一致性條件與荷蘭賭論證

季愛民

1926年，拉姆齊首倡“概率即部分信念”的主觀主義概率觀。1937年，菲尼蒂建構(gòu)了關(guān)于相信度的主觀概率理論。之后，薩維奇等主觀貝葉斯學(xué)者對主觀概率理論進(jìn)行了拓展，使概率具有了私人性質(zhì)，成為個(gè)體相信度的一種測度。薩維奇認(rèn)為：“私人的觀點(diǎn)認(rèn)為概率是測度一個(gè)特殊的個(gè)體對一特殊的命題的真實(shí)性的信心。例如，明天將下雨。這些觀點(diǎn)要求被涉及的個(gè)體在某些方面是‘合理的’，但是他們并不否認(rèn)兩個(gè)理性的個(gè)體面對相同的證據(jù)，對相同的命題的真實(shí)性，他們將可能有著不同的信心程度?！盵1]在薩維奇之后，“主觀概率的方法開始逐漸在各個(gè)領(lǐng)域受到人們的尊重，‘主觀貝葉斯主義’這個(gè)學(xué)術(shù)標(biāo)簽在決策領(lǐng)域越來越流行，它的發(fā)展和應(yīng)用已經(jīng)深深地深入到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)之中?！盵2]而主觀主義概率論者建構(gòu)主觀概率理論的基礎(chǔ)就在于一致性條件及其荷蘭賭論證。

一、一致性條件

“主觀概率論的闡發(fā)者拉姆齊和菲尼蒂將個(gè)體的部分信念定義為公平賭商，通過公平賭商必須滿足概率演算公理，將部分信念與主觀概率聯(lián)系起來，給出的理由是荷蘭賭論證。對于一個(gè)理性的個(gè)體而言，如果他不想遭遇一個(gè)荷蘭賭，他的賭商只有符合一致性條件。”[3]這個(gè)部分信念或者賭商的約束條件在拉姆齊和菲尼蒂那里實(shí)質(zhì)相同，只不過表述有異。拉姆齊稱為一致性（Consistency），他認(rèn)為“我們的每一個(gè)定義都伴隨著一個(gè)一致性的公理（axiom of consistency）；只要這是錯(cuò)的，其相應(yīng)的相信度這個(gè)概念也就成為無效的了?！盵4]61菲尼蒂稱為一貫性（Coherency），“正是這個(gè)一貫性條件構(gòu)成了人們由以引出整個(gè)概率演算的唯一原則：因而這個(gè)演算看起來象一組規(guī)則，同一個(gè)人對于各種事件的概率的主觀求值應(yīng)該與這組規(guī)則相符合，如果其中沒有根本的矛盾的話?！盵4]86

從形式上看，賭商的變化范圍和數(shù)學(xué)上的概率數(shù)值的變化范圍重合，如果主觀概率理論能和數(shù)學(xué)上的概率理論做到實(shí)質(zhì)性的對應(yīng)，那自然要考慮定義部分信念的賭商能不能滿足概率公理，這就需要對賭商有一個(gè)約束性的一致性條件。這可堪稱主觀主義概率論者最成功的地方，由此主觀概率的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)得以獲得。因?yàn)樵诮o事件進(jìn)行概率分配時(shí)，每一個(gè)人都可以自由表達(dá)他的觀點(diǎn)。正如菲尼蒂所言，觀眾在錦標(biāo)賽中可以根據(jù)自己的主觀態(tài)度來自由選擇每一隊(duì)獲勝的概率，理論不能先驗(yàn)地拒斥他的判斷。不過，這種對概率或者賭商的看似寬泛的選擇，也有約束條件。如果概率的選擇使得別人可以以必勝的方式與他打賭，那么“人們顯然會(huì)說，這個(gè)人在概率求值中包含了一種不一貫性，一個(gè)內(nèi)在矛盾；”[4]86相反，如果他的選擇使得別人在和他打賭時(shí)沒有辦法通過選擇賭商來必然取勝，那么“我們將說，這個(gè)人是首尾一貫的?！盵4]86這就是說，每個(gè)個(gè)體為了做到首尾一貫，他的賭商要符合某一法則。

