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    集合覆蓋問題降階算法

    2012-03-22 02:20:58寧愛兵劉艷芳王英磊
    上海理工大學(xué)學(xué)報 2012年4期
    關(guān)鍵詞:降階下界子集

    寧愛兵, 劉艷芳, 王英磊

    (上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093)

    集合覆蓋問題(set covering problem,SCP)是組合優(yōu)化中一個典型NP(non-deterministic polynomial time,非確定多項(xiàng)式時間算法)難解問題,是計算機(jī)和運(yùn)籌學(xué)中的一個經(jīng)典問題,在人員調(diào)動、網(wǎng)絡(luò)安全、資源分配、電路設(shè)計、運(yùn)輸車輛路徑安排等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-4].

    對于集合覆蓋問題,目前國內(nèi)外主要有兩種處理方法:一種是采用啟發(fā)式算法[2-3];另外一種是采用精確算法或近似算法[1,4].各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)及其對比將在后面介紹.

    本文將集合覆蓋問題轉(zhuǎn)換成二分圖,再在二分圖上給出降階規(guī)則,給出上界和下界子算法,最后結(jié)合成一個新的降階算法.

    1 問題及算法介紹

    1.1 問題簡介

    集合覆蓋問題是一個優(yōu)化問題,其原型是多資源選擇問題.集合覆蓋問題可以看作是圖的頂點(diǎn)覆蓋問題的推廣,它也是一個NP難問題.

    集合覆蓋問題的一個實(shí)例〈X,F(xiàn)〉由一個有限集X及X的一個子集族F組成.子集族F覆蓋了有限集X,也就是說X中每一元素至少屬于F中的一個子集,即對于F中的一個子集C?F,若C中的X的子集覆蓋了X,即,則稱C覆蓋了X.集合覆蓋問題就是要找出F中覆蓋X的最小子集C*,使得|C*|=min{|C‖C?F且C覆蓋X}.

    1.2 問題轉(zhuǎn)換

    在算法處理之前,將該問題轉(zhuǎn)換成二分圖來進(jìn)行處理,轉(zhuǎn)換方法如下:

    將集合覆蓋問題〈X,F(xiàn)〉中X的每個元素作為二分圖的一個頂點(diǎn)子集X,把F中的每個元素作為二分圖的另一個頂點(diǎn)子集F,F(xiàn)中的元素是集合.若F中的元素f1包含X中的元素x1,則在f1與x1之間連線,否則不連線.

    這樣處理后,得到一個圖G=(V,E),其中,V=X∪F,E={(x,f)|x∈X,f∈F且x∈f}.很顯然,圖G是二分圖.而原問題的求解變?yōu)樵陧旤c(diǎn)子集F中找出一個最小的子集C*,使得頂點(diǎn)子集X中的每一個頂點(diǎn)至少與C*中的頂點(diǎn)有一條邊相連.

    1.3 數(shù)學(xué)符號

    為了方便描述,除了問題簡介和問題轉(zhuǎn)換中定義的符號外,還定義如下符號:

    n表示二分圖G中頂點(diǎn)集X中結(jié)點(diǎn)的個數(shù);

    m表示二分圖G中頂點(diǎn)集F中結(jié)點(diǎn)的個數(shù);

    d(vi)表示結(jié)點(diǎn)vi的度,其值為與vi關(guān)聯(lián)邊的條數(shù);

    N(vi)表示二分圖中頂點(diǎn)vi的鄰點(diǎn)集,N(vi)={vj|(vi,vj)∈E};

    Φ表示空集;

    b表示最小覆蓋子集C*中元素個數(shù)的下界,即|C*|≥b;

    u表示最小覆蓋子集C*中元素個數(shù)的上界,即|C*|≤u.

    1.4 下界子算法

    對X中的元素xi,由于必須至少有1個集合覆蓋它,也就是說C*中至少有1個結(jié)點(diǎn)要與它關(guān)聯(lián),因此N(xi)至少有1個結(jié)點(diǎn)在C*中,故有下面的下界子算法.

    a.i=1;

    b.集合temp_c=Φ;

    c.若i>n或者temp_c中元素的數(shù)量為m,則整個算法結(jié)束并得到下界b;

    d.對X中的元素xi,若N(xi)∩temp_c=Φ,則i=i+1,b=b+1,temp_c=N(xi)∪temp_c并跳至第c步,否則執(zhí)行i=i+1并跳至第c步.

    算法中的N(xi)∩temp_c=Φ說明目前還沒有集合覆蓋xi.

