Matlab軟件支持下的GPS基線向量網(wǎng)三維約束平差

王忠禮，顧劉丹，2

（1.吉林建筑大學測繪與勘查工程學院，吉林長春130118；2.云南省設計院集團勘察分院，云南昆明650228）

Matlab軟件支持下的GPS基線向量網(wǎng)三維約束平差

王忠禮1，顧劉丹1，2

（1.吉林建筑大學測繪與勘查工程學院，吉林長春130118；2.云南省設計院集團勘察分院，云南昆明650228）

本文在對GPS基線向量網(wǎng)三維約束平差的數(shù)學模型進行詳細引述及推導的基礎上，結合某實際工程案例，利用Matlab強大的矩陣計算功能對基線向量網(wǎng)的三維約束平差進行了計算，解算結果與中海達HDS2003版商用軟件相比較結果一致。本文可以為GPS數(shù)據(jù)處理人員以及相關專業(yè)的大中專在校學生對該內(nèi)容的理解與掌握提供一定的借鑒與幫助。

GPS；基線向量網(wǎng)；三維約束平差；Matlab

0 引 言

目前國家重大基礎設施建設如高速鐵路、高速公路等工程控制網(wǎng)的敷設基本都已經(jīng)采用靜態(tài)GPS觀測作為主要的定位觀測技術。GPS觀測技術主要包括控制網(wǎng)設計、外業(yè)實施以及內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理等。而GPS內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理主要包括基線解算、基線向量網(wǎng)檢核以及基線網(wǎng)的平差等過程。用戶在采用隨機軟件進行基線解算并檢驗合格之后，可以繼續(xù)采用隨機軟件或是其他的精密GPS軟件（如美國MIT的GAMMIT，美國JPL的GIPSY，瑞士的BERNESE及德國的EPOS等）或?qū)ｉT的GPS網(wǎng)平差軟件（如武漢大學研制的CosaGPS）進行基線向量網(wǎng)的平差工作。目前大部分GPS用戶都采用商用的隨機GPS處理軟件進行基線解算、檢核及后續(xù)平差處理等[1］，然而商用的GPS網(wǎng)平差軟件所采用的平差模型以及內(nèi)部的數(shù)據(jù)處理過程往往不是用戶能夠及時、準確了解的，這在某些特定的應用（如高精度變形監(jiān)測）上為負責數(shù)據(jù)處理的測繪人員對網(wǎng)平差所采用的數(shù)學模型以及數(shù)據(jù)處理的具體流程上帶來了相應的擔憂，再者，全國目前已經(jīng)有若干高校開設了測繪工程及GIS、遙感等相關的專業(yè)，而GPS測量原理及應用一般都是這幾個專業(yè)的一門主要課程。作者經(jīng)過幾年的授課及調(diào)查發(fā)現(xiàn)很多本科生對GPS內(nèi)部數(shù)據(jù)處理的數(shù)學模型并不了解，這大大阻礙了學生對GPS數(shù)據(jù)處理理論與方法的掌握，因此，本文在對基線向量網(wǎng)的三維約束平差進行較為詳盡的引述和推導的基礎上，采用強大的計算軟件平臺Matlab7對GPS基線網(wǎng)的三維約束平差進行了算法的設計與實現(xiàn)。并采用某特定的工程為案例，以控制點的國家80坐標系的坐標作為約束條件，進行了平差的計算處理。以期為GPS數(shù)據(jù)處理的測繪人員提供相應的借鑒，為測繪及3S類專業(yè)的大中專學生提供相應的的GPS網(wǎng)平差模型的理解與掌握方面的幫助。

1 GPS基線向量網(wǎng)的三維約束平差數(shù)學模型

GPS基線向量網(wǎng)的三維約束平差可以在國家坐標系或地方獨立坐標系中進行。約束條件可以是地面控制點的固定坐標，固定大地方位角和固定空間弦長，平差結束之后同時也進行了WGS－84坐標系到地面坐標系之間的轉(zhuǎn)換[1］。對GPS控制網(wǎng)進行三維約束平差時，可以取GPS點的空間直角坐標為未知參數(shù)，也可以取大地坐標作為未知參數(shù)，取空間直角坐標作為未知參數(shù)的優(yōu)點是誤差方程的形式較為簡單，便于進行后續(xù)的分析與討論[3，4］.

