“分?jǐn)?shù)與除法”教學(xué)解析及建議

楊文娣

學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的獲得從小學(xué)低段開始，到中段初步的認(rèn)識，再到高段的意義理解經(jīng)歷了不斷認(rèn)識、不斷深化的過程。學(xué)生接觸分?jǐn)?shù)意義和性質(zhì)后，碰到的困惑越來越多，錯誤也隨之增加。本文從關(guān)注“分?jǐn)?shù)與除法”的教學(xué)出發(fā)，詳解學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的一系列錯誤，借助典型案例，分析教師應(yīng)該如何教授“分?jǐn)?shù)與除法”，對有效分?jǐn)?shù)教學(xué)做一些探索和實(shí)踐。

“分?jǐn)?shù)與除法”錯例解析

分?jǐn)?shù)是小學(xué)生對數(shù)的概念一次重要擴(kuò)展，也是小學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的一次重大飛躍。它對學(xué)生更好地理解數(shù)的連續(xù)性與可分割性起著非常重要的作用。分?jǐn)?shù)概念不但抽象，而且復(fù)雜，是學(xué)生認(rèn)識和理解時最容易出現(xiàn)問題的概念。特別是學(xué)生進(jìn)入分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的第二階段——五年級《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》時，各種各樣的問題如雨后春筍般陸續(xù)暴露出來。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)諸多的不適應(yīng)性和盲目性，發(fā)生的錯誤也隨之增多。在教學(xué)“分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系”一課后，筆者的感觸尤為深刻。

“分?jǐn)?shù)與除法”的教學(xué)內(nèi)容，是在理解了分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)單位等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。在鞏固的基礎(chǔ)上，作業(yè)練習(xí)中會出現(xiàn)一些應(yīng)用辨識性的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生面對這些類型的題都是屢屢中招。（見典型錯題1、典型錯題2）

“分?jǐn)?shù)與除法”歸因分析

數(shù)量分率：分不清 在學(xué)習(xí)小數(shù)除法時，解決每段長多少米時正確率很高。在教學(xué)完分?jǐn)?shù)的意義后，學(xué)生解決每段是這根繩子的幾分之幾時正確率也很高，但現(xiàn)在將情境融合，把兩個問題整合在一起提問時，學(xué)生思緒混亂，錯誤不斷。之所以出現(xiàn)錯誤，根源在于學(xué)生沒能很好地認(rèn)清分?jǐn)?shù)的兩種身份：既可表示分率（關(guān)系），也可表示具體數(shù)量。分?jǐn)?shù)表示關(guān)系可以通過運(yùn)算得到，也可以通過平均分得到。分?jǐn)?shù)表示數(shù)量可以通過度量得到，也可以通過計算得到。分?jǐn)?shù)的雙重含義都可以通過計算得到，方法的共享讓學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)遷移。再則，學(xué)生從三年級開始接觸的分?jǐn)?shù)都是以分率的身份出現(xiàn)，平均分中只涉及連續(xù)量平均分。在教師教學(xué)或?qū)W生學(xué)習(xí)時，因缺少溝通，兩種身份在頭腦中相互干擾，從而導(dǎo)致錯誤。

分?jǐn)?shù)意義：不深刻 人教版五年級下冊教材中，用份數(shù)定義的方式描述分?jǐn)?shù)的意義。雖然貼近學(xué)生的生活，但也出現(xiàn)一些傾向性的弊端。一份或幾份的說法，沒有超出自然數(shù)的范圍，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。從教材提供的例題來看，選擇的素材和呈現(xiàn)的情境局限在部分和整體單一的緯度上。從生活情景直接跳躍到純粹的數(shù)學(xué)概念，沒有經(jīng)驗(yàn)支撐的抽象水平和豐富的內(nèi)涵表征，學(xué)生接受分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)就會不穩(wěn)定。另外，分?jǐn)?shù)意義的核心——單位“1”，學(xué)生對它的認(rèn)識存在不少問題，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：傾向于自我假設(shè)在同一情境中出現(xiàn)的各個分?jǐn)?shù)具有相同的單位“1”；信息量超過自己的處理能力時，便會配合其處理能力，自行更改單位“1”或分解單位“1”。構(gòu)建抽象靈活的單位“1”概念是學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念過程中的主線。教師在教學(xué)時必須予以充分的重視。