對于一致性約束條件，拉姆齊和菲尼蒂都獨(dú)立地通過對打賭的分析得出并且給予了嚴(yán)格證明。拉姆齊提到：“這些就是概率律(laws of probability)，我們已經(jīng)證明了對于任何一致的相信度集合，它們都必然成立?！绻魏稳说乃季S活動(dòng)違背了這些定律，……這可能會(huì)使得一個(gè)狡猾的打賭者專門找他打賭，并且在任何情況下他都總是會(huì)輸。因而，我們發(fā)現(xiàn)對部分信念的精確說明揭示了概率律就是一致性律，是擴(kuò)展到部分信念的形式邏輯，即一致性邏輯?！盵4]62如果測定部分信念的賭商不滿足概率律，那么打賭時(shí)肯定使得自己處于必輸境地，而一個(gè)確定的、必定遭受損失的事實(shí)，對打賭的個(gè)體而言肯定不合理，這說明該個(gè)體的部分信念不滿足一致性條件。所以，這些概率公理對于滿足一致性的相信度集合都必然成立，對于任何一個(gè)理性的個(gè)體而言，概率律就是一致性律。菲尼蒂在《預(yù)見：其邏輯規(guī)律與主觀根源》中認(rèn)為：“采用了主觀定義，就容易從一個(gè)非常自然的條件中嚴(yán)密地引出這些邏輯規(guī)則，這就是一貫性條件，它使我們不得不小心謹(jǐn)慎地計(jì)算概率，不管發(fā)生什么情況，決不讓一個(gè)與我們打賭的對手通過對各種事件的賭注的審慎組合而具有取勝的把握?；径ɡ恚ㄈ怕省?fù)合概率）僅僅是這些基本條件的直接推論。”[4]141在文中，他給予了嚴(yán)密的論證。以全概率定理為例，他指出：“讓我們看看如何根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)證明全概率定理?！?，設(shè) E1，E2，…En為不相容事件，……，設(shè) P1，P2，…Pn為一特定的人所求出的它們的概率；……，結(jié)果是，一貫性迫使我們加上這樣一個(gè)條件：P1+P2…+Pn=1?！盵4]86-87他指出這個(gè)一貫性條件和滿足概率公理是充分必要條件的關(guān)系，因?yàn)?，如果它被滿足，所得的收益永遠(yuǎn)不可能為正，而不管賭注是什么。“這樣，就有了下面這種形式的全概率公理：在不相容事件的一個(gè)完全類中，概率的總和必然等于1?！盵4]87這也正如豪森所言：“因此，我們得到基本的定理：P1，……，Pn是一致的當(dāng)且僅當(dāng)它們是概率函數(shù)。”[5]162菲尼蒂除了證明一貫性和全概率公理外，還證明了條件概率的定義和概率乘法定理，嚴(yán)密地論證了賭商的一貫性條件和賭商滿足概率演算公理確實(shí)互為充要條件，一貫性條件由此成為整個(gè)概率演算的唯一原則。

在拉姆齊論述中，作為中間過度環(huán)節(jié)的“在任何情況下他只會(huì)是輸”的賭就是“荷蘭賭（Dutch Book）”或者稱之為“大棄賭”。這是一種特殊的賭，因?yàn)椴徽撍蛸€的事件發(fā)生與否，都可以使得參與打賭的一方處于必輸?shù)木车亍Ｒ恢滦詶l件是指：某人的賭商是一致的當(dāng)且僅當(dāng)他的對手不可能通過選擇打賭的方式（例如改變賭注的大?。┦沟盟偸禽?。如果一個(gè)狡詐的對手和他進(jìn)行打賭，使得他總是輸，那么對他而言就發(fā)生了一個(gè)荷蘭賭。因此，為了在打賭中不遭受損失，他勢必要保持自己賭商的一致性。

主觀概率理論之所以可以使得概率論的邏輯規(guī)律能在主觀主義觀點(diǎn)中被嚴(yán)格地確立，就是因?yàn)檫@個(gè)一致性條件對于賭商滿足概率公理既是充分條件又是必要條件，即拉姆齊所說的概率律就是一致性律。

二、主觀概率演算系統(tǒng)

拉姆齊和菲尼蒂建立主觀概率的思路都是通過荷蘭賭論證，如果他們提出的荷蘭賭論證得到證明而成為一個(gè)嚴(yán)格的荷蘭賭定理，那么他們的概率理論也就因此得到一個(gè)主觀基礎(chǔ)。論證荷蘭賭定理之前，需要先闡明主觀主義的概率演算系統(tǒng)，以及荷蘭賭的基本模型。

