形如Δ2u=f1(x)f2(y)的泊松方程齊次化判定方法

馬春蘭，臧濤成，葛麗娟

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

形如Δ2u=f1(x)f2(y)的泊松方程齊次化判定方法

馬春蘭，臧濤成，葛麗娟

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

討論了形如Δ2u=f1(x)f2(y)的泊松方程齊次化問(wèn)題，給出了判定該類(lèi)型泊松方程是否能夠進(jìn)行齊次化的判別式以及求解其特解的方程。

泊松方程；非齊次項(xiàng)；定解問(wèn)題；特解

泊松方程Δ2u=f在靜電場(chǎng)電勢(shì)、穩(wěn)定溫度分布等許多數(shù)學(xué)物理及工程技術(shù)領(lǐng)域中都會(huì)涉及。理論上該方程可采用格林函數(shù)積分法進(jìn)行求解[1-2]，但該法積分運(yùn)算比較復(fù)雜，一般難以得到直接的解析解。另一種解法為齊次化方法[1-8]，即將原關(guān)于u的泊松方程通過(guò)某種方式（如找特解）轉(zhuǎn)化為可采用分離變量法求解的拉普拉斯方程，采用的方法基本是羅列方程非齊次項(xiàng)f呈現(xiàn)何種特殊形態(tài)時(shí)方程可齊次化。那么，對(duì)泊松方程是否存在一個(gè)統(tǒng)一的判定方法呢？筆者針對(duì)這一問(wèn)題，對(duì)形如Δ2u=f1(x)f2(y)的泊松方程進(jìn)行了分析，得到了判定該類(lèi)型泊松方程是否能夠進(jìn)行齊次化的判別方法及求解其特解的方程。

1 Δ2u=f1(x)f2(y)齊次化判定條件及特解滿(mǎn)足的方程

不失一般性，考慮如下直角坐標(biāo)下的泊松方程第一邊值問(wèn)題（定解條件全為非齊次時(shí)可用疊加原理化為包括下述（1）在內(nèi)的兩個(gè)定解問(wèn)題，另一個(gè)則可用熟悉的分離變量法求解）

如何才能夠判定定解問(wèn)題（1）中方程能夠齊次化（當(dāng)然方程齊次化后的定解問(wèn)題也要有一組邊界條件保持齊次）呢？或者說(shuō)，非齊次項(xiàng)必須滿(mǎn)足什么條件才能保證（1）可以齊次化？

為此，令

其中g(shù)(y)≠0是待求函數(shù)。通過(guò)（2）式，將原關(guān)于u(x,y)的泊松方程定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于v(x,y)的拉普拉斯方程定解問(wèn)題。v(x,y)顯然應(yīng)滿(mǎn)足

為尋求f1(x)滿(mǎn)足何種條件才能找到待求函數(shù)g(y)，將（2）代入（1）有

考慮到（3），顯然應(yīng)有

由（5）之第一式可得

因g(y)≠0，所以

左邊為x的函數(shù)與y無(wú)關(guān)，右邊為y的函數(shù)與x無(wú)關(guān)，（6）式成立的條件是等式兩邊同時(shí)等于一常數(shù)k，即

由此可知，當(dāng)f1(x)滿(mǎn)足

時(shí)，也即f1(x)為線(xiàn)性函數(shù)（k=0）、e的指數(shù)函數(shù)（k＞0）（或雙曲函數(shù)）或正余弦三角函數(shù)（k＜0）時(shí)，待求函數(shù)g(y)存在，定解問(wèn)題（1）能夠進(jìn)行齊次化。

此時(shí)，待求函數(shù)g(y)滿(mǎn)足的方程為

由上式和（5）之第二式可得完全確定g(y)的如下表達(dá)式

至此，對(duì)定解問(wèn)題（1），只要f1(x)滿(mǎn)足（7）式，就可通過(guò)（8）式求得g(y)，從而得到齊次化函數(shù)f1(x)g(y)，進(jìn)而通過(guò)（3）式和（2）式最終求得（1）式的解。

2 推論

（1）對(duì)于其他邊界條件情形（如第二類(lèi)或混合邊界條件），根據(jù)（4）知（8）式仍然適用；

（2）以上結(jié)論可適用于滿(mǎn)足（7）式的各種函數(shù)的若干加減組合（見(jiàn)例題2）；

（3）對(duì)于形如

的定解問(wèn)題，只要f2(y)滿(mǎn)足（7），那么齊次化函數(shù)f2(y)g(x)中的g(x)完全類(lèi)似于（8）

3 實(shí)例

例1求定解問(wèn)題[2]。

解f1(x)=x，f2(y)=-2A，滿(mǎn)足判定式（7）f1″(x)=kf1(x)且k=0，定解問(wèn)題的方程和邊界條件可同時(shí)齊次化。由（8）得

解得

代入（2）式中有

再由（3）式得

采用分離變量法求得解為

最后

此題在文獻(xiàn)[2]中是用猜的方法得到能同時(shí)使得變換后v(x,y)的方程及y方向邊界條件同時(shí)為齊次的特解Axy(b-y)，這在非齊次項(xiàng)相對(duì)簡(jiǎn)單（如例1）時(shí)還可能做到，但對(duì)復(fù)雜一些的情況（如例2）就不那么容易用猜的辦法了。

例2對(duì)定解問(wèn)題

設(shè)u=v+w，試求特解w，使得變換后關(guān)于v的方程和一組邊界條件為齊次。

解將定解問(wèn)題化為（1）的形式。為此令，并設(shè)及ui的特解為wi，這樣

i=1時(shí)：可令f11(x)=a，f21(y)=1，故有k=0，由（8）

得

特解為

i=2時(shí)：f12(x)=sinx，f22(y)=y，因y″=0·y和(sinx)″=-sinx，故可取k=0或k=-1，考慮到i=1時(shí)在y方向邊界條件為齊次，所以取k=-1。這樣，由（8）

得

特解為

i=3時(shí)：f13(x)=ex，f23(y)=y2，因（ex）″=ex，故k=1，由（8）

得

特解為

這樣

因?yàn)?/p>

所以w(x,y)就是所要求的原問(wèn)題的特解。

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].3版.北京：高等教育出版社，1998：148-150，220.

[2]周治寧.數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004：212-213.

[3]臧濤成.具有特殊非齊次項(xiàng)泊松方程的特解法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（2）：138-141.

[4]臧濤成.具有特殊非齊次項(xiàng)波動(dòng)方程的處理方法[J].大學(xué)物理，2009，28（3）：10-12.

[5]石文善.線(xiàn)性偏微分方程非齊次定解問(wèn)題的待定函數(shù)法[J].大學(xué)物理，1992，28（3）：10-12.

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[7]李其深.一種求泊松方程特解的方法[J].工科數(shù)學(xué)，1994（2）：110-114.

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The homogeneous method of Poisson equation such as Δ2u=f1（x）f2（y）

MA Chunlan，ZANG Taocheng，GE Lijuan
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

The transformation of nonhomogeneous Poisson equations such as Δ2u=f1(x)f2(y)into homogeneous equations is discussed.We proposed a criterion for this kind of Poisson equations being able to be homogenized. And the equation for the special solution was given.

Poisson equation；nonhomogeneity；definite problem；particular solution

O411.1

A

1672－0687（2015）02－0033－04

責(zé)任編輯：李文杰

2014－12－17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11304218）；校重點(diǎn)專(zhuān)業(yè)建設(shè)資助項(xiàng)目（2013zyxz-08）

馬春蘭（1973-），女，江蘇鹽城人，副教授，博士，研究方向：凝聚態(tài)物理等。