基于共有單平面的點云拼接技術(shù)研究

侯東興 李宗春 鄧 勇

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001

地面三維激光掃描技術(shù)是一種高效獲取海量點云并運用點云數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理和三維建模的技術(shù)。點云拼接是三維激光掃描儀數(shù)據(jù)采集和處理中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，影響數(shù)據(jù)預(yù)處理和建模的精度，是激光掃描技術(shù)數(shù)據(jù)處理中的熱點和難點［1－2］。點云拼接技術(shù)實質(zhì)是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換常用的方法是通過尋找3對或者3對以上的公共點來計算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，完成坐標(biāo)系的統(tǒng)一。在三維激光掃描模式下，公共點轉(zhuǎn)換方法依然可行，但是尋求公共點并精確計算點的坐標(biāo)費時費力，研究基于公共特征的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法勢在必行［3］。

掃描場景中廣泛存在著平面特征。王力等［3］針對多平面特征的場景（平面數(shù)至少為3個），提出基于平面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。目前，市場上掃描儀一般都具有整平和補償功能，掃描測量中不同測站坐標(biāo)系Z軸方向與鉛垂線方向相反，即不同測站坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)即能滿足三軸指向概略相同?；诖?，本文提出基于共有單平面的點云拼接技術(shù)：首先進(jìn)行平面的提取、擬合，精確計算平面的法向量；再運用平面的法向量信息，利用旋轉(zhuǎn)角構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣；最后通過平面的中心點（視為公共點）進(jìn)行坐標(biāo)平移，完成點云拼接。

1 平面特征的提取

提取平面特征的方法一般分為人機(jī)交互法和平面特征自動提取算法等［4－6］。人機(jī)交互法是操作員通過計算機(jī)顯示的掃描點云數(shù)據(jù)，將共有的平面點云提取出來，或者在掃描階段對共有的平面進(jìn)行單獨掃描，直接將平面點云提取出來。自動提取算法包括以下兩種。

1）基于法向量聚類的平面點云提取。平面特征自動提取需要提前獲取平面的大致個數(shù)。平面點云中的點存在一個共同特性，即點的單位法向量基本相同，它們的單位法向量與平面的單位法向量一致。因此，可以采用聚類的算法（將單位法向量是否相同作為是否歸為一類的評判標(biāo)準(zhǔn)）將平面提取出來。平面特征自動提取的步驟為：①對原始點云進(jìn)行采樣；②計算點云的單位法向量［7］；③對點云的法向量進(jìn)行聚類運算；④編號存儲法向量相同的點云。

2）基于回光強度的平面點云提?。?－2］。三維激光掃描儀不僅記錄目標(biāo)點的三維坐標(biāo)，還記錄照射材料的回光強度。目前對回光強度的利用相對較少，大多數(shù)情況下僅僅用于點云的可視化。在不同于其他材質(zhì)的平面特征中，人工標(biāo)志的反射強度明顯高于一般地物，可以利用點的回光強度值進(jìn)行聚類，從而將平面自動提取出來。

2 平面擬合

2.1 求解平面參數(shù)［8－10］

平面擬合實質(zhì)上是求解平面的最優(yōu)參數(shù)。三維空間中平面的數(shù)學(xué)表達(dá)式一般為：ax＋by＋cz＋d＝0。該表達(dá)式唯一確定了一個平面，但是平面方程并不是只有一個這樣的表達(dá)式（如2ax＋2by＋2cz＋2d＝0）。為了能讓平面有唯一的表達(dá)式，定義平面方程為：