因?yàn)闈M足柯爾莫哥洛夫建立的公理系統(tǒng)提出的概率函數(shù)是數(shù)理概率，而不是主觀概率，這意味著主觀主義者的概率公理和柯爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)有區(qū)別。菲尼蒂已經(jīng)提到了這個(gè)不同點(diǎn)，有“全概率定理不能運(yùn)用于無窮多或甚至可數(shù)量的事件的場合”[4]92，這就是說，在柯爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)中，對無限集合而言的可列可加性公理，應(yīng)該改進(jìn)為僅包括有限事件集合性質(zhì)的有限可加性公理。理由在于，在可列可加性的系統(tǒng)中，一些事件是不能依概率測定的不可測事件，而主觀概率要求每一個(gè)事件都可以預(yù)測。拉姆齊對此持有相同觀點(diǎn)，他說：“我們還沒有談到當(dāng)可選擇對象數(shù)量無限的時(shí)候相信度的情況。關(guān)于這一點(diǎn)我沒有什么可說的，我只是懷疑大腦能否考慮多于有限數(shù)量的可選擇對象。它能夠考慮有無限多的可能答案問題，但是為了要考慮這些答案，就必須要把它們歸并在有限數(shù)量的類別之中?！盵4]63薩維奇也贊同并且拓展了主觀概率的有限可加性系統(tǒng)，發(fā)展了一個(gè)更具廣泛基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)。

這樣一來，對主觀概率理論而言，一般的概率演算律為：設(shè)事件的樣本空間為Ω（隨機(jī)事件E或者F是Ω的子集），P（E）是E的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，且滿足下列三條公理，則稱函數(shù)P（E）為事件E的概率。

公理1（非負(fù)性）：對于任一事件E，有0≤P（E）≤1；

公理2（規(guī)范性）：Ω 是一確定的事件，P（Ω）=1；

公理 3（有限可加性）：若 E1，E2，……，Ei，……，En為不相容事件的一個(gè)完全類（即其中有一個(gè)并且只有一個(gè)必然會(huì)發(fā)生），則 P（E1+E2+……+En）=P（E1）+P（E2）+……+P（En）。（或如菲尼蒂的表述:P（E1）+P（E2）+……+P（En）=1）

對于不相容事件完全類可以這樣直觀地理解。如對于擲骰子的事例，可能出現(xiàn)的全部事件為E1∨E2∨E3∨E4∨E5∨E6（其中的Ei分別代表出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i），很明顯，上式成立。為了證明荷蘭賭定理對任意兩個(gè)互斥事件（即兩事件互不相容，但可能不是樣本空間里的一個(gè)完全類）均成立，公理3可以變形為對兩個(gè)互斥事件的情形，如果兩個(gè)事件一般性地分別用E和F表示，并且E∨F，則公理3可以變形為P（E∨F）=P（E）+P（F）。同樣對于任意兩個(gè)不一定構(gòu)成一個(gè)完全類的互斥事件，也可用擲骰子的事例來直觀地理解。如果這兩個(gè)事件分別理解為出現(xiàn)1點(diǎn)和出現(xiàn)2點(diǎn)的事件，那么，這并沒有構(gòu)成擲骰子可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)1點(diǎn)和2點(diǎn)都沒有出現(xiàn)的結(jié)果。對于公理3和它的變形公式，在荷蘭賭定理的證明中，只需要證明其中的任意一個(gè)，因?yàn)榭梢宰C明兩種形式在邏輯上是等值的。[6][7]

除了上面的三個(gè)公理，對于主觀主義概率論者來說，相信度通過賭商來測定對于條件概率的定義也適合，拉姆齊認(rèn)為“我們也能夠定義一個(gè)非常有用的新概念——‘給定q時(shí)對P的相信度’?！?，這種有條件的打賭在十八世紀(jì)是比較普遍的?！盵4]60菲尼蒂在證明了上面的三個(gè)公理和一致性之間的充分必要后，進(jìn)一步提出“我們還必須考慮條件概率的定義和關(guān)于概率乘法定理的證明。”[4]92因此，概率演算律要另外加上條件概率的定義：如果 P（F）>0，則 P（E|F）=P（E∧F）/P（F）。

三、荷蘭賭基本模型

結(jié)合國內(nèi)外相關(guān)研究資料，對荷蘭賭的賭博體系[7]或者基本模型可以從賭注與賭商規(guī)則、勝負(fù)規(guī)則、金錢規(guī)則以及賭局構(gòu)成規(guī)則這幾個(gè)方面進(jìn)行概括。

1.賭注與賭商規(guī)則

賭注應(yīng)該適當(dāng)或者說雙方能真正愿意接受，并且正負(fù)未定。賭商取決于他愿意接受的賭注與付款的差額的最低差額，在賭注適當(dāng)?shù)那樾蜗?，一個(gè)人的賭商等于他愿意出的付款與賭注的比值，即賭商=付款/賭注。

