，y2，…，yi，…，yk］;u(Y)為效用函數(shù)。

當(dāng)有多種不同的投資組合時，決策者一般選擇使E［u(Y)］最大的投資組合。由式(1)可知，期望效用是各分項效用以概率加權(quán)后的線性求和，其適用的前提是各分項項目之間完全獨(dú)立，亦即其中任一項目收益不受其他項目收益的變化而變化。然而，對于實(shí)際投資問題，各分項項目未必完全獨(dú)立，因此在期望效用理論的應(yīng)用實(shí)踐中出現(xiàn)了著名的Allais 悖論和Ellsberg 悖論［8］。這2個悖論均表明在決策過程中需要注意非可加的不確定性問題?，F(xiàn)有的電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案評估方法一般是以傳統(tǒng)期望效用理論為基礎(chǔ)的，沒有考慮指標(biāo)之間存在的關(guān)聯(lián)性。

基于期望效用理論的決策機(jī)制還存在以下問題:(1)決策過程是靜態(tài)的，即決策者主要依賴最終的效用值，而沒有考慮目標(biāo)的變化量;(2)沒有考慮決策者的風(fēng)險偏好差異。前一個問題即為引言中所述的客觀風(fēng)險問題，已經(jīng)有了些研究報道并提出了一些方法，但現(xiàn)有方法主要基于統(tǒng)計分析且對決策對象的概率分布有較高要求;當(dāng)決策對象不滿足特定的概率分布時，就會導(dǎo)致誤差，本文不對此展開討論。后一個問題即為引言中所提到的主觀風(fēng)險偏好問題，系本文的研究重點(diǎn)。

2 Choquet 積分和風(fēng)險溢價

對于 Allais 悖論和 Ellsberg 悖論，可以由Choquet 提出的非可加測度即容度(capacity)概念來解釋［8-9］。在提出容度概念之后，Choquet 進(jìn)一步提出了有界隨機(jī)變量關(guān)于容度的積分，即Choquet 積分［10-13］。Choquet 積分是非線性的，在經(jīng)濟(jì)、金融、決策理論等領(lǐng)域逐步得到廣泛應(yīng)用，也適用于解決電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案評價中的指標(biāo)關(guān)聯(lián)性問題。

2.1 容度

給定狀態(tài)空間Ω，其冪子集為2Ω，集類F?2Ω，稱集函數(shù)μ:F→［0，1］為容度，如果滿足:(1)μ(φ)=0，μ(Ω)=1;(2)μ(A)≤μ(B)，?A，B∈F，且A?B。則稱三元組合(Ω，F(xiàn)，μ)為一容度空間。

2.2 Choquet 積分

Choquet 給出了有界隨機(jī)變量關(guān)于容度的積分［10-13］。給定隨機(jī)變量f :(Ω，F(xiàn))→［R，B(R)］，其中B(R)是R 的Borel σ-域。所有有界隨機(jī)變量的全體記作L∞。假設(shè)f∈L∞，f 在A∈F 上關(guān)于容度μ的Choquet 積分記為

式中:(C)表示該積分為Choquet 積分。

2.3 效用函數(shù)與風(fēng)險溢價

不同決策者對風(fēng)險的態(tài)度一般也不同，總體上可分為3 類，即風(fēng)險厭惡、風(fēng)險中性或者風(fēng)險喜好。決策者會根據(jù)自己的風(fēng)險偏好進(jìn)行決策。電網(wǎng)投資規(guī)模巨大，且工程建成后期望的使用年限可達(dá)幾十年。因此，決策要非常慎重，期望的投資收益要比較穩(wěn)定。這樣，可以把電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃決策者描述為風(fēng)險厭惡類，采用凹的、增的效用函數(shù)u 來刻畫。

