基于重心基準的平面坐標轉(zhuǎn)換

范方標

（深圳市巖土綜合勘察設(shè)計有限公司，廣東深圳518100）

基于重心基準的平面坐標轉(zhuǎn)換

范方標

（深圳市巖土綜合勘察設(shè)計有限公司，廣東深圳518100）

在工程測量領(lǐng)域，實現(xiàn)新舊坐標系之間的順利轉(zhuǎn)換是充分利用以前測繪成果的關(guān)鍵，是繪制各種比例尺地圖的基礎(chǔ)。本文以平面坐標轉(zhuǎn)換為例，介紹平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型，并根據(jù)實際生產(chǎn)實踐分析該模型中存在的病態(tài)現(xiàn)象，據(jù)此提出一種重心基準的平面坐標轉(zhuǎn)換模型，同時將這兩種模型進行對比分析，提出了修正平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型的方法，并通過工程實例分析轉(zhuǎn)換結(jié)果和精度。

坐標轉(zhuǎn)換；重心；參數(shù)；矩陣

0 引 言

我國大地坐標系主要有北京54坐標和西安80坐標系，后者只對一等點和二等點進行布測，因此對三、四等點的布測只能利用北京54坐標。然而在實際測繪工程中，當需要對三、四等點進行布測時，要將西安80坐標轉(zhuǎn)換為北京54坐標，因此選擇正確的轉(zhuǎn)換模型是保證轉(zhuǎn)換可靠性的基礎(chǔ)，關(guān)系到測量結(jié)果的精確性。

1 坐標轉(zhuǎn)換概述

坐標轉(zhuǎn)換包括參心坐標轉(zhuǎn)換、不同地心坐標轉(zhuǎn)換，參心坐標與地心坐標之間的轉(zhuǎn)換、相同坐標系的直角坐標與大地坐標轉(zhuǎn)換、大地坐標與高斯平面坐標轉(zhuǎn)換等[1］。對二維坐標系轉(zhuǎn)換來說：如果空間中的兩個直角坐標系原點相同，在經(jīng)過三次旋轉(zhuǎn)后，可實現(xiàn)兩個坐標系的重合；若兩個坐標系的原點處于不同位置，那么通過坐標軸的平移和旋轉(zhuǎn)可實現(xiàn)兩個坐標系的重合；若兩個坐標系之間還存在尺度的不同，那么則需要進行尺度縮放。因此二維坐標系的轉(zhuǎn)換參數(shù)包括平移、旋轉(zhuǎn)、尺度等。

由于轉(zhuǎn)換模型非常嚴密，故而在實際生產(chǎn)實踐中，利用數(shù)學轉(zhuǎn)換模型轉(zhuǎn)換北京54、西安80、WGS－84等坐標系而得到的結(jié)果與實際存在較大差異。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是：由于自由網(wǎng)平差缺少起算數(shù)據(jù)，因此往往通過附加條件、約束條件解決平差基準問題。通過對比分析坐標轉(zhuǎn)換模型和重心基準條件方程發(fā)現(xiàn)，二者在形式上非常類似。因此，如何將重心基準條件應用到坐標轉(zhuǎn)換中，是生產(chǎn)實踐中需要重點解決的課題。

2 轉(zhuǎn)換矩陣狀態(tài)

現(xiàn)假設(shè)某點在原坐標系下的坐標為（x1，y1），對應到新坐標系下的坐標為（X，Y），而原坐標系的原點對應到新坐標系的坐標為（x0，y0），同時原坐標系與新坐標系的軸夾角為α，尺度參數(shù)為m，因此轉(zhuǎn)換模型為

X＝x0＋x1mcos a－y1msin a，

Y＝y(tǒng)0＋y1mcos a＋x1msin a.（1）

為簡化矩陣的形式，現(xiàn)假設(shè)x0＝a，y0＝b，mcosα＝c，msinα＝d，則

X＝a＋x1c－y1d，

Y＝b＋y1c＋x1d.（2）

可將轉(zhuǎn)換模型寫成矩陣形式

式中：a、b表示平移參數(shù)；c、d 表示縮放參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)綜合作用下的參數(shù)，而要想解出這4個未知參數(shù)，至少需要這兩個坐標系的2個公共點。假設(shè)這兩個坐標系中有k（k＞2）的公共點，那么從前面的矩陣中可以得出2k個誤差方程，利用最小二乘原理求解4個轉(zhuǎn)換參數(shù)。現(xiàn)假設(shè)：

