在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)中類Dicke模型的相變

趙秀琴

(太原師范學(xué)院 物理系，山西 太原 030031)

在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)中類Dicke模型的相變

趙秀琴

(太原師范學(xué)院 物理系，山西 太原 030031)

自旋和軌道耦合為中性的超冷原子在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC)中的玻色系統(tǒng)提供了研究的機(jī)會(huì)．文章研究此類系統(tǒng)的相變和基態(tài)性質(zhì)．首先將它映射到著名的量子光學(xué)中的Dicke模型,Dicke模型描述了一個(gè)原子系綜和單模光場(chǎng)之間的相互作用．Dicke模型的中心問題是預(yù)測(cè)了超輻射相和一個(gè)正常相之間的量子相變．我們研究在自旋和軌道耦合中的類似Dicke模型的量子相變．采用平均場(chǎng)自旋相干態(tài)法,特別是考慮原子之間的相互作用,計(jì)算出描述系統(tǒng)的相變點(diǎn)和基態(tài)性質(zhì)的物理量如平均光子數(shù),平均基態(tài)能量、兩種自旋激化等物理量的解析表達(dá)式,得到在相變前后物理量變化的趨勢(shì)圖并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較．

自旋和軌道耦合;相變;基態(tài)特性

自旋和軌道耦合是量子粒子的自旋和它的動(dòng)量的一種相互作用,在物理系統(tǒng)中是普遍存在的．在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)系統(tǒng)中,實(shí)驗(yàn)可以精確地控制超冷原子來研究自旋和軌道耦合相互作用量子多體系統(tǒng)．提出了在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)中用中性原子通過控制外場(chǎng)激光場(chǎng)來實(shí)現(xiàn)不同類型的自旋軌道耦合[1]．NIST的I. B. Spellman 小組通過一對(duì)耦合的激光在超冷87Rb原子實(shí)現(xiàn)了Rashba 和Dresselhaus自旋軌道耦合[2].在玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)中,所有的原子都占據(jù)同一個(gè)量子態(tài),因此基態(tài)性質(zhì)具有特殊性,許多不曾發(fā)現(xiàn)過的多體現(xiàn)象有可能發(fā)生．例如,在上述自旋和軌道耦合下,玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)通過調(diào)節(jié)由兩組不同動(dòng)量的非正交原子綴飾自旋態(tài)之間的相互作用,可以實(shí)現(xiàn)從自旋相分離態(tài)(簡(jiǎn)寫為SP)到單個(gè)最小值相(簡(jiǎn)寫為SMP)之間的量子相變[3-5]．潘建偉小組在2012年通過測(cè)量自旋和動(dòng)量振蕩的振幅比從實(shí)驗(yàn)上觀察到了理論所預(yù)測(cè)的量子相變[6]．

在本文中,首先,根據(jù)實(shí)驗(yàn),獲得類似于Dicke模型的哈密頓量．通過改變拉曼耦合強(qiáng)度,系統(tǒng)可以從一個(gè)自旋極化相,發(fā)生了非零準(zhǔn)動(dòng)量SP,與零準(zhǔn)動(dòng)量自旋平衡相SMP的量子相變,類似于在Dicke模型中從超輻射過渡到正常相的量子相變．利用平均場(chǎng)自旋相干態(tài)法,計(jì)算相變點(diǎn),每個(gè)物理量在基態(tài)時(shí)的解析表達(dá)式,并研究物理量的變化趨勢(shì)．

1 冷原子系統(tǒng)中的自旋軌道模型

(1)

在方程(1)中,ψ=(ψ↑,ψ↓)T表示在綴飾態(tài)表象中的一對(duì)正交波函數(shù)．

(2)

(3)

(4)

該系統(tǒng)的性質(zhì)可以用單模Dicke類型哈密頓量來描述,取自然單位?=1,

(5)

2 類似于Dicke模型的量子相變

用平均場(chǎng)理論來求相變的關(guān)鍵點(diǎn),假設(shè)基態(tài)波函數(shù)為[9-11]

|φ〉=|θ〉?|α〉

(6)

這里定義相干態(tài)a|α〉=α|α〉,自旋相干態(tài)定義為

|θ〉=eiθJy|j,-j〉

(7)

對(duì)于自旋為1/2的原子j=N/2和θ∈[0,2π]

對(duì)于原子的平均值

(8)

方程(5)的哈密頓量的基態(tài)能量

(9)

u和v分別是α的實(shí)部和虛部．對(duì)應(yīng)于E(θ,α)的最小值,分別對(duì)u和v求偏微分,并令其為零,可得

(10)

(11)