行為金融學(xué)主要研究投資者的風(fēng)險偏好，通常采用效用函數(shù)，包括引入財富偏好的效用函數(shù)［13］和引入習(xí)慣的效用函數(shù)［14］。財富偏好是指投資者通過占有財富來獲得效用，而習(xí)慣偏好則關(guān)注決策者過去的投資經(jīng)驗(yàn)。電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃決策者的偏好往往依賴于其過往的工作經(jīng)驗(yàn)，因此可采用引入習(xí)慣偏好的效用函數(shù)來刻畫決策者的風(fēng)險偏好。

效用函數(shù)可用下式來描述:

式中:ct表示最終財富值;ht為習(xí)慣參數(shù)，若γ 為0，則ht恒為1，γ 的取值由決策者根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)確定;α 為風(fēng)險厭惡系數(shù)，α ∈(0，1)，α 越大則表示決策者越厭惡風(fēng)險，其值可根據(jù)決策者的風(fēng)險厭惡程度確定。

在上述工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用風(fēng)險溢價來度量決策者風(fēng)險偏好在收益上的反映。風(fēng)險溢價是衡量為得到確定回報而情愿減少的期望回報量，Pratt 和Arrow 對風(fēng)險溢價方面的研究做了基礎(chǔ)工作，下面給出基于Choquet 積分的風(fēng)險溢價計算方法［8］。

令μ 是(Ω，F(xiàn))上的容度，如果收益組合X :Ω→R 是有界隨機(jī)變量，則X 的Choquet 期望值定義為

如果效用函數(shù)u 是嚴(yán)格增函數(shù)，則有

式中:u－1為u 的反函數(shù)。

3 基于Choquet 積分的規(guī)劃指標(biāo)評估

一般采取經(jīng)濟(jì)性與可靠性相結(jié)合的指標(biāo)評價體系來評估電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案［15-17］。經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)主要用來衡量電力網(wǎng)絡(luò)投資的預(yù)期收益，隨著社會及企業(yè)自身對其在環(huán)境保護(hù)和社會貢獻(xiàn)方面的重視，決策者在考慮預(yù)期收益時也會適當(dāng)考慮外部收益，故可將電力網(wǎng)絡(luò)投資的預(yù)期收益分為內(nèi)部收益和外部收益。內(nèi)部收益指企業(yè)獲得的貨幣收益，外部收益包括社會收益和環(huán)境收益。可靠性指標(biāo)主要用來衡量所規(guī)劃的電力網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行可靠性，包括失負(fù)荷概率、電量不足期望、失負(fù)荷平均持續(xù)時間和電壓水平。在文獻(xiàn)［15-17］的基礎(chǔ)上，可建立圖1 所示的規(guī)劃方案評價體系。

圖1 電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃評價指標(biāo)體系Fig.1 Evaluation index system of power network planning

貨幣收益表示實(shí)施該規(guī)劃方案可獲得的凈收益，采用凈現(xiàn)值來度量;社會收益表示實(shí)施該規(guī)劃方案對社會的貢獻(xiàn)，采用納稅額來度量;環(huán)境收益表示規(guī)劃方案的環(huán)境友好程度，可由污染物減排效益來度量?？煽啃灾笜?biāo)則采用可靠性分析軟件求取。

離散形式的Choquet 積分計算式為

式中:Ti表示指標(biāo)(i =1，2，3，…，l;l 為指標(biāo)總數(shù));x(Ti)表示對應(yīng)的指標(biāo)值，x(T0)=0;μ({Ti，…，Tl})表示{Ti，…，Tl}的容度;指標(biāo)全集的容度μ({Ti，…，Tl})= 1 。