式中，a、b、c為平面擬合的待估參數(shù)（此平面不與XOY面平行）。

掃描儀獲取的點坐標(biāo)在x、y、z3個方向均存在誤差，誤差方程式為［11］：

式中，vxi、vyi、vzi為點坐標(biāo)x、y、z3個方向的誤差改正數(shù)。整理成誤差方程向量形式：

取方程的最小二乘解作為參數(shù)的估值?？紤]到系數(shù)矩陣和觀測值中均含有誤差，采用矩陣的SVD（奇異值分解）［8］法求解參數(shù)最小二乘解。步驟為：①組成增廣矩陣，并進(jìn)行奇異值分解，即，其中V＝；②求解參數(shù)估值，如果V22非奇異，則；③進(jìn)行精度評定。

2.2 優(yōu)化平面參數(shù)

由于各種因素的影響，三維激光掃描儀獲取的平面點云必然會存在粗差點，特別是在平面的邊界區(qū)域。因此，為了獲取較高精度的平面參數(shù)，需要對這些粗差點進(jìn)行剔除，再進(jìn)行平面參數(shù)的重新估值。粗差點的剔除主要根據(jù)點到擬合平面的距離進(jìn)行判定。平面參數(shù)優(yōu)化的具體步驟為。

1）計算點到平面的距離。引入點到平面的距離公式：

式中，A＝a，B＝b，C＝－1，D＝c。

2）應(yīng)用貝塞爾公式計算距離中誤差［11］：

3）粗差點剔除。由于三維掃描儀獲取的點云數(shù)據(jù)量大，粗差點數(shù)量不易估計，粗差點對初始平面參數(shù)的影響也不易估計。設(shè)置3md為極限誤差來剔除粗差點，若di＞3md，此點作為粗差點剔除。

4）重新計算平面參數(shù)。利用保留下來的平面點云和前文方法重新計算平面參數(shù)a、b、c。

5）迭代優(yōu)化平面參數(shù)。設(shè)置3md為極限誤差來剔除粗差點，將2md設(shè)置為一般誤差來優(yōu)化點云。利用優(yōu)化的點云重新計算平面參數(shù)，將剔除粗差后的點云作為新的平面點云繼續(xù)迭代優(yōu)化計算。通過設(shè)置迭代次數(shù)閾值或者平面參數(shù)變化閾值，來完成平面參數(shù)的優(yōu)化。

3 解算轉(zhuǎn)換矩陣

3.1 計算旋轉(zhuǎn)矩陣

平面的法向量可由平面參數(shù)來表示。平面法向量可表示為（a，b，－1）或（－a，－b，1），兩種法向量方向相反。

不同測站下掃描獲取的同一平面點云的法向量是不同的。假設(shè)測站1與測站2之間的旋轉(zhuǎn)矩陣為R21（R21為3×3矩陣），那么一定滿足（a1，b1，－1）＝R21（a2，b2，－1）（設(shè)（a1，b1，－1）與（a2，b2，－1）同為背離測站方向或同為指向測站方向）。旋轉(zhuǎn)矩陣具有3個自由度，如果只將法向量視為一個公共點坐標(biāo)，是不能解出旋轉(zhuǎn)矩陣的。平面的法向量由平面點云計算得出，所以不能只將法向量視為一個點坐標(biāo)。

運用兩個法向量求解一個旋轉(zhuǎn)矩陣，使法向量重合有較多方法［12］，其中較經(jīng)典的是基于羅德里格矩陣求解旋轉(zhuǎn)矩陣。其求解公式為：

式中，I為單位陣，r為向量叉乘計算的單位向量，θ為向量之間的夾角。

此旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足（a1，b1，－1）＝R（a2，b2，－1）。但此旋轉(zhuǎn)矩陣只是將平面的法向量方向重合，而沒有將平面上的點云重合，不是歐氏空間轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)矩陣。歐氏空間轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)矩陣可由歐拉角、單位四元數(shù)、Kardan旋轉(zhuǎn)（依次繞坐標(biāo)軸Z、Y、X旋轉(zhuǎn)）等方法得到［1］。已知同一平面在不同測站的法向量，可根據(jù)Kardan 旋轉(zhuǎn)方法求取旋轉(zhuǎn)矩陣。具體步驟如下。