賭商要真正測度出某人的相信度，那么雙方打賭的意愿必須真誠，打賭之前他們并不預(yù)先知道賭博的輸贏。也就是說，雙方在打賭中所處地位是公平的情形下進(jìn)行打賭，賭商應(yīng)該為公平賭商。這體現(xiàn)在，如果雙方在接受了一定的賭商后，那么他們既愿意為打賭事件的真實(shí)性以P進(jìn)行打賭，又愿意以打賭事件的虛假性，即以P進(jìn)行打賭。當(dāng)然，這也可以通過對手位置的互換來理解，由賭商定義知，如果一方的賭商為P，則對手的賭商為1-P。

2.勝負(fù)規(guī)則

如果打賭者打賭的事件為真，則獲勝，對手輸。如A和B對事件E的發(fā)生與否進(jìn)行打賭，A打賭事件E發(fā)生，B打賭事件E不發(fā)生，如果結(jié)果是E發(fā)生了，則A獲勝，B輸。如果結(jié)果是E沒有發(fā)生，則B獲勝，A輸。

3.金錢規(guī)則

付款=賭注×賭商，賭注=參與打賭的雙方的付款之和。勝者的收益等于賭注減去自己的付款，或者說，勝者的收益為得到對手的付款，而負(fù)者的收益為失去自己的付款，即勝者的收益=-負(fù)者的收益。如在一個(gè)賭中，賭注為S，A的付款為SpA，B的付款為SpB。如果A勝，B負(fù)，則A的收益GA=S-SpA=SpB，B的收益GB=-SpB；如果 A 負(fù)，B 勝，則 GA=-SpA，GB=S-SpB=SpA。

4.賭局構(gòu)成規(guī)則

第一，打賭是針對一個(gè)事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行考慮，如果對一個(gè)不相容事件的完全類進(jìn)行打賭，要對其中所有不相容的基本事件同時(shí)進(jìn)行打賭。如E1，E2，……，En為不相容事件，E是它們的一個(gè)完全類，此時(shí)，對E進(jìn)行的賭局構(gòu)成為：打賭的雙方同時(shí)對其中的Ei（i=1，2，……，n）進(jìn)行打賭，分別給出賭注Si和公平賭商qi。如對于任意兩個(gè)互斥事件E和F進(jìn)行打賭，也要考慮所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即要考慮到E出現(xiàn)或者F出現(xiàn)的結(jié)果，也要考慮E與F都沒有出現(xiàn)的結(jié)果。

第二，當(dāng)一方對的真（發(fā)生）進(jìn)行打賭，是另一方則同時(shí)為Ei的假（不發(fā)生）或者說對-Ei的真進(jìn)行打賭。如對事件“明天此地是否下雨”進(jìn)行打賭，此事件E可以作為下面兩個(gè)不相容的基本事件的完全類：E1“明天此地下雨”和E2“明天此地不下雨”。此時(shí)，賭局構(gòu)成為：A同時(shí)對“E1的真”和“E2的假”進(jìn)行打賭；相應(yīng)地，B 同時(shí)對“E1的假”和“E2的真”進(jìn)行打賭?；蛘撸珹 同時(shí)對“E1的假”和“E2的真”進(jìn)行打賭；相應(yīng)地，B同時(shí)對“E1的真”和“E2的假”進(jìn)行打賭。

第三，條件賭的有效性建立在條件為真的情形下，如果條件為假，則賭博終止。

對于這一規(guī)則，拉姆齊提到：“它不是指對‘如果P那么q’或者‘P蘊(yùn)涵q’的相信度，也不是指如果這個(gè)人知道q的話，他會(huì)對P具有的或者應(yīng)該具有的相信度。它粗略地表示了他就P打賭時(shí)他會(huì)接受的賭注與付款的差額，只有q真，這個(gè)打賭才是有效的。”[4]60這就是說，如果進(jìn)行一個(gè)E相對于F的賭博，公平賭商并不是指僅僅對E的真應(yīng)該具有的相信度，而是對（E|F）所具有的相信度?；蛘哒f，在F這個(gè)條件下，對E的真所具有的相信度，并且只有在F為真的情形下，這個(gè)打賭才是有效的；如果F實(shí)際不發(fā)生，則對（E|F）的打賭因?yàn)闊o效而終止。

