數(shù)軸上的行程問題及其新的解法

伍興友

將傳統(tǒng)的行程問題和數(shù)軸有機地結(jié)合，既體現(xiàn)了傳統(tǒng)行程問題的特點，又增加了數(shù)軸性質(zhì)在解題中的綜合運用，賦予題目更多的靈性和想象空間。我通過探索和研究得出了數(shù)軸上行程問題一些新的解法和思維方式，現(xiàn)表述如下：數(shù)軸上的行程問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。對于我們初一年級學(xué)生來說，要先明確以下幾個問題：

1.如何用數(shù)軸上兩個點的坐標(biāo)表示兩點間的距離，數(shù)軸上的兩個點總有一個在左，一個在右，用右邊的點的坐標(biāo)減去左邊點的坐標(biāo)就可以表示這兩點間的距離了，也可以用左邊的點的坐標(biāo)減去右邊的點的坐標(biāo)的絕對值來表示。

2.如何表示數(shù)軸上的點運動一段距離后的坐標(biāo)。由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動b個單位看作+b，而向左運動b個單位看著-b。這樣在起點坐標(biāo)的基礎(chǔ)上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標(biāo)。如，一個起始點的坐標(biāo)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為a-b；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。

3.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。

數(shù)軸上的問題：

例：已知數(shù)軸上有C，D兩點，它們的坐標(biāo)分別是-12和8。它們同時出發(fā)，C點以每秒2個單位的速度向右運動，D點則以每秒4個單位的速度向右運動。問多少秒后在什么坐標(biāo)位置D點追上C點？

按傳統(tǒng)解法是：

解：設(shè)x秒后D點追上C點，根據(jù)D點運行的路程=C點運行的路程+D與C相距的路程?？闪蟹匠倘缦拢?/p>

4x=2x+（8+12）

解得：x=10（秒）。

再把x=10代入方程的左邊，可知D點運動了40個單位，記著-40，由D點的起始坐標(biāo)是8，依據(jù)8+（-40）=-32可以推出D點在-32的位置追上C點。

按新的解法，其解題思路是：D點追上C點時它們處在同一位置，而且坐標(biāo)相同，可以依據(jù)這一特點列出方程求解。

其解題過程如下：

解：設(shè)x秒后D點追上C點，則D點走的路程為4x，由D點的起始坐標(biāo)8可以推出D點到達的位置坐標(biāo)是8-4x。

則C點走的路程為2x，由C點的起始坐標(biāo)-12可以推出C點到達的位置坐標(biāo)是-12-2x。

依據(jù)D點追上C點時處在同一位置，坐標(biāo)相同的特點可列方程如下：

8-4x=-12-2x

解得；x=10（秒）

把x=10秒代入方程的左邊或者右邊，便可以推出D的在坐標(biāo)為-32的地方追上C點。

以上新的解題方法是傳統(tǒng)的行程問題解題中所不具有的。它將行程問題和數(shù)軸有機地結(jié)合在一起，既體現(xiàn)了傳統(tǒng)行程問題的特點，又增加了數(shù)軸的性質(zhì)的綜合運用，賦予了題目新的靈性，給予學(xué)生更多的思考空間。

編輯 韓 曉