行列式的計算

李蕾

摘 要：行列式的計算是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基石，是求解線性方程組，求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎(chǔ)，但行列式的計算方法很多，綜合性較強，這樣就需要我們多觀察多總結(jié)，便于能熟練的計算行列式的值。教材上對于行列式的計算只是零散的講解了一部分，下面我將對行列式的計算做部分的總結(jié)。

關(guān)鍵詞：行列式 計算 高等數(shù)學(xué) 基石

中圖分類號：O13 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0135-03

行列式的計算是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基石，是求解線性方程組，求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎(chǔ)，但行列式的計算方法很多，綜合性較強，這樣就需要我們多觀察總結(jié)，便于能熟練地計算行列式的值。教材上對于行列式的計算只是零散的講解了一部分，下面我將對行列式的計算做部分的總結(jié)。

1 行列式的定義

2 行列式的性質(zhì)

（1）行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等，DT=D，

即

（2）交換行列式的兩行（列），行列式改變符號，

即

推論：有兩行（列）相同的行列式為0。

（3）行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)k，就相當(dāng)于用k乘此行列式，

即

由（3）得有兩行（列）成比例的行列式為0。

（4）如果行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，

即

（5）行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變，

即

（6）n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其相對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin（按第i行展開）或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（按第j列展開）

3 特殊行列式

3.1 上（下）三角行列式

3.2 對角行列式

3.3 關(guān)于副對角線的行列式

3.4 范德蒙行列式

3.5 拉普拉斯定理的兩個特殊情形

（1）

（2）

4 行列式的計算

4.1 定義法

N階行列數(shù)D=等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，

即D==

4.2 化三角形行列式法

利用行列式的性質(zhì)，把行列式化為上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的結(jié)論，可得到相應(yīng)行列式的值。

4.3 拆分法

把某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形成，再利用行列式性質(zhì)將原行列式寫成兩個行列式的和，把問題簡化以利于計算。

4.4 降階法

將行列式的展開定理與行列式性質(zhì)結(jié)合使用，即先利用性質(zhì)將行列式的某一行（或某一列）化成僅含一個非零元素，然后按此行（列）展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式直接計算出結(jié)果。

4.5 升階法

在原行列式的基礎(chǔ)上添行加列使其升階構(gòu)成一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。

4.6 數(shù)學(xué)歸納法

利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想值的嚴格證明。這里采用第二型數(shù)學(xué)歸納法較多。

計算n階行列式

解：（1）解法1：三角形法。

將各列都加到第1列，并提取公因子，得：

（2）解法2：加邊法（升階法）。

（3）解法3：遞推法。

（4）解法4：析因法。令

顯然f（2a）=0，f（-（n-2）a）=0（各列之和為0），故x-2a，x+（n-2）a是f（x）的一次因式

又

同理可得：

（5）解法5：拆行（列）法。

（6）解法6：數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)n=2時，

D2=

當(dāng)n=3時，

D3=

猜想：Dn=（x-2a）n-1[x+（n+2）a]用數(shù)學(xué)歸納法證明。設(shè)Dn-1成立，即有Dn-1=（x-2a）（n-1）-1[x+（n-1-2）a]，則

由假設(shè)Dn=a（x-2a）n-1+（x-2a）（x-2a）n-2[x+（n-3）a]=（x-2a）n-1[a+x+（n-3）a]

=（x-2a）n-1[x+（n-2）a]

因此對任意自然數(shù)n都有Dn=（x-2a）n-1[x+（n-2）a]

由上述的例子，可以看出，行列式的計算，往往由于方法的不同，難易繁簡差別程度大，欲使計算過程簡單明了，要善于選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ莆找欢ǖ募记?。對這些技巧進行探討歸納，不僅有課程建設(shè)的現(xiàn)實意義，而且有深刻的理論意義。本文，對于行列式的計算也只是總結(jié)了一部分，還有很多行列式的計算方法和技巧需要我們探討和歸納。

參考文獻

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