令{P1，P2，P3}表示經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)集合，P1、P2和P3分別表示貨幣收益、社會收益和環(huán)境收益;令{Q1，Q2，Q3，Q4}表示可靠性指標(biāo)集合，Q1、Q2、Q3和Q4分別表示失負(fù)荷概率、電量不足期望、失負(fù)荷平均持續(xù)時間和電壓水平。同類指標(biāo)的容度，在這里表現(xiàn)為指標(biāo)子集的權(quán)重。由Choquet 積分的離散公式可知，計算Choquet 積分時只需知道部分指標(biāo)子集的容度，而專家以往的決策和工程經(jīng)驗(yàn)為確定容度積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，因此在本文中經(jīng)濟(jì)性和可靠性指標(biāo)的容度可由專家根據(jù)領(lǐng)域知識和經(jīng)驗(yàn)確定。然后，根據(jù)經(jīng)濟(jì)性指標(biāo){P1，P2，P3}、可靠性指標(biāo){Q1，Q2，Q3，Q4}及相應(yīng)容度，求取未考慮風(fēng)險偏好的經(jīng)濟(jì)性綜合評價結(jié)果CE以及可靠性綜合評價結(jié)果CR。

4 基于風(fēng)險溢價的電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案決策

決策者對貨幣收益一般具有風(fēng)險偏好。外部收益作為企業(yè)的社會責(zé)任，在相當(dāng)程度上具有客觀性，故假設(shè)決策者對社會收益和環(huán)境收益不具有風(fēng)險偏好。首先采用式(3)可得到某給定規(guī)劃方案的貨幣收益效用，之后利用風(fēng)險溢價公式求得該方案下的風(fēng)險溢價。則消除了風(fēng)險溢價后的主觀預(yù)期綜合收益可表示為

主觀預(yù)期綜合收益即為規(guī)劃方案最終的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)綜合評價結(jié)果，其中容納了決策者的風(fēng)險偏好。不同的決策者的風(fēng)險厭惡系數(shù)一般不同，風(fēng)險溢價和主觀預(yù)期綜合收益也就不同。針對一系列電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案，求得不同決策者的主觀預(yù)期綜合收益，那么m個決策者在n個方案下的主觀預(yù)期綜合收益可用矩陣CS表示:

以D1，D2，…，Dm表示這m個決策者，那么對決策者Dj(j =1，2，…，m)而言，其對方案的最優(yōu)選擇結(jié)果應(yīng)為式(9)中第j 行的最大值所對應(yīng)的規(guī)劃方案。

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在實(shí)際決策時，還需要考慮可靠性指標(biāo)的綜合評價結(jié)果:

則根據(jù)式(9)和式(10)，建立供決策者參考的決策表，如表1 所示。

根據(jù)表1，具有不同風(fēng)險偏好的決策者，對不同規(guī)劃方案間的主觀預(yù)期綜合收益和可靠性指標(biāo)綜合評價結(jié)果，進(jìn)行綜合考量后最終決策。

表1 決策參考表Table 1 Decision-making reference table

5 算例分析

采用文獻(xiàn)［18］中針對巴西南部46 節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的2個電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案，來說明所提出的基于Choquet 積分的電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案綜合評價與決策方法。所采用的規(guī)劃評價原始數(shù)據(jù)參見附錄。對備選規(guī)劃方案的初步評價結(jié)果如表2 所示。

表2 2個備選規(guī)劃方案的評價結(jié)果Table 2 Evaluation results of two alternative planning schemes

從表2 中可以看出，方案I 和方案Ⅱ的經(jīng)濟(jì)性和可靠性指標(biāo)均有差異;方案I 的貨幣收益低于方案Ⅱ，社會收益和環(huán)境收益優(yōu)于方案Ⅱ;方案I 的各項可靠性指標(biāo)除失負(fù)荷概率外，均優(yōu)于方案Ⅱ。

經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)全集的容度為1，即μ({P1，P2，P3})=1。根據(jù)Choquet 積分的離散公式，可知求取Choquet 積分只需知道部分指標(biāo)子集的容度。專家根據(jù)領(lǐng)域知識和經(jīng)驗(yàn)確定的容度為:μ({P2，P3})=0.32，μ(P3)=0.17。