1）統(tǒng)一兩組法線方向（同為指向測站方向或同為背離測站方向），方法是構(gòu)造一個向量來約束平面法線方向。向量的構(gòu)造過程為：任取共有平面上一點P（也可取平面重心點或中心點），設(shè)測站坐標(biāo)原點為S，連接P、S兩點，方向指向測站方向（圖1）。將構(gòu)造的向量點乘平面法向量，如果不同測站點乘的結(jié)果符號相同，則將此時的法向量作為平面法向量；如果不同測站點乘的結(jié)果符號不同，則將其中一個測站的法向量的反向量作為平面的法向量，另一個測站的法向量不變，最終確保兩個平面法向量相對于測站具有統(tǒng)一的指向。

圖1 構(gòu)造的向量與平面法線的關(guān)系Fig.1 The relationship of constructed vector and plane normal

2）將不同測站共有平面的法向量繞Z軸旋轉(zhuǎn)到XOZ面的第一象限，分別計算旋轉(zhuǎn)后法向量與Z軸正方向的夾角α1、α2，計算待拼接測站坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度Δα＝｜α1－α2｜。

3）將不同測站的共有平面的法向量繞Z軸旋轉(zhuǎn)到Y(jié)OZ面的第一象限，分別計算旋轉(zhuǎn)后法向量與Z軸正方向的夾角β1、β2，計算待拼接測站坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)的角度Δβ＝｜β1－β2｜。

4）若Δα＜Δβ，分別計算不同測站的共有平面法向量在XOY面的投影與X軸正方向的夾角θ1、θ2；若Δα＞Δβ，則分別計算不同測站的共有平面法向量在XOY面的投影與Y軸正方向的夾角θ1、θ2。

5）確定解算旋轉(zhuǎn)矩陣。根據(jù)掃描儀特性，Δα、Δβ為較小的值。若Δα＜Δβ，則將兩個測站的坐標(biāo)系分別繞Z軸旋轉(zhuǎn)－θ1、－θ2，將平面法向量旋轉(zhuǎn)到XOZ面內(nèi)，再分別計算不同測站的共有平面法向量與X軸正方向的夾角，將兩個測站的坐標(biāo)系分別繞Y軸旋轉(zhuǎn)將平面法向量旋轉(zhuǎn)到與X軸平行，最后將待拼接測站坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)Δβ＝β1－β2。則：

3.2 計算平移矩陣

共有平面在待拼接測站下的平面點云經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，與這個平面在固定測站下的平面點云平行，再經(jīng)過平移即能完成平面點云的重合。平移矩陣需要一對公共點解算：

尋找公共點有多種方法，如將兩個平面的中心或重心作為公共點，在掃描時測得一組公共點，或通過人機(jī)交互直接確定一組或幾組公共點。公共點的坐標(biāo)精度將直接影響點云拼接的精度。

4 基于共有單平面特征的點云拼接實驗

4.1 仿真數(shù)據(jù)實驗

利用VS2010編程，獲取一個平面點云和一個半球形點云，視為第一測站點云數(shù)據(jù)。將第一測站點云數(shù)據(jù)經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，作為第二測站點云數(shù)據(jù)。模擬兩站點云數(shù)據(jù)如圖2（a）所示。

第一測站點云經(jīng)轉(zhuǎn)換矩陣后形成第二測站點云，滿足：

式中，P為第一測站點云，Q為模擬的第二測站點云。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣如表1所示。

表1 生成第二測站點云的轉(zhuǎn)換矩陣Tab.1 The transformation matrix of generating second station point cloud

經(jīng)過平面提取、擬合，解算兩站點云的旋轉(zhuǎn)矩陣。將點云的重心作為公共點求解平移矩陣。利用求解出的轉(zhuǎn)換矩陣，對第二測站點云進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后點云如圖2（b）所示。