    1.5 上界子算法

    采用如下貪心算法求解上界u:

    a.令G2為待處理的二分圖,X2=X,F(xiàn)2=F;

    b.u=0,集合temp_c=Φ;

    c.若X2為空集,則算法結(jié)束,否則跳至第d步;

    d.在F2中找出1個度最大的結(jié)點(diǎn)f1,其中f1∈F2;

    e.u=u+1,temp_c=temp_c∪{f1},在二分圖G2中刪除結(jié)點(diǎn)f1及其關(guān)聯(lián)邊,F(xiàn)2=F2-{f1},刪除集合N(f1)中的結(jié)點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)邊,X2=X2-N(f1),修改對應(yīng)結(jié)點(diǎn)的d(vi),跳到第c步.

    該子算法對圖的刪除操作都是在臨時變量圖G2中進(jìn)行的,不影響原來的二分圖.

    1.6 降階規(guī)則

    規(guī)則1 對頂點(diǎn)集X中度為1的結(jié)點(diǎn)xi,其關(guān)聯(lián)邊對應(yīng)的另一個結(jié)點(diǎn)fj一定在最小子集C*中.

    證明 因?yàn)槎葹?的結(jié)點(diǎn)xi必須被某個集合覆蓋,而xi僅僅只屬于一個集合fj,故要覆蓋xi,則fj一定在最小子集C*中.

    規(guī)則2 對頂點(diǎn)集F中的兩個元素f1和f2,若N(f1)?N(f2),則可以將頂點(diǎn)f1及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除而不會影響最小的子集C*求解.

    證明 因?yàn)镹(f1)?N(f2),所以f1所起到的覆蓋作用完全可以由f2來代替.代替后的覆蓋功能只會更強(qiáng),而不會更弱,而目標(biāo)函數(shù)最小子集C*中的數(shù)量不變.因此可以把頂點(diǎn)f1及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除而不會影響最小子集C*求解.

    在降階的中間過程中,可能會出現(xiàn)度為0的結(jié)點(diǎn),也可能在F中存在1個能覆蓋X中所有結(jié)點(diǎn)的子集合f1,此時采用規(guī)則3和規(guī)則4來降階.

    規(guī)則3 在降階的任何過程中,可以將頂點(diǎn)集F中度為0的結(jié)點(diǎn)f1直接從圖中刪除.

    證明 由于頂點(diǎn)集F中度為0的結(jié)點(diǎn)f1不能覆蓋任何結(jié)點(diǎn),因此可以直接刪除.

    規(guī)則4 在降階的任何過程中,若頂點(diǎn)集F中存在一個結(jié)點(diǎn)f1覆蓋X中的所有結(jié)點(diǎn),則將f1加入到最小子集C*中.

    證明 由于此時X中還有結(jié)點(diǎn)沒有被覆蓋,故至少需要在F中找出一個子集合來覆蓋,而能在F中找到一個能覆蓋X中的所有結(jié)點(diǎn)的子集合f1,則可以將f1加入到最小子集C*中.

    其它的降階方法在后面的算法中介紹.

    1.7 降階算法

    對于已經(jīng)轉(zhuǎn)成二分圖的問題,采用如下算法進(jìn)行降階:

    a.下界b=0,C*=Φ;

    b.調(diào)用下界子算法求出下界b;

    c.按照規(guī)則1,對于X中度為1的結(jié)點(diǎn)xi,把其關(guān)聯(lián)邊對應(yīng)的另一個結(jié)點(diǎn)fj加到最小子集C*中,b=b-1,并把結(jié)點(diǎn)xi及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除.將結(jié)點(diǎn)fj、結(jié)點(diǎn)集合N(fj)及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除,并修改對應(yīng)點(diǎn)的度d(vi),修改變量n和m.這樣持續(xù)做下去,直到X中不存在度為1的結(jié)點(diǎn)為止;

    d.按照規(guī)則2,對頂點(diǎn)集F中的兩個元素f1和f2,若N(f1)?N(f2),則可以把頂點(diǎn)f1及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除并修改對應(yīng)點(diǎn)的度d(vi),同時修改變量m;

    e.若d中刪除過結(jié)點(diǎn),則跳到第c步,否則執(zhí)行下一步;

    f.采用規(guī)則3和規(guī)則4來降階,調(diào)用上界子算法求出上界u,若此時u=b,則令C1為上界子算法中的temp_c,此時C*=C*∪C1為最優(yōu)解,整個算法結(jié)束;

    g.j=0;

    h.若j>m,則跳到第o步;

    i.對F中的元素fj,令N2(fj)為N(fj)中度為2的結(jié)點(diǎn)集合,若N2(fj)中結(jié)點(diǎn)數(shù)量大于等于u,則執(zhí)行下一步,否則跳到第n步;

    j.集合temp_c=Φ;

    k.把N2(fj)中每一個結(jié)點(diǎn)vi的鄰點(diǎn)集N(vi)加到集合temp_c中;