寫成

AX＝L＋V，（4）

式中：A表示系數(shù)矩陣；X表示需要求解的未知參數(shù)；V表示新坐標系坐標的改正數(shù)?？梢钥闯?；A為列滿軼，根據(jù)VTPV＝min原則可求解出未知參數(shù)為

X＝（ATPA）－1ATPL＝N－1W，（5）

式中：

W＝ATPL；N為四階滿軼正定矩陣；P為一般單位矩陣，則計算出來的未知參數(shù)是唯一的；但是假如N是病態(tài)的，則解出的未知參數(shù)不可靠。

在實際工作中，平面直角坐標值x、y比較大，當以m為單位時，一般有6～7位數(shù)；而在系列矩陣A中，其他元素為0或1，因此當（x1，y1）的絕對值較大時，其列向量的長度差別非常大，使得A的矩陣條件數(shù)過大，進而使得N條件數(shù)更大，這時候的矩陣呈現(xiàn)出病態(tài)現(xiàn)象，解出的未知參數(shù)不準確，平面坐標轉(zhuǎn)換不可靠。而在病態(tài)的矩陣中，即使是非常微小的擾動，都可能產(chǎn)生較大的誤差，最終導致得出的參數(shù)不準確，使得兩個坐標系難以通過旋轉(zhuǎn)、位移、縮放等重合到一起[2］。

3 重心基準轉(zhuǎn)換模型分析

基于重心基準的平面坐標轉(zhuǎn)換矩陣為ST：

矩陣中，（x0i，y0i）表示近似坐標，其具體的計算條件為

在這個計算條件中：前面兩個說的是兩個坐標系的重心坐標不變；第三個說的是重心到其他各點的帶權(quán)向徑方位角平均數(shù)不變，這里的權(quán)是重心到各點距離的平方；第四個說的是重心到其他各點的帶權(quán)向徑長度的平均值不變。從這四個條件中可看出，該平面坐標的轉(zhuǎn)換模型是以重心為基準的，將重心作為不變量，因此中心是固定的。

將這個重心基準的轉(zhuǎn)換矩陣與前文得到的坐標轉(zhuǎn)換矩陣對比分析發(fā)現(xiàn)，二者的區(qū)別僅在于行向量順序的變化。如果不考慮轉(zhuǎn)換模型參數(shù)的物理性質(zhì)，那么這兩個矩陣在形式上是一致的。

在前文提到的矩陣之所以造成轉(zhuǎn)換不準確是因為：在實際工作中，x和y的取值整數(shù)位數(shù)在6～7位之間，而坐標之間的平移參數(shù)整數(shù)位數(shù)只有2～3位，因此平移量非常微小，容易被人忽視。同時，平移參數(shù)對應的公共點數(shù)量非常少，與旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)對應的公共點相差甚遠。研究表明：重心基準坐標轉(zhuǎn)換模型在平差前后，其新坐標系和原坐標系的重心都沒有任何變化，只不過平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型公共點轉(zhuǎn)換前后的平均值之間相差一個常數(shù)，即平移參數(shù)[3］。因此，平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型解決的主要問題還是基準問題。

從上述平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型出現(xiàn)病態(tài)的原因來分析，解決病態(tài)的根本方法是消除掉平移參數(shù)。由于在坐標系的某一個特定區(qū)域中，轉(zhuǎn)換前后的公共點重心與相對位置保持不變，因此可以建立約束條件：

通過方程的聯(lián)合求解，消除其中的平移參數(shù)（a、b），這樣平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型中就只有公共點的坐標向量。此時，根據(jù)約束條件判斷該模型是否處于良態(tài)，進而求解出縮放和旋轉(zhuǎn)綜合作用下的c、d兩個參數(shù)，從而實現(xiàn)兩個坐標系的可靠轉(zhuǎn)換。

在當前的測繪領(lǐng)域，坐標轉(zhuǎn)換多采用平面直角坐標轉(zhuǎn)換模型，又被稱為平面四參數(shù)模型，通過求解出a、b、c、d這四個未知參數(shù)，實現(xiàn)兩個坐標系的順利轉(zhuǎn)換重疊。而本文提出的重心基準平面坐標轉(zhuǎn)換模型將重心作為固定的不變量，通過約束條件對平面四參數(shù)模型進行相應的修正，消除a、b兩個參數(shù)，使得轉(zhuǎn)換模型處于良態(tài)，保證轉(zhuǎn)換結(jié)果的精確度，確保工程測量工作的順利開展[4］。