除法意義：不領(lǐng)會 如果對以上典型錯題的這4個問題的本質(zhì)追根溯源的話，它們都是小學(xué)低段的自然數(shù)除法意義的生長延伸。二年級除法的起始課《平均分》，例2和例3就滲透了兩類基本的除法。在練習(xí)三中出現(xiàn)兩類除法的題組（如圖A）。第一小題屬于等分除問題15÷5=3，利用的數(shù)學(xué)模型是總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。第二小題屬于包含除問題15÷3=5，利用的數(shù)學(xué)模型是總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。新課程背景下的課堂教學(xué)，教師為了避免被扣上“穿新鞋走老路”之嫌，不再強(qiáng)調(diào)總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)等數(shù)學(xué)術(shù)語，而寄望學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)和對運(yùn)算意義的理解，解決此類問題。漸漸地，弱化了數(shù)量關(guān)系模型的抽象、提煉和建構(gòu)，淡化了解題方法的訓(xùn)練。有的學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)信息成功體驗(yàn)到萬能解題方法——大數(shù)除以小數(shù)得出正確結(jié)果，有些學(xué)生借助具體情境也能順利地解決問題。在這種美好的表象下，教學(xué)似乎非常成功。殊不知，對數(shù)量關(guān)系式有效建構(gòu)的缺失，給學(xué)生進(jìn)入高段學(xué)習(xí)埋下了可怕的隱患，因?yàn)楦叨螖?shù)學(xué)運(yùn)算已經(jīng)突破了較小數(shù)不能成為被除數(shù)的界限。

均分概念：不到位 在二年級下冊除法的初步認(rèn)識中，學(xué)生首次學(xué)習(xí)平均分概念。到了三年級上冊分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，學(xué)生應(yīng)用平均分概念獲得幾分之一或幾分之幾的分?jǐn)?shù)。在這兩個階段的教學(xué)時，教師特別注重兩個目標(biāo)問題的研究：什么叫平均分？怎么平均分？為了達(dá)成這些目標(biāo)，教師主要采取動手操作的教學(xué)方式幫助學(xué)生理解平均分的意義，獲得平均分的方法。但對于平均分的要領(lǐng)——“誰被平均分”的關(guān)注不夠。進(jìn)入高段學(xué)習(xí)后，數(shù)系的擴(kuò)張和計算方法的泛化，學(xué)生面對具體的情境，可以提問的方式不再唯一（如典型錯題案例2的問題）。如果僅明白平均分含義，忽視了解題關(guān)鍵的命脈——“誰把誰平均分”的明確指向，學(xué)生的判斷只能跟著感覺走。沒有清晰的思路，解題錯誤也就不可避免地產(chǎn)生了。

“分?jǐn)?shù)與除法”解題策略

豐富表征信息，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 學(xué)生對知識頓悟的前提是對需要的信息有一個完整清晰的表征信息。尤其是對那些學(xué)習(xí)比較困難的學(xué)生來說，更需要一種形象化的程序性知識，能夠讓學(xué)生在頭腦中迅速表征出圖像來。在這種情況下，一般的對策是緊密聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識相似性的特點(diǎn)，將新知納入到原有的知識結(jié)構(gòu)中去，使學(xué)生的知識得以同化和順應(yīng)。為了讓學(xué)生找到分?jǐn)?shù)具有分率即關(guān)系（比）和具體數(shù)量的雙重意義完整清晰的表征信息，教師必須十分注重相應(yīng)知識模塊的專項(xiàng)訓(xùn)練。運(yùn)用說、議、畫等手段，豐富個性體驗(yàn)，逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