GPS基線向量由84坐標向國家或地方坐標的轉(zhuǎn)換往往采用布爾莎轉(zhuǎn)換模型，其數(shù)學模型為

式中：ΔXijG為GPS基線向量；ΔXijD為轉(zhuǎn)換到國家坐標或地方坐標的基線向量；k為尺度轉(zhuǎn)換參數(shù)；εx，εy，εz為旋轉(zhuǎn)參數(shù)[1］。

1.1 誤差方程式的推導

布爾莎公式：

其中，

為簡化計算，當k，εx，εy，εz為微小量時，忽略互乘項，且cosε≈1，sinε≈ε，則

則：

因為k為微小量，忽略上式中第2項中的k，則：

上式中的第2項可以進一步變換為

則布爾莎公式最終可以寫為

為了導出GPS基線向量的誤差方程，需要進行簡單的變換：

代入上式得到誤差方程式為

則對于每一條基線向量的誤差方程式可以寫成

對于有m條基線向量，n個控制點（已知點也包含在內(nèi)），l個已知點的GPS控制網(wǎng)來說，總的誤差方程式寫為

V＝BdX－L，權陣為P.（13）

經(jīng)過上面的誤差方程式推導，對于控制網(wǎng)中的已知點，方程中的坐標近似值和坐標改正數(shù)分別取已知坐標值的空間直角坐標和零值，對于控制網(wǎng)中的非已知點，坐標近似值代入該點的GPS坐標的平均值。

1.2 約束條件方程

GPS網(wǎng)的三維約束平差可以采用地面已知固定點坐標、固定大地方位角以及固定空間弦長等作為約束條件[1，4，6］。由于實際工程中往往地面已知固定點坐標條件容易獲得，因此本文采用坐標條件進行三維約束平差。因為收集的已知坐標往往是國家或地方坐標系的大地坐標與大地高的形式，因此需要采用空間直角坐標與大地坐標的微分關系式[1］：

上式取微分并加以整理得[4］：

若該點的大地高已知，則另外有約束條件：

將該已知點約束條件寫成矩陣的形式：

若GPS網(wǎng)中有l(wèi)個已知控制點，則總的約束方程為

若采用已知點的空間直角坐標形式作為約束條件，則某已知點的約束條件方程為

1.3 法方程的組成與解算[5－6］

采用GPS點的空間直角坐標為未知參數(shù)，理論上是附有條件的間接平差.

法方程的組成及解算實質(zhì)是附有約束條件的間接平差方法[4］。誤差方程為：

約束條件方程

組成法方程：

其中：

K為聯(lián)系數(shù)，令則：

則根據(jù)式（25）可以解算出包含各未知點空間直角坐標改正數(shù)及轉(zhuǎn)換參數(shù)在內(nèi)的未知參數(shù).

2 某工程GPS基線向量網(wǎng)三維約束平差案例分析

在某市周邊收集到國家80坐標系D級GPS控制點3個，采用3臺套中海達GPS進行了兩個同步觀測圖形的靜態(tài)觀測，采用隨機GPS后處理軟件進行了基線解算，并分別進行了同步觀測圖形閉合差、異步圖形閉合差等指標的檢驗，各項指標均符合《全球定位系統(tǒng)（GPS）測量規(guī)范》GB2009的要求。觀測圖形如圖1所示，基線向量、方差－協(xié)方差陣如表1所示，待定點近似坐標表2所示，已知點坐標略。

圖1 GPS網(wǎng)型分布圖

表1 基線向量及其方差－協(xié)方差陣

表2 GPS待定點概略坐標

表3 Matlab與中海達HDS2003軟件包平差結果比較

采用Matlab軟件編寫了相應的處理函數(shù)，對GPS基線向量、已知點坐標、待定點近似坐標進行讀取，組成法方程系數(shù)矩陣、常數(shù)項矩陣，根據(jù)P＝·D－1（取0.005，D為基線向量的協(xié)方差陣）組成權陣，根據(jù)已知點的空間直角坐標組成約束條件方程系數(shù)陣，最終按照三維約束平差的法方程數(shù)學模型對待定點的空間直角坐標及坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)進行了解算.解算結果與中海達隨機后處理軟件HDS2003全球版進行了結果比較，如表3所示，二者的解算結果一致.