4 實例計算

某地測繪的數(shù)據(jù)原先采用的是BJ－54坐標系，將數(shù)據(jù)成果轉(zhuǎn)換為80坐標系，規(guī)定比例尺為1∶10 000，精度達到1m以上。具體的轉(zhuǎn)換計算可以參考下表，表1示出了以六個公共點為基準，進行參數(shù)成果轉(zhuǎn)換的結(jié)果。

表1 原始數(shù)據(jù)

根據(jù)式（3）和式（5）采用最小二乘法計算；根據(jù)式（3）、式（8）、式（5），利用附加重心基準對平移參數(shù)予以消去，進而計算。結(jié)果如表2所示。

表2 矩陣條件數(shù)和轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果

由表2可知，根據(jù)最小二乘方法進行計算，設(shè)計矩陣條件參數(shù)很大，該矩陣嚴重病態(tài)，根據(jù)式（2）計算出尺度系數(shù)，得到：m＝8 134.9＞1，說明BJ－54的坐標和80坐標之間的尺度變化率較小。而通過第二種方案進行計算，設(shè)計矩陣與方程條件數(shù)均為1，屬于良態(tài)矩陣，能夠予以求逆計算，得到旋轉(zhuǎn)參數(shù)之后，就可以對公共點轉(zhuǎn)換殘差予以計算，得到最大點位誤差是0.388m，滿足應用需求。

除此之外，從數(shù)據(jù)精化需求角度而言，其整體殘差較大，特別是第3、第6點位，誤差超過了0.3 m，此兩點間可能存在粗差，需要予以剔除，重新計算殘差，利用剔除較大殘差后計算的轉(zhuǎn)換參數(shù)進行轉(zhuǎn)換精度。

5 結(jié)束語

隨著測繪行業(yè)的發(fā)展，社會生活中的平面坐標轉(zhuǎn)換將會越來越多，研究平面坐標轉(zhuǎn)換模型將成為該領(lǐng)域重要發(fā)展方向。利用經(jīng)典最小二乘理論計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)在理論非常嚴密，但是設(shè)計矩陣的病態(tài)情況對解算結(jié)果有著一定的影響。通過對設(shè)計矩陣病態(tài)的分析，根據(jù)經(jīng)典秩虧自由網(wǎng)平差，對比其前后重心的相對性，合理解釋設(shè)計矩陣病態(tài)消除的附加條件，保證結(jié)果的可靠性。對此，本文通過對平面四參量轉(zhuǎn)換模型病態(tài)的分析，利用重心基準平面坐標轉(zhuǎn)換模型對病態(tài)進行修正，通過增加約束條件以消除a、b參數(shù)，從而確保坐標轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換的可靠性。

[1]韋 鋮，馬文雙，李明君，等.工程測量中平面坐標轉(zhuǎn)換軟件設(shè)計及應用[J］.測繪工程，2013，22（4）：76－79.

[2]陳紹杰，秦永洋，孫興平，等.顧橋礦區(qū)GPS基準網(wǎng)高程系統(tǒng)轉(zhuǎn)換研究[J］.測繪，2010，33（1）：34－38.

[3]彭愛文，曹佩瑤.平面坐標轉(zhuǎn)換方法探討及轉(zhuǎn)換軟件的設(shè)計思路[J］.測繪與空間地理信息，2007，30（3）：189－191.

[4]劉陶勝，黃聲享，羅 力，等.基于重心基準的平面坐標轉(zhuǎn)換研究[J］.大地測量與地球動力學，2011，31（2）：102－106.

On Plane Coordinate Transformation Based on Center of Gravity Datum

FAN Fangbiao
（Shenzhen Integrated Geological Exoloration ＆Design Co.Led，Shenzhen518100，China）

in the field of engineering measurement，to achieve a smooth transition between the old and the new coordinate system is to make full use of the key before the surveying and mapping results，is the basis for mapping various scale map.This paper takes the plane coordinate transformation as an example，introduces the plane right angle coordinate transformation model，and according to the analysis of morbid phenomena exist in the model of the actual production practice，plane coordinate transformation model proposes a benchmark，at the same time，by a comparative analysis of these two kinds of models，and put forward the method of correcting plane right angle coordinate transformation model，and through the the analysis of engineering example the conversion results and precision.

Coordinate transformation；center of gravity；parameters；matrix

P226.3

A

1008－9268（2015）01－0079－04

10.13442/j.gnss.1008－9268.2015.01.018

范方標（1978－），男，工程師，研究方向為GPS技術(shù)。

2014－06－10

聯(lián)系人：范方標E－mail：1330843245＠qq.com