條件(P′)和(E′)的積與余積

王利民，焦天明

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

條件(P′)和(E′)的積與余積

王利民，焦天明

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

摘要：證明了每一個右S-系A(chǔ)i滿足條件(P′)(條件(E′))當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件(P′)(條件(E′));得到了每一個右S-系 Ai滿足條件(P′)(條件(E′))與滿足條件(P′)((條件(E′))等價的充分必要條件.

關(guān)鍵詞：積;余積;滿足條件(P′);條件(E′);對角系

中圖分類號：O 152.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)03-0020-03

Productandcoproductforcondition(P′)andcondition(E′)

WANGLi-min，JIAOTian-ming

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

Abstract:This paper proves that every right S-acts Aisatisfies condition (P′)(resp.condition (E′)) if and only if the coproduct satisfies condition (P′)(resp.condition (E′)).It is obtained the characterization of monoids over which every right S-acts Aisatisfies condition(P′)(resp.condition (E′)) if and only if the product satisfies condition (P′)(resp.condition (E′)).

Key words:product;coproduct;conditions (P′);condition (E′);diagonal acts

0引言

設(shè)S是幺半群,一個非空集合A稱作是右S-系,如果存在一個映射f:A×S→A,(a,s)→as使得對任意的a∈A,s,t∈S,滿足(as)t=a(st),1a=a.記作AS.特別地,當(dāng)A=S×S時,如果定義(s,t)u=(su,tu),那么稱右S-系S×S為對角S-系,記作D(S).2009年,Bulman[1]對D(S)的平坦性做了討論.近些年來,D(S)的性質(zhì)已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注[2,3].

是局部循環(huán)S-系.關(guān)于(E′)也有類似的結(jié)果.

記E(S)為S的冪等元集,一元S-系ΘS為{θ}.再記

文中沒有特別說明的概念和記號見文獻(xiàn)[8].

1主要結(jié)果

定義1[2]對任意的a,a′∈A,s,s′,z∈S,若as=a′s′,sz=s′z,則存在a″∈A,u,v∈S,使得a=a″u,a′=a″v,us=vs′,那么稱右S-系A(chǔ)S滿足條件(P′).

定義2[2]對任意的a∈A,s,s′,z∈S,若as=as′,sz=s′z,則存在a′∈A,u∈S,使得a=a′u,us=us′,那么稱右S-系A(chǔ)i滿足條件(E′).

定義3[2]對任意的a,a′∈A,s∈S.若as=a′s,則存在a″∈A,u,v∈S,使得a=a″u,a′=a″v,us=vs.那么稱右S-系A(chǔ)i滿足條件(PWP).

命題3設(shè)S是幺半群，則以下條件等價:

(2)S是右可消的.

證明(1)?(2).對任意的a,a′,s∈S，若as=a′s,則(1,a)s=(1,a′)s.因為D(S)滿足條件(PWP),所以存在(c,d)∈D(S),使得

us=vs，

cu=cv=1,

(2)?(1).對任意的s∈S,a,b∈D(S)，如果as=bs,那么a=b，從而D(S)滿足條件(PWP).】

定理1設(shè)S是幺半群，則以下條件等價:

(2){θ}滿足條件(E′);

(3)S是弱左collapsible.

(2)?(3).對任意的s,s′,z∈S,顯然θs=θs′,sz=s′z.因為{θ}滿足條件(E′),所以存在u∈S,使得θ=θu,us=us′,故S是弱左collapsible.

(3)?(1).對于某個固定的i∈I,任意的ai∈Ai,s,s′,z∈S,假設(shè)ais=ais′,sz=s′z,因為S是弱左collapsible,所以存在u1∈S,使得u1s=u1s′.對某個固定的j,aj∈Aj,如果定義

定理2設(shè)S是幺半群，則以下條件等價:

(2){θ}滿足條件(P′);

(3)S是弱右reversible.

(2)?(3).對任意的s,s′,z∈S,顯然θs=θs′,sz=s′z.因為{θ}滿足條件(P′),所以存在u,v∈S,使得θ=θu,us=vs′,故S是弱右reversible.

即Ai滿足條件(P′).】

定義4[1]若AS的由兩個元素生成的任意子系包含在AS的一個循環(huán)子系中,則稱AS是局部循環(huán)的.類似地有局部循環(huán)主理想的概念.

定理3設(shè)S是幺半群，則以下條件等價:

(2)D(S)滿足條件(E′);

(3)對于任意的a,b∈S,非空集合lz(a,b)是S的局部循環(huán)主左理想.

證明(1)?(2).顯然.

(2)?(3).假設(shè)D(S)滿足條件(E′),任意的a,b∈lz(s,t),其中s,t∈S，則由as=bt,bs=bt可得(a,b)s=(a,b)t,sz=tz.因為D(S)滿足條件(E′),所以一定存在(c,d)∈D(S),使得(a,b)=(c,d)u,us=ut.所以存在u∈S使得a,b∈Su?lz(s,t).即lz(a,b)是S的局部循環(huán)主左理想.

us=us′.

定理4設(shè)S是幺半群，則以下條件等價:

(2)對角系D(S)滿足條件(P′);

(3)對于任意的a,b∈S,非空集合Lz(a,b)是S的局部循環(huán)S-系.

證明(1)?(2).顯然.

(2)?(3).假設(shè)D(S)滿足條件(P′),對任意的(a,b),(a′,b′)∈Lz(s,t),其中s,t∈S，有as=bt,a′s=b′t,從而(a,a′)s=(b,b′)t,sz=tz.因為對角系D(S)滿足條件(P′),所以存在(a″,b″)∈D(S),u,v∈S,使得(a,a′)=(a″,b″)u,(b,b′)=(a″,b″)v,us=vt,所以(a,a′),(b,b′)∈S(u,v)?Lz(s,t).即Lz(s,t)是局部循環(huán)的.

us=us′.

參考文獻(xiàn):

[1]BULMANF.Flatpropertiesofdiagonalactsovermonoids[J].Semigroup Forum,2009,79(2):298-314.

[2]GOLCHINA,MOHAMMADZADEHH.Oncondition(P′)[J].Semigroup Forum,2013,86(2):413-430.

[3]SEDAGHATJOOM,LAANV,ERSHADM.Principallyweakflatnessandregularityofdiagonalacts[J].Comm Algebra,2012,40(11):4019-4030.

[4]SEDAGHATJOOM,KHOSRAVIR,ERSHADM.Principallyweaklyandweaklycoherentmonoids[J].Comm Algebra,2009,37(2):4281-4295.

[5]QIAOHu-sheng.Somenewcharacterizationsofrightcancellativemonoidsbycondition(PWP)[J].Semigroup Forum,2005,71(1):134-139.

[6]GOLCHINA,MOHAMMADZADEHH.Oncondition(EP)[J].International Math Forum,2007,2(17-20):911-918.

[7]ZAREA,GOLCHINA,MOHAMMADZADEHH.Stronglytorsionfreeactsovermonoids[J].Asian-European Journal Mathematics,2013,6(3):1-22.

[8]EILPM,KNAUERU,MIKBALEVA.Monoid,Acts and Categories[M].NewYork,Berlin:WalterGruyter,2000.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

作者簡介：王利民(1950—),男,陜西子洲人,教授，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為半群代數(shù)理論.

收稿日期：2014-11-25;修改稿收到日期:2015-01-09

E-mail:wanglm@nwnu.edu.cn;151931@163.com