圖2 模擬數(shù)據(jù)拼接實驗Fig.2 Registration experiment by simulated data

平面導(dǎo)出的轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)滿足：

式中，Q為模擬的第二測站點云，P2為反求的第一測站點云。單平面求得的轉(zhuǎn)換矩陣如表2所示。

表2 單平面導(dǎo)出的轉(zhuǎn)換矩陣Tab.2 The transformation matrix calculate by single plane

由式（10）和式（11）可導(dǎo)出，兩組轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)滿足：

式中，I為單位陣。將兩組轉(zhuǎn)換矩陣代入式（12），求得的結(jié)果如表3所示。

表3 R2R1 和R2T1＋T2 的值Tab.3 The values of R2R1and R2T1＋T2

從圖2（b）可知，兩站點云較好地拼接在一起。從表3可以推出，反求的轉(zhuǎn)換矩陣是正確的。經(jīng)過坐標(biāo)差計算，兩站模擬數(shù)據(jù)坐標(biāo)差基本為0，證明了此方法的可行性。

4.2 實測數(shù)據(jù)實驗

點云采用RIEGL VZ－400掃描儀獲取，配套軟件為RiSCAN－PRO。進(jìn)行兩組實驗，實驗1對方凳和儀器箱分別進(jìn)行掃描，實驗2對雕像進(jìn)行掃描。平面點云提取方式為對共有的平面單獨掃描，直接將平面點云提取出來（點云為方凳平面點云）。首先對點云進(jìn)行均勻采樣，保證一定數(shù)量的點云個數(shù)（數(shù)量過大，奇異值分解計算無法進(jìn)行），求取最優(yōu)的平面參數(shù)。然后，將求取的平面參數(shù)運用到原始點云中，進(jìn)行粗差點剔除，將優(yōu)化后的平面點云重心坐標(biāo)作為公共點。

利用最優(yōu)的平面參數(shù)和公共點解算轉(zhuǎn)換矩陣，將轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)用到待拼接的點云中完成點云拼接。兩站平面點云拼接前后分別如圖4（a）、（b）所示。

實驗1中，利用共有平面（方凳）導(dǎo)出的轉(zhuǎn)換矩陣對儀器箱進(jìn)行拼接，如圖5所示。實驗2中，利用共有平面（雕像基座）導(dǎo)出的轉(zhuǎn)換矩陣對人物雕像進(jìn)行拼接，如圖6所示。從圖4～6看出，不同站間點云比較好地拼接在一起，證明此方法正確可行。

圖3 平面點云優(yōu)化Fig.3 The optimization of plane point cloud

圖4 平面點云拼接實驗Fig.4 The registration of plane point cloud

圖5 基于平面的儀器箱拼接實驗Fig.5 The registration of instrument container based on plane

圖6 基于平面的雕像拼接實驗Fig.6 The registration of statue based on plane

5 結(jié) 語

基于共有單平面特征的點云拼接具有較強的適用性，模擬數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)均驗證了本文算法的正確性和可靠性。由于測量誤差的存在，提取的特征往往存在誤差，相鄰測站通過特征建立的關(guān)系模型也會存在模型誤差，因此通過特征法得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)精度相對較低。在地形測量、工程測量、雕像建模、數(shù)字城市等領(lǐng)域，容易提取和應(yīng)用的特征相對較多，特征拼接容易滿足精度要求。但在文物保護(hù)、逆向工程等精度要求較高的領(lǐng)域，提取和使用的特征精度往往難以滿足要求。將特征法和ICP 算法相結(jié)合，先用特征法進(jìn)行粗拼接，作為ICP 的初始轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后再由ICP 迭代提高拼接精度。在下一步的工作中，將設(shè)計平面度較高的平面圓形靶標(biāo)進(jìn)行多站點云拼接，用以提高測量工作的效率。在多平面場景中，研究平面的自動匹配以及單平面與多平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的組合求解。

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