四、荷蘭賭論證

拉姆齊和菲尼蒂用荷蘭賭論證了“一個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭，當(dāng)且僅當(dāng)，這個(gè)賭商集合滿足概率演算公理?！睂W(xué)者稱之為‘Dutch Book Argument’（國內(nèi)大多翻譯為“荷蘭賭定理”或者“大棄賭定理”）。國外有的文獻(xiàn)也稱之為‘The Ramsey-De Finetti Theorem’，即一個(gè)賭商集合是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，該賭商集合滿足概率公理。

關(guān)于荷蘭賭定理的國外文獻(xiàn)較多，在這里主要依據(jù)菲尼蒂在1937年的經(jīng)典著作中提出的賭者獲得收益的方法來略加證明。[4]86-95對于荷蘭賭定理，需要依次證明對于一個(gè)確定事件、一個(gè)任意事件、不相容事件的完全類，以及條件事件的賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭的充分性：如果一個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭，那么這個(gè)賭商集合滿足概率演算律（即分別滿足公理1，公理2，公理3和條件概率定義）。除此之外，還必須證明對于一個(gè)確定事件、一個(gè)任意事件、不相容事件的完全類以及條件事件的賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭的必要性：如果一個(gè)賭商集合滿足概率演算律，那么一個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭。

下面僅代表性地對一個(gè)任意事件進(jìn)行證明。即證：對于一個(gè)任意事件的賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭，當(dāng)且僅當(dāng)，這個(gè)賭商集合滿足概率演算公理。

第一步證明充分性：如果對于一個(gè)任意事件E的賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭，那么這個(gè)賭商集合要滿足概率公理 1（即 0≤P(E)≤1）。

對于一個(gè)任意事件E，如果打賭的一方選擇P（E）<0，則 E 出現(xiàn)時(shí)他的收益為 S（1-P（E）），E 不出現(xiàn)時(shí)他的收益為-SP（E），那么當(dāng)對手選擇S<0的時(shí)候，可以使得他的收益總是為負(fù)，對他而言出現(xiàn)了荷蘭賭。如果打賭的一方選擇P（E）>1，那么當(dāng)對手選擇S>0的時(shí)候，可以使得他的收益總是為負(fù)，對他而言依然是發(fā)生了荷蘭賭。因此，為了避免荷蘭賭，他必須選擇0≤P（E）≤1，即必須滿足公理1。

第二步證明必要性：如果對于一個(gè)任意事件E的賭商集合滿足概率演算公理，那么這個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭。

對于任意事件E進(jìn)行打賭，由賭局構(gòu)成規(guī)則，這是打賭的雙方同時(shí)對其中的E的真實(shí)性和虛假性進(jìn)行打賭，假設(shè)打賭一方對E的賭商為P（E），對-E的賭商為P（-E），可能的結(jié)果是“E出現(xiàn)與-E不出現(xiàn)”或者“E不出現(xiàn)與-E出現(xiàn)”，那么打賭者的收益均為：S·（1-（P（E）+P（-E）），因?yàn)橘€商滿足概率演算律，所以 P（E）+P（-E）=1（公理 3），因此，不管出現(xiàn)什么結(jié)果，打賭者的收益為0。證畢。

五、結(jié)語

總之，隨著現(xiàn)代決策論的發(fā)展，主觀概率理論越來越得到重視，“因?yàn)樵跊Q策那里，主體決策依賴于建立在其認(rèn)知上的對外部事件的主觀評價(jià)，因而不確定事件的概率在不同決策者那里是不同的，且大大影響決策者的策略選擇?！盵8]而主觀主義概率論者建構(gòu)主觀概率理論的進(jìn)路則可以歸納為：主觀概率被解釋為部分信念，可以通過賭商來進(jìn)行數(shù)值的測量；一個(gè)個(gè)體的信念集合是合理的，當(dāng)且僅當(dāng)，他的賭商集合是合理的；一個(gè)賭商集合是合理的，當(dāng)且僅當(dāng)，這個(gè)賭商集合是一致的；一個(gè)賭商集合是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，這個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭；一個(gè)賭商集合不可能導(dǎo)致荷蘭賭，當(dāng)且僅當(dāng)，這個(gè)賭商集合滿足概率演算公理；因此，如果荷蘭賭定理被嚴(yán)格地證明，那么概率理論的主觀基礎(chǔ)得以合理建立（即被解釋為部分信念的邏輯），即：一個(gè)個(gè)體的信念集合是合理的，當(dāng)且僅當(dāng)，他的信念集合滿足概率演算律。由此，依據(jù)一致性條件和荷蘭賭論證，闡釋概率即部分信念的主觀概率理論的主觀基礎(chǔ)得以奠定。

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