一類具有變時滯和脈沖的分層抑制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型周期解的存在性

佘連兵

(六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州六盤水　530004)

一類具有變時滯和脈沖的分層抑制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型周期解的存在性

佘連兵

(六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州六盤水530004)

摘要：應(yīng)用不等式技巧、Mawhin迭合度理論研究了帶分布連續(xù)時滯和脈沖的SICNNs模型周期解的存在性，得到系統(tǒng)至少存在一個ω周期解的充分條件.最后，通過一個例子驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

關(guān)鍵詞：全局指數(shù)穩(wěn)定；時滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；周期解；迭合度理論

中圖分類號：O 175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)03-0014-06

Existence of periodic solution for shunting inhibitory

cellular neural networks with variable delays and impulses

SHE Lian-bing

(Department of Mathematics,Liupanshui Normal College,Liupanshui 553004,Guizhou,China)

Abstract:This paper is devoted to the global existence of one periodic solution for shunting inhibitory cellular neural networks(SICNNs) with time varying and continuously distributed delays and impulses by using inequality techniques and the Mawhin’s continuation theorem，a sufficient condition that the system there has at least a ω-periodic solution is given.Finally,an example is provided to show the correctness of our analysis.

Key words:globally exponential stability;delayed cellular neural networks;periodic solution;Mawhin’s continuation theorem

0引言

近些年，許多領(lǐng)域?qū)Ψ謱右种萍?xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型產(chǎn)生了濃厚的興趣[1,2]，本文研究如下SICNNS模型周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性：

這里，i=1,2,…,n,j=1,2,…,m;aij∈C([0,+∞),R+)表示細(xì)胞活性的被動衰變；Cij表示在格子(i,j)處的細(xì)胞；xij表示神經(jīng)細(xì)胞Cij的狀態(tài)；遠(yuǎn)域區(qū)Nr(i,j)定義為

本文我們做如下假設(shè)：

(H2)f,g∈C(R,R)滿足利普希茨條件，且存在利普希茨常數(shù)Lf,Lg>0，使得

(H4)對x∈R,存在正常數(shù)Mf,Mg>0,使得

(H8) τkl(t)是以ω為周期的有界連續(xù)函數(shù).

為方便起見，記

1定義和引理

首先引入一些基礎(chǔ)知識和引理.令ω=mn,x(t)=(x11(t),…,xm1(t),…x1n(t),…xmn(t))T,用Ω表示所有周期函數(shù)構(gòu)成的集合.

定義1若對?t≥0，存在常數(shù)α>0和β>0，使得系統(tǒng)(1)的周期解x*滿足

則稱系統(tǒng)(1)的解x*是全局指數(shù)穩(wěn)定的，其中

下面考慮非脈沖帶時滯的微分方程

(2)

初始條件為

其中φij(t)定義如上.

引理2假設(shè)條件(H6)成立，則

( i )如果y(t)=(y11(t),…,ym1(t),…,y1n(t),…,ymm(t))是方程(2)的解，則

是系統(tǒng)(1)的解.

(ii)如果x(t)=(x11(t),…,xm1(t),…,x1n(t),…,xmm(t))是系統(tǒng)(1)的解，則

是方程(2)的解.

參考文獻(xiàn)引理2的證明可以[6]定理2.1的證明.

2周期解的存在性

為方便起見，記

定理1假設(shè)條件(H1)～(H9)成立，則系統(tǒng)(1)至少有一個以ω為周期的正解.

證明根據(jù)引理2，只需證明非脈沖時滯方程(2)有一個以ω為周期的解.為了應(yīng)用引理3證明方程(2)解的存在性，令

其中y的模定義為

則Y和Z為Banach空間.令

顯然，

dim KerL=mn=codim ImL.

因此，ImL是閉集，L是零指標(biāo)的Fredholm映射.易知，P、Q是連續(xù)映射，且滿足

ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(I-Q).

因此

KP(I-Q)Ny=

下面尋找一個合適的有界開集Ω?Y.對應(yīng)于算子方程Lx=λNx,λ∈(0,1)，可得到

(3)

假設(shè)對某個λ∈(0,1)，y=(y11,…,ym1,…,y1n,…,ymn)T∈Y是系統(tǒng)(3)的解，將yij(t)yij′(t)從0到ω積分可得

因此

由假設(shè)條件(H1),(H3～(H5),(H7),(H9)可知

其中

所以

(4)

因此

(5)

(6)

另一面，由(3)式和條件(H3)～(H5),(H7)可得

結(jié)合(4)式可得

(7)

由(6)和(7)式可得

其中

deg{JNQ,Ω∩KerL,0}=

因此，引理3的條件(b)滿足，從而方程(2)至少有一個以ω為周期的解，所以系統(tǒng)(1)至少有一個以ω為周期的解.】

3例子

下面給出一個例子驗(yàn)證定理1的結(jié)論.令m=n=3,f(x)=0.4sinx，g(x)=0.5[1-exp(-x)]/[1+exp(-x)]，易知，Mf=0.4,Mg=0.5,Lf=0.4,Lg=0.5,f(0)=g(0)=0.考慮脈沖微分方程

容易得到

(3.6458,4.7234,4.1303,3.9394,2.9594,

3.8399,2.9847,3.2345,3.9932)T，

(0.2548,0.1234,0.1303,0.3394,0.2594,

0.2399,0.1847,0.2345,0.3932)T,

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

作者簡介：佘連兵(1981—),男，河南信陽人,講師,碩士.主要研究方向?yàn)槲⒎址匠潭ㄐ岳碚?

基金項(xiàng)目:貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(LKZS[2011]2117,LKZS[2012]11,LKZS[2012]12,LKZS[2014]22)

收稿日期：2014-09-17;修改稿收到日期:2014-10-10

E-mail:shelianbing@163.com