    l.temp_c=temp_c-fj(這里操作的含義是假設(shè)fj不在最小子集C*中);

    m.若temp_c的數(shù)量大于u,則把結(jié)點(diǎn)fj加到最小子集C*中,把結(jié)點(diǎn)fj和結(jié)點(diǎn)集合N(fj)從圖中刪除,同時執(zhí)行m=m-1,n=n-|N(fj)|,u=u-1,并修改對應(yīng)點(diǎn)的度;

    n.采用規(guī)則3和規(guī)則4來降階;j=j(luò)+1,跳到第h步;

    o.若在第h至n步中刪除過結(jié)點(diǎn),則跳到第c步,否則整個算法結(jié)束.此時C*中的元素是在最小集合覆蓋中的元素,若此時圖為無邊的空圖,則得到最小集合覆蓋C*,否則說明只是降低了問題的規(guī)模和難度,但沒有得到最終的最優(yōu)解.

    算法中的第i到第l步是利用反證法降階,即假設(shè)fj不在最小集合覆蓋C*中時,若能判斷此時要加入到C*的元素個數(shù)大于上界u,則說明出現(xiàn)矛盾,因此fj一定在最小集合覆蓋C*中.

    1.8 算法的時間復(fù)雜度分析

    下面的分析,都是指在最壞情況下的時間復(fù)雜度.

    問題轉(zhuǎn)換的時間復(fù)雜度為O(nm),下界子算法為O(nm2),上界子算法為O(nm),降階算法的第c步為O(n),第d步為O(n2m2),第h步到第n步為O(n2m),因此整個算法的時間復(fù)雜度為O(n2m3).

    2 示例分析

    為了更清楚地了解算法的原理及應(yīng)用情況,下面給出3個示例來進(jìn)行分析.

    示例1 求圖1(見下頁)中圖G的最小集合覆蓋,其中,X={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l},F(xiàn)={s1,s2,s3,s4,s5,s6},s1={a,b,e,f,i,j},s2={f,g,j,k},s3={a,b,c,d},s4={e,f,g,h},s5={i,j,k,l},s6={d,h},該示例取自文獻(xiàn)[1],文獻(xiàn)[1]提供的近似算法.

    分析方法一:

    Step 1 先把圖1轉(zhuǎn)成如圖2(見下頁)所示的二分圖;

    圖1 示例1Fig.1 Instance 1

    圖2 二分圖Fig.2 Bipartite graph

    Step 2 調(diào)用下界子算法求出下界b=3;

    Step 3 按照規(guī)則1,對于X中度為1的結(jié)點(diǎn)l,將其關(guān)聯(lián)邊對應(yīng)的另一個結(jié)點(diǎn)s5加到最小子集C*中,得C*={s5},b=b-1=2,并將結(jié)點(diǎn)l及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除,把結(jié)點(diǎn)s5、結(jié)點(diǎn)集N(s5)及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除,并修改對應(yīng)點(diǎn)的度d(vi),修改變量n=8和m=5,得到圖3所示的圖形;

    圖3 二分圖Fig.3 Bipartite graph

    Step 4 按照規(guī)則2,對頂點(diǎn)集F中的兩個元素s2和s4,由于N(s2)?N(s4),所以可以將頂點(diǎn)s2及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除并修改對應(yīng)點(diǎn)的度d(vi),同時修改變量m=5-1=4,得到圖4所示的圖形;

    Step 5 按照規(guī)則1,對于X中度為1的結(jié)點(diǎn)g,把其關(guān)聯(lián)邊對應(yīng)的另一個結(jié)點(diǎn)s4加到最小子集C*中,得C*={s4,s5},b=b-1=1,并將結(jié)點(diǎn)g及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除,把結(jié)點(diǎn)s4、結(jié)點(diǎn)N(s4)及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除,并修改對應(yīng)點(diǎn)的度d(vi),修改變量n=3和m=3,得到圖5所示的圖形;

    圖4 二分圖Fig.4 Bipartite graph

    圖5 二分圖Fig.5 Bipartite graph

    Step 6 執(zhí)行算法的第f步,求得上界u=1,此時u=b,得到最優(yōu)解C*={s3,s4,s5},整個算法結(jié)束.

    分析方法二:

    為了演示降階算法中的第h到第n步,下面不使用規(guī)則2來降階,也不使用算法第f步中的u=b的方法來降階.

    這里的第1,2,3步同分析方法一中的完全相同,此時得到圖3所示的圖形.

