基于分數(shù)階模型的Lagrange系統(tǒng)的積分因子與守恒量

束方平，張毅，朱建青*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009，2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

基于分數(shù)階模型的Lagrange系統(tǒng)的積分因子與守恒量

束方平1，張毅2，朱建青1*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009，2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

為了進一步研究基于分數(shù)階模型的力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，該文將積分因子方法應(yīng)用于分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)，建立了尋找分數(shù)階模型下Lagrange系統(tǒng)守恒量的一種新方法。首先，尋求分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)存在守恒量的必要條件和建立系統(tǒng)積分因子與守恒量的關(guān)系；其次，定義并給出用于確定積分因子的分數(shù)階廣義Killing方程；最后，得到基于分數(shù)階模型的Lagrange系統(tǒng)的守恒量。文末舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

分數(shù)階模型；Lagrange系統(tǒng)；積分因子；守恒量

自然界許多物理系統(tǒng)因其特殊的材料和化學(xué)特性而展現(xiàn)出分數(shù)階動力學(xué)行為[1]，事實上，實際系統(tǒng)大多是分數(shù)階的[2]，因此，利用分數(shù)階模型來描述自然界和工程實際中的各種現(xiàn)象更為準確。分數(shù)階微積分的研究擴展了人們的思路，填補了傳統(tǒng)意義下微積分表示的缺陷。近年來分數(shù)階微積分被廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域，如物理學(xué)、金融學(xué)、水文學(xué)、高分子聚合物理、生物學(xué)、混沌動力學(xué)、控制理論等[3]。將分數(shù)階微積分應(yīng)用于力學(xué)系統(tǒng)建模問題要追溯到Riewe[4-5]的工作，他建立了力學(xué)系統(tǒng)的分數(shù)階Euler-Lagrange方程和Hamilton正則方程。分數(shù)階變分問題的對稱性與守恒量的研究是分數(shù)階動力系統(tǒng)的一個重要方面。Frederico和Torres基于變分原理引進分數(shù)階守恒量的概念，首先研究了分數(shù)階變分問題的不變性，給出分數(shù)階Noether理論[6]。Atanackovi[7]等人研究了Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的不變性和Noether理論，并指出Frederico和Torres分數(shù)階守恒量定義的不清晰性。

1 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

左Remiann-Lionville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下[15-16]右Remiann-Lionville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下

其中，f為區(qū)間[t1，t2]上的連續(xù)可微函數(shù)，Γ（*）為Gamma函數(shù)，n-1≤α＜n。若導(dǎo)數(shù)α為整數(shù)時這些導(dǎo)數(shù)就成為

Remiann-Lionville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的合成有如下關(guān)系

2 分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)及其積分因子

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標qs（s=1，…，n）來確定?；赗emiann-Lionville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，即Lagrange函數(shù)為[7]

分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)可表示為

定義1函數(shù)稱為分數(shù)階模型下Lagrange系統(tǒng)（7）的分數(shù)階守恒量，當且僅當沿著運動方程（7）的解曲線恒成立

定義2如果不變式

恒等變?yōu)?/p>

其中，ξ0，G和μs為的函數(shù)，則稱為分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（7）的積分因子。

3 守恒定理

聯(lián)合式（7）和式（10），有

定理1如果函數(shù)ξs是分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（7）的積分因子，那么系統(tǒng)存在守恒量（第一積分），形如

特別地，如果分數(shù)階導(dǎo)數(shù)項消失，則可得到經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的守恒量

對于Lagrange系統(tǒng)（7），如果函數(shù)ξs是其積分因子，那么每一組函數(shù)ξs，ξ0，G和μs一定滿足必要條件（11），將方程（11）展開有

利用方程（7），式（14）可進一步寫成

可見，如果函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs滿足必要條件（16），那么沿著Lagrange系統(tǒng)的運動軌線，該函數(shù)組使式（12）的右邊成為一個常數(shù)。于是有

定理2如果函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs滿足必要條件（16），那么Lagrange系統(tǒng)（7）存在守恒量（12）。

積分方程（16）或利用其他方法可以求得函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs對應(yīng)于方程（16）的任意一個特解或函數(shù)解，由定理2可以得到Lagrange系統(tǒng)（7）的一個守恒量。

利用上述定理來尋求Lagrange系統(tǒng)的守恒量關(guān)鍵在于找到函數(shù)組ξs，ξ0，G，μs。由于函數(shù)ξs，ξ0，G不依賴于，將方程（16）展開，令含項的系數(shù)和不含項的系數(shù)分別為零，得到的線性偏微分方程為

