Helmert分類(lèi)定權(quán)法在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用

吳 偉，李 浩，孫傳勝，張國(guó)發(fā)

（1.中國(guó)電建集團(tuán) 貴陽(yáng)勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，貴州 貴陽(yáng) 550081）

Helmert分類(lèi)定權(quán)法在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用

吳 偉1，李 浩1，孫傳勝1，張國(guó)發(fā)1

（1.中國(guó)電建集團(tuán) 貴陽(yáng)勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，貴州 貴陽(yáng) 550081）

針對(duì)傳統(tǒng)定權(quán)方法不能較好地顧及地形起伏對(duì)高差觀測(cè)誤差的影響這一問(wèn)題，把整網(wǎng)水準(zhǔn)觀測(cè)值分為按測(cè)站及距離定權(quán)，將Helmert方差分量估計(jì)方法應(yīng)用于高差觀測(cè)值實(shí)測(cè)精度的水準(zhǔn)網(wǎng)分類(lèi)定權(quán)中，該方法能較合理地根據(jù)地形情況確定初始權(quán)陣、提高初始權(quán)精度、反映高程監(jiān)測(cè)網(wǎng)的實(shí)際狀況。結(jié)合算例，對(duì)該方法定權(quán)及平差效果進(jìn)行了分析。

分類(lèi)定權(quán)；偶然中誤差；方差一致性檢驗(yàn)；Helmert方差分量估計(jì)

在水利水電工程中，精密水準(zhǔn)測(cè)量已成為保障施工質(zhì)量、監(jiān)測(cè)外部變形的重要手段，如何獲得高精度的平差結(jié)果以及合理的水準(zhǔn)測(cè)量精度成為水準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵問(wèn)題[1]。通常情況下，對(duì)高程監(jiān)測(cè)網(wǎng)進(jìn)行整體平差，要么整網(wǎng)按測(cè)站數(shù)定權(quán)，要么整網(wǎng)按水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度定權(quán)，忽略了測(cè)段間地理環(huán)境的差異。水電工程大多處于深山峽谷地帶，測(cè)區(qū)環(huán)境復(fù)雜、落差大，不同區(qū)域每km或每測(cè)站的高差觀測(cè)精度都可能有較大的差異[2]，因此有必要對(duì)高差觀測(cè)值的權(quán)值按地域差異及觀測(cè)值類(lèi)型分類(lèi)考慮[3]。在處理不同類(lèi)觀測(cè)值或不同精度觀測(cè)值權(quán)比確定不準(zhǔn)的問(wèn)題時(shí)，常用Helmert方差分量估計(jì)方法，它通過(guò)驗(yàn)后方差協(xié)方差進(jìn)行重新定權(quán)，不斷調(diào)整各類(lèi)觀測(cè)值的權(quán)比，直至結(jié)果收斂[4]。

1 分類(lèi)定權(quán)方法

水準(zhǔn)測(cè)量的主要誤差有視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行的誤差、水準(zhǔn)尺分劃誤差、水準(zhǔn)尺傾斜誤差、調(diào)焦誤差、日照及風(fēng)力引起的誤差、精平誤差和水準(zhǔn)儀及水準(zhǔn)尺下沉誤差等。顯然，在水準(zhǔn)測(cè)量的每個(gè)測(cè)站都有可能引入這些誤差，且隨著視距的拉長(zhǎng)，觀測(cè)誤差會(huì)增大。因此，高差測(cè)量的中誤差可表示為測(cè)站數(shù)N和水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度S的增函數(shù)[3]：

式中，f表示某一統(tǒng)計(jì)函數(shù)關(guān)系。

定義統(tǒng)計(jì)量K0：

式中，N總為總測(cè)站數(shù)；S總為總路線長(zhǎng)度（km）。同理，對(duì)于任意第i測(cè)段有統(tǒng)計(jì)量Ki：

K0為整體地形因子，對(duì)一個(gè)特定的水準(zhǔn)網(wǎng)，它能反映水準(zhǔn)測(cè)區(qū)的整體起伏狀況；Ki為第i測(cè)段的局部地形因子，它能反映單個(gè)測(cè)段的起伏狀況。

對(duì)于任意測(cè)段i、j，若Ki＜K0，按水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度定權(quán)，即若Kj≥K0，按測(cè)站數(shù)定權(quán)，即

