從三角函數(shù)談培養(yǎng)數(shù)學思維的靈活性

張國梅

現(xiàn)代教育強調“知識結構”與“學習過程”，目的在于發(fā)展學生的思維能力，而把知識作為思維過程的材料和媒介。只有把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學生的思維品質才符合素質教育的基本要求。數(shù)學知識可能在將來會遺忘，但思維品質的培養(yǎng)會影響學生的一生，思維品質的培養(yǎng)是數(shù)學教育的價值得以真正實現(xiàn)的理想途徑。

教育心理學理論認為：思維是人腦對事物本質和事物之間規(guī)律性關系概括的間接的反映。思維是認知的核心成分，思維的發(fā)展水平?jīng)Q定著整個知識系統(tǒng)的結構和功能。因此，開發(fā)高中學生的思維潛能，提高思維品質，具有十分重大的意義。

思維品質主要包括思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、深刻性、獨創(chuàng)性和批判性等幾個方面。思維的靈活性是建立在思維廣闊性和深刻性的基礎上，并為思維敏捷性、獨創(chuàng)性和批判性提供保證的良好品質。在人們的工作、生活中，照章辦事易，開拓創(chuàng)新難，難就難在缺乏靈活的思維。所以，思維靈活性的培養(yǎng)顯得尤為重要。

思維的靈活性指思維活動的靈活程度，指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時地用新的觀點看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。學生思維的靈活性主要表現(xiàn)于：（1）思維起點的靈活：能從不同角度、不同層次、不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向。（2）思維過程的靈活：能靈活運用各種法則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉向另一種途徑。（3）思維遷移的靈活：能舉一反三，觸類旁通。

如何使更多的學生思維具有靈活特點呢？我在教學三角函數(shù)中作了一些探索：

一、以“發(fā)散思維”的培養(yǎng)提高思維靈活性

美國心理學家吉爾福特提出的“發(fā)散思維”的培養(yǎng)就是思維靈活性的培養(yǎng)。“發(fā)散思維”指“從給定義的信息中產生信息，其著重點是從同一的來源中產生各種各樣為數(shù)眾多的輸出，很可能會發(fā)生轉換作用?！?/p>

在當前的數(shù)學教學中，普遍存在著比較重視集中思維的訓練，而相對忽視了發(fā)散思維的培養(yǎng)。發(fā)散思維是理解教材、靈活運用知識所必須的，也是迎接信息時代、適應未來生活所應具備的能力。

1.引導學生對問題的解法進行發(fā)散；在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養(yǎng)學生思維過程的靈活性。

通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法：（1）統(tǒng)一函數(shù)種類；（2）統(tǒng)一角度；（3）統(tǒng)一運算。一題多解可以拓寬思路，增強知識間聯(lián)系，學會多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。

2.引導學生對問題的結論進行發(fā)散；對結論的發(fā)散是指確定了已知條件后沒有現(xiàn)成的結論.讓學生自己盡可能多地探究尋找有關結論，并進行求解。

開放型題目的引入，可以引導學生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關系。要根據(jù)條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結論，有利于思維起點靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

二、以思維靈活性的提高帶動思維其他品質的提高，以思維其他品質的培養(yǎng)來促進思維靈活性的培養(yǎng)

由于思維的各種品質是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機的統(tǒng)一體中，所以，思維其他品質的培養(yǎng)能有力地促進思維靈活性的提高，下面就思維品質中一些性質談點感悟。

1.思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質，是否善于從事物之間的關系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。

[例]方程sinx=lgx的解有（ ）個。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無措。若能運用靈活的思維換一個角度思考：此題的本質為求方程組的公共解。運用數(shù)形結合思想轉化為求函數(shù)圖象交點問題，尋求幾何性質與代數(shù)方程之間的內在聯(lián)系。通過知識串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質，在思維深刻性的基礎上，思維靈活性才有了用武之地。

2.思維的敏捷性指思維活動的速度。它的指標有二個：一是速度，二是正確率。具有這一品質的學生能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程。思維靈活性對于思維速度和準確率的提高起著決定性作用。

[例]相鄰邊長為a和b的平行四邊形，分別繞兩邊旋轉所得幾何體體積為Va（繞a邊）和Vb（繞b邊），則Va：Vb=（ ）

A. a：b B. b：a

C. a2：b2 D. b2：a2

用直接法求解：以一般平行四邊形為例。

則Va：Vb=b：a，由于要引入兩邊夾角來求解，學生常常無法入手。若以特殊的平行四邊形（矩形）來處理，則相當簡便。

此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性，以簡馭繁，用特殊化思想求解，解題迅速、正確。

3.思維的獨創(chuàng)性指思維活動的獨創(chuàng)程度，具有新穎善于應變的特點。思維的靈活性為思維的獨創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的閃現(xiàn)提供了燃料。

4.思維的批判性指思維活動中獨立分析的程度，是否善于嚴格地估計思維材料和仔細地檢查思維過程。在教學中，鼓勵學生提出不同的甚至懷疑的意見，注意引導和啟發(fā)，提倡獨立思考能力的培養(yǎng)。

學生對結論的可靠程度進行懷疑，在獨立分析的基礎上，靈活運用三角函數(shù)的單調性來確定三角形內角的取值范圍，嚴密論證了三角函數(shù)值取值的可能性。

靈活的構想獨特巧妙，數(shù)形結合思想得到充分體現(xiàn)。教學中注重學生解題思路的獨特性、新穎性的肯定和提倡，充分給予嘗試、探索的機會，以活躍思維、發(fā)展個性。

幾年來，所教學生在經(jīng)過有目的的培養(yǎng)后，思維品質都有了很大的提高。相應的，學生的學習質量也有了很大提高。許多學生進入大學、甚至走上工作崗位后，常常來信談及雖然數(shù)學知識有許多已經(jīng)遺忘，但老師教的數(shù)學思維方式卻常令他們在工作、學習、生活中得益不少。隨著課程教材改革的推進，突出思維品質的培養(yǎng)已成為廣大教師和教育工作者的共識。我將繼續(xù)探索下去，以求獲得更多的教育理論與教育方法。

【參考文獻】

[1]《中學生學習心理學》，廣東高等教育出版社.

[2] 田萬海 著.《數(shù)學教育學》，浙江教育出版社.

[3] 徐仲安 著.《中學生素質教育》，上海科學技術出版社.

（作者單位：江西省信豐縣第四中學）