將(10)式和(11)式代入(9)式得,每個(gè)原子的平均基態(tài)能量變?yōu)?/p>

(12)

對(duì)于E(θ)最小值有

(13)

可得cosθ=0,

(14)

(15)

定義Ωc=γ2-q可得兩個(gè)不同的區(qū)域．

1)Ω>Ωc,平均場(chǎng)能量只有一個(gè)最小值,屬于單個(gè)最小值相SMP區(qū)域．

cosθ=0,sinθ=-1,

(16)

這時(shí),光子數(shù)np=v2=0．

(17)

(18)

2)Ω<Ωc,能量最小值對(duì)應(yīng)于(15)式,對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)可能帶入取得,對(duì)應(yīng)于自旋相分離態(tài)SP范圍．

(19)

對(duì)應(yīng)于凝聚態(tài)會(huì)有兩個(gè)最小值的帶．

(20)

在圖2中當(dāng)有效的自旋軌道耦合強(qiáng)度 (a)γ2=1.8EL(b) γ2=2.6EL是定值時(shí),相變點(diǎn)是一條直線,超輻射相的區(qū)域與原子間相互作用力有關(guān),當(dāng)原子間的相互作用力是排斥力時(shí),即q>0時(shí),區(qū)域?qū)p少,當(dāng)原子間的相互作用力是吸引力即q<0,超輻射的區(qū)域增加,并隨著有效的自旋軌道耦合強(qiáng)度γ2的增大,如圖2(b)相變點(diǎn)向右移．

3 類Dicke模型的基態(tài)性質(zhì)

3.1基態(tài)能量的二階導(dǎo)數(shù)和每個(gè)原子的平均基態(tài)能量

(21)

(22)

在圖3中取γ2=1.8EL(a)可看出基態(tài)能量的分布隨著有效的Rabi頻率Ω的增加而增加．基態(tài)能量隨著有效的原子之間的相互作用q的增大而增大．當(dāng)q>0時(shí)基態(tài)能量較高,當(dāng)q<0,基態(tài)能量較低,在有效的Rabi頻率Ω較大時(shí)基態(tài)能量不受影響．(b)基態(tài)能量的泛函的二階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)區(qū)域內(nèi)都是大于零,說明在這兩個(gè)區(qū)域都是穩(wěn)定態(tài)．

(23)

(24)

在圖4中 取γ2=2.6EL(a)中〈Jx〉/N隨Ω的變化,并且隨著γ2的增大,相變點(diǎn)向右移,特別是在(b)中〈Jz〉/N有兩個(gè)可能值,對(duì)應(yīng)于凝聚態(tài)中的兩個(gè)最小值．

總之,我們將凝聚態(tài)中的自旋和軌道相互作用中的量子相變和標(biāo)準(zhǔn)的Dicke模型中的量子相變相類比,得出了一維自旋和軌道相互作用,特別是考慮原子之間的相互作用時(shí),用平均場(chǎng)理論可得出類似于標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型的量子相變點(diǎn),光子數(shù)分布,基態(tài)能量分布和自旋極化的分布情況,并用圖表示出來,這種方法非常簡(jiǎn)潔明了,這與參考文獻(xiàn)[10]是一致的．當(dāng)然我們還有待于考慮失諧的情況,類似于參考文獻(xiàn)[12]．

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[11] ALVERMANN L,ALVERMANN,FEHSKE A,Quantum H.phase transition in the Dicke model with critical and non-critical entanglement[J].Phys.Rev.A,2012,85:043821

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Dicke-Type Phase Transition in Bose—Einstein Condensate

ZHAO Xiuqin

(Department of Physics,Taiyuan Normal University, Taiyuan 030031, China)

Spin-orbit coupling(SOC) in ultra cold neutral atoms provides the opportunity to study such phenomena in bosonic systems, Here we study the ground state properties of such a system using the field coherent state and show that it can be mapped to the well-known Dike model in quantum optics, which describes the interactions between an ensemble of atoms and an optical field. A central prediction of the Dicke model is a quantum phase transition between a superradiant phase and a normal phase. used the average field spin coherent state method, especially considering the interaction between the atoms, calculated the analytical expressions of the phase transition point and physical quantities which describe ground-state properties of the system such as the average number of photons, the mean energy of the ground state, two spin intensification, obtained the changing figures of physical quantities in the phase transition before and after and the compared with experimental results.

spin-orbit-coupled; phase transition; ground-state properties

2015-07-20

趙秀琴(1966-),女,碩士,太原師范學(xué)院物理系講師,主要從事物理教學(xué)和凝聚態(tài)物理中量子相變的研究．

1672-2027(2015)03-0058-05

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