設(shè)水準(zhǔn)測(cè)量中第i測(cè)段的往、返測(cè)高差是獨(dú)立等精度的，權(quán)均為Pi，往測(cè)高差為hi'，返測(cè)高差為hi"，往返測(cè)高差較差為di，則有[5]：

由此可得，高差較差的中誤差md為：

式中，n為測(cè)段數(shù)。由式（7），按誤差傳播定律求得單程（往測(cè)或返測(cè)）水準(zhǔn)測(cè)量的高差中誤差m0為：

同理可得，往返測(cè)高差中數(shù)的偶然中誤差m0'為：

式中，Pi取值不同，m0'的意義不同。若側(cè)重考慮路線長(zhǎng)度對(duì)高差觀測(cè)誤差的影響，則可取權(quán)Pi=1/Si。代入式（10），可得水準(zhǔn)測(cè)量每km高差中數(shù)的偶然中誤差

若關(guān)心測(cè)站數(shù)對(duì)高差觀測(cè)精度的影響，則取Pi=1/Ni，代入式（10），可得水準(zhǔn)測(cè)量每測(cè)站高差中數(shù)的偶然中誤差

2 Helmert方差分量估計(jì)方法

利用預(yù)平差的改正數(shù)V，按驗(yàn)后估計(jì)各類(lèi)觀測(cè)量驗(yàn)前方差的方法，m類(lèi)觀測(cè)值的Helmert估計(jì)公式為[6]：

式中，

其解為：

Helmert方差分量估計(jì)的迭代計(jì)算步驟如下：

1）將觀測(cè)值按等級(jí)或來(lái)源分類(lèi)，并進(jìn)行驗(yàn)前權(quán)估計(jì)，即確定各類(lèi)觀測(cè)值的權(quán)初值P1，P2，…，Pm。

3）進(jìn)行第一次方差分量估計(jì)，求得各類(lèi)觀測(cè)值單位權(quán)方差的第一次估值再依式（15）定權(quán)：

3 方差一致性檢驗(yàn)

對(duì)平差模型的正確性檢驗(yàn)，常用的方法是進(jìn)行方差一致性檢驗(yàn)，又稱(chēng)整體檢驗(yàn)法。平差系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型，觀測(cè)值的權(quán)決定了平差系統(tǒng)的隨機(jī)模型，進(jìn)而影響整個(gè)平差結(jié)果。如果隨機(jī)模型誤差的數(shù)量級(jí)不超過(guò)最大的偶然誤差，則認(rèn)為平差模型是可靠的，定權(quán)方法是合理的[3]。然而對(duì)于同一個(gè)控制網(wǎng)的平差，或許有多種定權(quán)方法可供選擇，但每種方法都有一定的適用范圍，不能一勞永逸，因此需要建立判定定權(quán)方法正確性的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

理論上，不論參數(shù)平差模型還是條件平差模型，都有如下統(tǒng)計(jì)量[6,7]：

當(dāng)取顯著水平為a時(shí)，接受域?yàn)椋?/p>

若統(tǒng)計(jì)量x2落在了接受域D內(nèi)，則接受原假設(shè)H0；若統(tǒng)計(jì)量x2落在了接受域D外，則拒絕原假設(shè)H0，而接受備選假設(shè)H1。一般認(rèn)為，若H0成立，則可以說(shuō)平差模型是合理的或基本合理的；若H1成立，則說(shuō)明平差模型一定不正確。

4 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證分類(lèi)定權(quán)平差模型的可行性和有效性，采用某區(qū)域二等沉降監(jiān)測(cè)網(wǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。整條水準(zhǔn)線路共由32個(gè)測(cè)段組成，有的測(cè)段地勢(shì)平坦，有的測(cè)段落差較大（最大為16.6 m）。根據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差理論，編寫(xiě)水準(zhǔn)網(wǎng)平差程序，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分別按測(cè)站數(shù)、測(cè)段長(zhǎng)度進(jìn)行高差分類(lèi)定權(quán)，采用Helmert方差分量估計(jì)對(duì)高差分類(lèi)定權(quán)法進(jìn)行迭代計(jì)算，各定權(quán)方法方差一致性檢驗(yàn)及精度分析如下。

4.1 Helmert方差分量估計(jì)

通過(guò)建立水準(zhǔn)測(cè)量分類(lèi)定權(quán)間接平差模型，反復(fù)進(jìn)行“平差-方差分量估計(jì)-定權(quán)后再平差”，迭代結(jié)果如表1所示。