加強(qiáng)題組對比，深化所學(xué)知識的意義建構(gòu) 數(shù)學(xué)中的各部分知識是相互聯(lián)系、相互依存的。教師從數(shù)學(xué)知識的整體出發(fā)，把有相關(guān)性的數(shù)學(xué)知識設(shè)計成具有聯(lián)系性的題組讓學(xué)生進(jìn)行比較練習(xí)。就好像為學(xué)生搭了一個梯子，使他們沿著臺階一步一步往上走，在掌握基本知識和技能的同時，滲透比較分析歸納的思想。通過有相互聯(lián)系又有區(qū)別的題組進(jìn)行比較練習(xí)，既梳理了數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，又加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。在新概念形成、新知識掌握以后，將一些形式上相似，實(shí)質(zhì)不同，容易混淆的知識點(diǎn)加以精心設(shè)計并進(jìn)行對比練習(xí)。讓學(xué)生在比較中鑒別，不僅可以提高正確率，還可以加深對數(shù)學(xué)知識理解和解題方法的掌握。endprint

解析數(shù)量關(guān)系，提升問題解決能力 解析數(shù)量關(guān)系是傳統(tǒng)應(yīng)用題解決的最重要的策略，新課程背景下的教學(xué)同樣離不開數(shù)量關(guān)系的分析解構(gòu)。隨著年級的增長和知識的積累，題中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息量會隨著思考角度的變化而變得復(fù)雜。如果教師在教學(xué)時不善于引導(dǎo)學(xué)生把握變化的特征和規(guī)律本質(zhì)，面對問題情境，學(xué)生很難在自己已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)“原生態(tài)”的數(shù)量關(guān)系。這時，學(xué)生往往能理出數(shù)據(jù)，卻理不出頭緒。見如下教學(xué)片斷：

師：解決每段長幾米的問題，就需要考慮誰被平均分？以誰為標(biāo)準(zhǔn)去分？分成了幾份？

生1：這里是繩子被平均分。

生2：應(yīng)該是繩子的長度2米被平均分。

生3：按段為標(biāo)準(zhǔn)平均分，分成了3段就是3份。

師：所以，被分的數(shù)做被除數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)做除數(shù)。

師：看著這幅圖，老師想到了一個問題——每米有幾段呢？能解決嗎？

生：每米是1.5段。

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)檫@個繩子是2米長，1米的話就是在中間切開，正好把中間的一段繩子切開得到一半是0.5段，再加上1段，就是1.5段。

師：你分析的很有道理。誰能用算式簡潔地表示出來？

生：3÷2=1.5（段）。

師：理由呢？

生：因?yàn)檫@里被分的是3段繩子就做被除數(shù)，按2米去平均分，可以分成2份做除數(shù)。

師：結(jié)果除了用小數(shù)外，還能用分?jǐn)?shù)表示嗎？（并相機(jī)提示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系）

生：能，。

師：這樣的分?jǐn)?shù)，同學(xué)們感覺是不是很陌生，像剛才一半用表示，再和1合并也能得到一個分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)就是我們后幾節(jié)課要學(xué)的知識。

新課程理念下解決問題不要求學(xué)生規(guī)范地表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，但這并不表明，教學(xué)僅停留在解決問題的策略和日常生活經(jīng)驗(yàn)，而忽視問題的本質(zhì)。探索時，學(xué)生展示的方法是其經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知的體現(xiàn)。交流時，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生對各種方法進(jìn)行比較分析，形成思維水平的策略或數(shù)學(xué)模型。在上述教學(xué)片斷中，由于數(shù)的范圍的拓寬，以往不能解決的問題從不可能變成了可能。一組對應(yīng)的數(shù)學(xué)信息：2米長和3段，通過不同的提問方式，解析得到兩組不同的數(shù)量關(guān)系：每段長度=總長度÷段數(shù)，每米段數(shù)=總段數(shù)÷米數(shù)。面對這類問題，教師要善于追根刨底，點(diǎn)破解決要領(lǐng)，及時概括總結(jié)，學(xué)生的思維才能從無序走向有序、從混沌走向清晰，數(shù)學(xué)思維能力才會有質(zhì)的提高。

（作者單位：浙江省紹興市馬山鎮(zhèn)中心小學(xué)）endprint