式（17）和（18）是關(guān)于（2n+2）個未知函數(shù)ξs，ξ0，G，μs的（n+1）個方程，稱為廣義Killing方程。由于方程數(shù)目小于未知函數(shù)的數(shù)目，故廣義Killing方程的解不是唯一的，通過適當選取ξs，τ，G，μs可得到不同的守恒量。

4 算例

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的分數(shù)階Lagrange函數(shù)

其中，ω為常數(shù)。

系統(tǒng)的運動微分方程為

廣義Killing方程（17）、（18）給出

方程組（21）-（22）有解

根據(jù)定理1和定理2，相應(yīng)于函數(shù)組（23）-（24）系統(tǒng)存在如下守恒量

當α→1時，式（25）、（26）就成為

5 結(jié)語

尋求系統(tǒng)的守恒量是分數(shù)階動力系統(tǒng)研究的一個重要方面。1984年，Djuki提出利用積分因子方法來構(gòu)造完整非保守動力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，該方法類似于構(gòu)造保守系統(tǒng)能量積分的經(jīng)典Lagrange方法，即通過運動微分方程乘以適當?shù)姆e分因子的方法來直接構(gòu)造系統(tǒng)的守恒量。該文是對積分因子方法應(yīng)用的進一步研究，將積分因子方法應(yīng)用于構(gòu)造分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的守恒量，提供了尋求分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)守恒量的一個新途徑。

[1]朱呈祥，鄒云.分數(shù)階控制研究綜述[J].控制與決策，2009，24（2）：161-169.

[2]Torvik P J，Bagley R L.On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real material[J].Journal of Applied Mechanics，1984，51（2）：284-298.

[3]Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam：Elsevier B V，2006.

[4]Riewe F.Nonconservation Lagrangian and Hamiltonian mechanics[J].Physical Review E，1996，53（2）：1890-1899.

[5]Riewe F.Mechanics with fractional derivatives[J].Physical Review E，1997，55（3）：3581-3592.

[6]Frederico G S F，Torres D F M.A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，334：834-846.

[9]Qiao Y F，Zhang Y L，Han G C.Integrating factors and conservation therom for holonomic nonconservative dynamical system in generalized classical mechanics[J].Chinese Physics，2002，11（10）：988-992.

[10]喬永芬，張耀良，韓廣才.非完整保守系統(tǒng)Raitzin正則運動方程的積分因子和守恒定理[J].兵工學(xué)報，2003，24（2）：162-166.

[11]Li R J，Qiao Y F，Liu Y.Integrating factors and conservation theorems for Hamilton’s canonical equations of motion of variable mass nonholonomic nonconservative dynamical systems[J].Chinese Physics，2002，11（8）：760-764.

[12]張毅，薛紜．Birkhoff系統(tǒng)的積分因子與守恒定理[J].力學(xué)季刊，2003，24（2）：280-285.

[13]Zhang Y.Integrating factors and conservation laws of generalized Birkhoff system dynamics in event space[J].Communications in Theoretical Physics（Beijing，China），2009，51（6）：1078-1082.

[14]束方平，張毅.用積分因子方法研究廣義Birkhoff系統(tǒng)的守恒量[J].華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，48（1）：42-45.

[15]Miller K S，Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York：Wiley，1993.

[16]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].New York：Academic Press，1999.

Integrating factors and conserved quantities for Lagrange systems based on fractional order model

SHU Fangping1，ZHANG Yi2，ZHU Jianqing1
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

In order to further study the conserved quantities of mechanical systems based on fractional order model,we applied the method of integrating factors to the fractional order Lagrange system and proposed a new method for finding the conserved quantities of Lagrange systems based on fractional order model.First,we studied the necessary conditions for the existence of the conserved quantities of the fractional order Lagrange systems and the relation between the conserved quantities and the integrating factors.Second,the fractional order generalized Killing equations used to determine the integrating factors were presented.Finally,we obtained the conserved quantities of the Lagrange systems based on fractional order model.Besides,an example was given to illustrate the application of the results.

fractional order model；Lagrange system；integrating factor；conserved quantity

O316MR（2000）Subject Classification：00A69

A

1672－0687（2015）02－0001－05

責(zé)任編輯：謝金春

2014－10－22

國家自然科學(xué)基金資助項目（11272227）

束方平（1989-），女，江蘇鹽城人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。

*通信聯(lián)系人：朱建青（1962-），男，教授，碩士生導(dǎo)師，E－mail：zjq@mail.usts.edu.com。