表1 Helmert方差分量估計(jì)迭代計(jì)算

由表1可知，通過(guò)2次迭代計(jì)算，Helmert方差分量估計(jì)很好地解決了水準(zhǔn)測(cè)量中分類(lèi)觀測(cè)值權(quán)的匹配問(wèn)題。第2次迭代結(jié)束時(shí)，相對(duì)權(quán)比為1∶1，統(tǒng)計(jì)量x2值達(dá)到最大13.664 6。

4.2 方差一致性檢驗(yàn)

對(duì)3種定權(quán)方法（按測(cè)段長(zhǎng)度定權(quán)、按測(cè)站數(shù)定權(quán)、分類(lèi)定權(quán)）的后驗(yàn)方差在顯著性水平a=0.05下進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，后驗(yàn)單位權(quán)中誤差分別為0.01、0.35、13.66。

查閱x2分布表，可得接受域?yàn)椋?/p>

由表1可知，基于Helmert方差分量估計(jì)的分類(lèi)定權(quán)法后驗(yàn)單位權(quán)中誤差x2統(tǒng)計(jì)量值為13.664 6，通過(guò)了方差一致性檢驗(yàn)（7.56＜13.66＜30.19），接受原假設(shè)，平差模型是合理的；而前兩種方法均通過(guò)檢驗(yàn)，由此可以證明基于往返測(cè)高差較差的水準(zhǔn)網(wǎng)分類(lèi)定權(quán)新方法對(duì)測(cè)段的起伏狀況有良好的適應(yīng)性，較傳統(tǒng)方法更有優(yōu)勢(shì)。

4.3 高差平差結(jié)果對(duì)比分析

分別按各定權(quán)方法平差后，高差平差值差異對(duì)比結(jié)果如圖1和表2所示。

表2 各定權(quán)方法的高差平差值差異（絕對(duì)值）統(tǒng)計(jì)表/mm

圖1 各定權(quán)方法的高差平差值差異曲線

由圖1和表2可知，3種定權(quán)方法的高差平差值差異均較小，幾乎一致。這是因?yàn)閱挝凰疁?zhǔn)路線長(zhǎng)度內(nèi)的測(cè)站數(shù)差異較小，按3種方法定權(quán)各觀測(cè)值間的權(quán)比關(guān)系趨于一致，高差不符值或閉合差的分配也一致，高程和高差的平差結(jié)果差異必定很小。

4.4 精度對(duì)比分析

各定權(quán)方法平差后，相鄰點(diǎn)高差中誤差的對(duì)比結(jié)果如圖2和表3所示。

圖2 不同定權(quán)方法相鄰點(diǎn)高差中誤差對(duì)比圖

表3 不同定權(quán)方法平差后精度比較表/mm

由圖2和表3可知，3種定權(quán)方法平差后高程和高差的中誤差以測(cè)站定權(quán)為最大，按測(cè)段長(zhǎng)度定權(quán)與分類(lèi)定權(quán)精度相當(dāng)，這可能是由于整個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)小，起伏的測(cè)段占多數(shù)，同時(shí)部分測(cè)段的起伏又特別劇烈所致。分類(lèi)定權(quán)方法對(duì)傳統(tǒng)定權(quán)方法精度評(píng)定的極端現(xiàn)象起到了一定的中和作用，更能反映監(jiān)測(cè)網(wǎng)的實(shí)際狀況。

5 結(jié) 語(yǔ)

1）在水準(zhǔn)測(cè)量中，將觀測(cè)值分為按測(cè)站數(shù)和測(cè)段長(zhǎng)度定權(quán)兩類(lèi)，能較合理地根據(jù)地形情況確定初始權(quán)陣，提高了初始權(quán)精度，按照Helmert方差分量估計(jì)迭代1～2次即可取得滿意結(jié)果。

2）分類(lèi)定權(quán)方法對(duì)傳統(tǒng)定權(quán)方法精度評(píng)定的極端現(xiàn)象起到了一定的中和作用，更能反映監(jiān)測(cè)網(wǎng)的實(shí)際狀況。

3）由于高差的不符值或閉合差均較小，計(jì)算結(jié)果精度提高得不明顯；若采用多期觀測(cè)、增加多余觀測(cè)量等手段，通過(guò)分類(lèi)定權(quán)可以使水準(zhǔn)測(cè)量精度得到明顯提高。

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P216

B

1672-4623（2015）04-0154-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.04.055

吳偉，碩士，工程師，主要從事工程安全監(jiān)測(cè)工作。

2014-07-09。