給定D1、D2和D3這3個決策者的風(fēng)險厭惡系數(shù)α 分別為0.45、0.50 和0.62。在本算例中主要考慮了風(fēng)險厭惡系數(shù)，給定習(xí)慣系數(shù)均為1。

將表2 中的數(shù)據(jù)以及上述數(shù)據(jù)代入式(3)、(6)和(7)，計算得到的風(fēng)險溢價如表3 所示。

然后，將可靠性指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理?？煽啃灾笜?biāo)全集的容度為1，即μ({Q1，Q2，Q3，Q4})=1。專家根據(jù)領(lǐng)域知識和經(jīng)驗(yàn)確定的可靠性指標(biāo)的容度為:μ({Q2，Q3，Q4})=0.79，μ({Q3，Q4})=0.46，μ(Q4)=0.12。

表3 風(fēng)險溢價Table 3 Risk premiums 億元

采用Choquet 容度積分計算得到方案I 和方案Ⅱ的可靠性指標(biāo)綜合評價結(jié)果分別為0.989 1和0.922 0。

基于上述結(jié)果，可建立表4 所示的決策參考表。

表4 決策參考表Table 4 Decision-making reference table 億元

由文獻(xiàn)［18］可知，方案I 和方案Ⅱ的總投資以人民幣計價分別為28.701 0 億元和25.706 8 億元，方案I 的總投資比方案Ⅱ高，但其可靠性也高于方案Ⅱ。根據(jù)決策參考表，在未考慮風(fēng)險偏好的情況下，方案I 的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)要比方案Ⅱ差;方案I的可靠性指標(biāo)要優(yōu)于方案Ⅱ，這與文獻(xiàn)［18］的結(jié)論一致。

根據(jù)決策參考表，對于無風(fēng)險偏好的決策者，雖然方案Ⅱ的可靠性指標(biāo)比方案I 低，但從經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)看，方案Ⅱ的主觀預(yù)期綜合收益要明顯高于方案I，決策者傾向于選擇方案Ⅱ。決策者D1、D2、D3的風(fēng)險厭惡系數(shù)排序?yàn)棣?＜α2＜α3，隨著風(fēng)險厭惡程度的加大，決策者對于這兩個方案的主觀預(yù)期綜合收益也越來越接近。對于決策者D1，方案Ⅱ的主觀預(yù)期綜合收益只比方案I 高0.177 3 億元，考慮到方案I 的可靠性更高，D1傾向于選擇方案I。對于決策者D2，方案Ⅱ的主觀預(yù)期綜合收益僅比方案I高出0.117 9 億元，故D2更傾向于選擇方案I。對于決策者D3，方案I 的主觀預(yù)期綜合收益高于方案Ⅱ，故其最優(yōu)決策是方案I。

文獻(xiàn)［18］得到的結(jié)論為:決策者考慮到雖然方案I 的投資額更大，但方案I 的可靠性指標(biāo)要優(yōu)于方案Ⅱ，故選擇方案I，這其實(shí)已經(jīng)考慮了決策者對預(yù)期收益的風(fēng)險厭惡態(tài)度。本文得到的結(jié)論與文獻(xiàn)［18］的結(jié)論一致。

6 結(jié) 語

本文所提出的電力網(wǎng)絡(luò)綜合評價方法將容度理論應(yīng)用于消除測度非可加的指標(biāo)之間存在的關(guān)聯(lián)性，然后采用Choquet 非線性積分計算指標(biāo)的綜合評價結(jié)果，消除了指標(biāo)間關(guān)聯(lián)性對綜合評價的影響;將基于Choquet 的風(fēng)險溢價應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)性綜合評價，考慮了不同決策者在面對方案收益不確定性時所具有的風(fēng)險偏好。算例結(jié)果表明，所提出的綜合評價方法和建立的決策表有助于對電力網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案進(jìn)行合理評價和優(yōu)選。

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