    Step 7 執(zhí)行算法的第f步,求得上界u=2;

    Step 8 執(zhí)行算法的第i步,對F中的元素s3,N2(s3)={a,b,c,d}為N(s3)中度為2的結(jié)點(diǎn)集合,由于N2(s3)中結(jié)點(diǎn)數(shù)量大于等于u,則跳到算法的第j步;

    Step 9 執(zhí)行算法的第j步,集合temp_c=Φ;

    Step 10 執(zhí)行算法的第k步,將N2(s3)={a,b,c,d}中每個結(jié)點(diǎn)vi的鄰點(diǎn)集N(vi)加到集合temp_c中,得temp_c={s1,s3,s4,s6};

    Step 11 執(zhí)行算法的第l步,得temp_c=temp_c-fi={s1,s4,s6}

    Step 12 執(zhí)行算法的第m步,C*={s3,s5},將結(jié)點(diǎn)s3、結(jié)點(diǎn)集N(s3)從圖中刪除,m=m-1=4,n=4,u=u-1=1,得到圖6;

    Step 13 執(zhí)行算法的第n步,采用規(guī)則4來降階得到最優(yōu)解C*={s3,s4,s5}.

    示例2 X={1,2,3,4},F(xiàn)={s1,s2,s3,s4},其中s1={1,2},s2={2,3},s3={3,4},s4={4,1}.

    圖6 二分圖Fig.6 Bipartite graph

    分析:

    由下界子算法求得b=2,當(dāng)執(zhí)行算法的第f步時,由上界子算法求得u=2,由于u=b,因此,求得最優(yōu)解為C*={s1,s3}.

    示例3 X={a,b,c,d,e,f},F(xiàn)={s1,s2,s3,s4,s5},其中s1={a,b},s2={a,f},s3={d,e},s4={c,e},s5={b,c,d}.

    分析:

    step 1 先將該問題轉(zhuǎn)成如圖7所示的二分圖;

    step 2 按照規(guī)則1,并將s2加到最小子集C*中,得C*={s2},將結(jié)點(diǎn)s2、結(jié)點(diǎn)集N(s2)及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除;

    step 3 按照規(guī)則2,將s1及其關(guān)聯(lián)邊刪除;

    step 4 再按照規(guī)則1,將s5加到最小子集C*中,得C*={s2,s5},將結(jié)點(diǎn)s5、結(jié)點(diǎn)集N(s5)及其關(guān)聯(lián)邊從圖中刪除;

    step 5 最后將s3加到最小子集C*中,得到最優(yōu)解C*={s2,s3,s5},或者把s4加到最小子集C*中,得到最優(yōu)解C*={s2,s4,s5}.

    圖7 二分圖Fig.7 Bipartite graph

    3 算法對比分析

    對于集合覆蓋問題,目前國內(nèi)外主要有兩種處理方法:一種是啟發(fā)式算法[2,3],啟發(fā)式算法的優(yōu)點(diǎn)是能夠快速得到可行解,其缺點(diǎn)是不能保證解是最優(yōu)解,也不能提供解的近似比;另外一種是采用精確算法或近似算法[1,4],比如分枝定界法、回溯法等,精確算法的優(yōu)點(diǎn)是能得到最優(yōu)解,但時間復(fù)雜度都是指數(shù)級別的,難以處理規(guī)模較大的問題,近似算法在近似程度上提供保障,但不能得到最優(yōu)解.

    本降階算法的優(yōu)點(diǎn)在于利用問題的性質(zhì)及上下界來加快問題的求解速度,使原問題變?yōu)橐?guī)模更小的同性質(zhì)的子問題,便于進(jìn)一步的處理;不足之處在于只能對部分實(shí)例問題求解得到最終解,對不能得到最終解的問題實(shí)例還必須與其它方法結(jié)合起來才能得到最終解,比如對于經(jīng)過降階算法處理后的子問題,若規(guī)模較少,可以用分枝定界法來得到最優(yōu)解,若規(guī)模仍然很大,則可以用啟發(fā)式算法來求解.

    4 結(jié)束語

    集合覆蓋問題是不具有多項(xiàng)式時間算法的NP難題,本文提供的降階算法能在一定程度上降低原問題的求解規(guī)模與難度,而且在某些情況下,能直接得出問題的最優(yōu)解.該方法不僅可以單獨(dú)使用,而且可以與其它方法結(jié)合起來使用,從而加快問題的求解速度.

    [1] 王曉東.計算機(jī)算法設(shè)計與分析[M].3版.北京:電子工業(yè)出版社,2007.

    [2] 陳端兵,黃文奇.一種求解集合覆蓋問題的啟發(fā)式算法[J].計算機(jī)科學(xué),2007,34(4):133-136.

    [3] Chvatal V.A greedy heuristic for the set covering problem[J].Mathematics of Operations Research,1979,4(3):233-235.

    [4] Hassin R,Levin A.A better than greedy approximation algorithm for the minimum set cover problem[J].SIAM Journal on Computing,2005,35(1):189-200.

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