3 結束語

本文對GPS基線向量網(wǎng)的三維約束平差的數(shù)學模型進行了較為詳細的推導，根據(jù)某實際工程案例采用Matlab軟件平臺進行了基線向量網(wǎng)的三維約束平差計算，給出了具體的計算案例，并對平差的結果與隨機的商用GPS后處理軟件計算的結果進行了對比，結果表明：采用Matlab進行基線向量網(wǎng)的約束平差有利于對約束平差數(shù)學模型的掌握與理解，利于某些特定應用的GPS數(shù)據(jù)處理人員對平差流程與結果提供更可靠的把握。

[1]徐紹銓，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用[M］.武漢：武漢大學出版社，2008：162－168.

[2]武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M］.武漢：武漢大學出版社，2009：146－157.

[3]白征東，劉大杰.GPS網(wǎng)3維平差軟件的編程方法[J］.測繪通報，1999（12）：30－33.

[4]趙長勝，高剛毅，李廣杰，等.GPS基線向量網(wǎng)在空間大地直角坐標系下的三維約束平差[J］.測繪工程，1998，7（4）：22－26.

[5]劉大杰，劉經(jīng)南，劉國輝，等.GPS與地面測量數(shù)據(jù)的三維聯(lián)合平差[J］.測繪學報，1994，23（1）：14－22.

[6]李征航，黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理[M］.武漢：武漢大學出版社，2005：262－264.

[7]劉靖曄.分析幾種常用的GPS數(shù)據(jù)處理軟件[J］.全球定位系統(tǒng)，2013，38（3）：87－89.

[8]王 攀，劉 立.GAMIT在數(shù)據(jù)處理中若干問題探討[J］.全球定位系統(tǒng)，2013，38（3）：84－86.

The Tri－Dimentional Constrainted Adjustment for GPS Baselines Vector Network Based on MATLAB Software Platform

WANG Zhongli1，GU Liudan1，2
（1.Jilin Jianzhu University，School of Geometrics and Prospecting Engineering，Changchun130118，China；2.Yunnan Design Institute Group，Kunming650228，China）

Nowdays，most GPS data processing personnel using commercial GPS software or sophisticated scientific software for baseline vector solution in control network.However because of surveying and mapping techicians’inadequate grasp about the mathematical model and underlying technologies in GPS software，there are some obstacles in high accuracy requirements of certain applications using GPS technology.After the three－dimensional mathematical models for baseline vector network is quoted and derived in detail，this thesis combined with a practical engineering cases and in the use of Matlab powerful matrix calculation function carried out 3Dconstrained adjustment calculations for GPS baseline vector network.Solver results obtained through Matlab compared to those obtained by HDS2003commercial software are consistant.This paper provide a reference and help for GPS data processors and related professional college students having a better understanding and mastery for GPS network adjustment.

GPS；Baseline vector network；tri－dimensional constraint adjustment；Matlab

P228.4

A

1008－9268（2015）01－0032－05

10.13442/j.gnss.1008－9268.2015.01.007

王忠禮（1978－），男，吉林長春人，講師，博士生，主要從事GPS數(shù)據(jù)處理、空間分析與資源環(huán)境遙感等。

顧劉丹（1990－），男，云南曲靖人，助理工程師，目前主要從事工程測量工作。

2014－07－31

2012年度“吉林省高等學校大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃”項目；住房和城鄉(xiāng)建設部2014年科學技術項目計劃項目（編號：2014－K8－063）；2015年吉林省教育廳"十二五"科學技術研究規(guī)劃項目

聯(lián)系人：王忠禮E－mail：wangzhongli＠jlju.edu.cn