雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

楊紀(jì)華，馬　旭，張二麗，李艷秋

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏固原　756000；

2.鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南鄭州　450000；

3.南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京　211800)

雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

楊紀(jì)華1，馬旭1，張二麗2，李艷秋3

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏固原756000；

2.鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，河南鄭州450000；

3.南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211800)

摘要：研究了具有雙時(shí)滯的Mackey-Glass系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分支.從系統(tǒng)線性化方程的特征方程根的分布入手，分別研究了單時(shí)滯和雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性.當(dāng)系統(tǒng)中的時(shí)滯經(jīng)過一系列臨界值時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支，并且當(dāng)時(shí)滯較大時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌吸引子.然后，利用中心流形理論和規(guī)范型方法分析了分支周期解的穩(wěn)定性和Hopf分支的分支方向.最后，數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Mackey-Glass系統(tǒng)；雙時(shí)滯；穩(wěn)定性；Hopf分支；混沌吸引子

中圖分類號(hào)：O 175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)03-0007-07

Stability and Hopf bifurcation

of Mackey-Glass system with two time delays

YANG Ji-hua1，MA Xu1，ZHANG Er-li2，LI Yan-qiu3

(1.Department of Mathematics and Computer Science,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,Ningxia,China;

2.Department of Computer Science,Zhengzhou Institute of Finance and Economics,Zhengzhou 450000,Henan,China;

3.Department of Science,Nanjing University of Technology,Nanjing 211800,Jiangsu,China)

Abstract:The stability and Hopf bifurcation of Mackey-Glass system with two time delays are studied.The linear stabilities with one delay and two delays are investigated,respectively.It is found that Hopf bifurcations exist when the delays pass through a sequence of critical values,furthermore,the system appears chaotic attractors with large time delays.Then,using the center manifold theorem and the normal form method,the direction and stability of the Hopf bifurcation are determined.In the end,some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

Key words:Mackey-Glass system;two time delays;stability;Hopf bifurcation;chaos attractor

分支現(xiàn)象常常出現(xiàn)在依賴參數(shù)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)中.當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，解的定性結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化.將平衡點(diǎn)與周期解聯(lián)系在一起的這種分支對(duì)于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)稱之為Hopf分支，對(duì)于離散動(dòng)力系統(tǒng)出現(xiàn)的不變閉曲線稱之為Neimark-Sacker分支.關(guān)于常微分方程或時(shí)滯微分方程的Hopf分支的討論，已有一些結(jié)果[1-3].文獻(xiàn)[4]研究了時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)表示血液循環(huán)中成熟細(xì)胞的質(zhì)量分?jǐn)?shù);τ表示在骨髓中產(chǎn)生未成熟細(xì)胞和血流釋放成熟細(xì)胞的時(shí)滯參數(shù);a為系統(tǒng)的反饋率;k,n為正常數(shù).作者應(yīng)用Trapezoidal方法[5]離散化系統(tǒng)(1)，分析了該離散化系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Neimark-Sacker分支的存在性，利用中心流形定理和規(guī)范型理論討論了Neimark-Sacker分支的穩(wěn)定性與分支方向.汪芙平等[6]以間歇驅(qū)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)了Mackey-Glass系統(tǒng)的同步，并把它與離散數(shù)字傳輸相結(jié)合構(gòu)成一種新的混沌通信方案.崔萬照等[7]根據(jù)混沌動(dòng)力系統(tǒng)的相空間延遲坐標(biāo)重構(gòu)理論，基于支持向量機(jī)的非線性映射能力，建立了Mackey-Glass混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型.

本文研究雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)

(2)

其中，x(t)表示血液循環(huán)中成熟細(xì)胞的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；τ1和τ2表示在骨髓中產(chǎn)生未成熟細(xì)胞和血流釋放成熟細(xì)胞的時(shí)滯參數(shù)；k是用于驅(qū)動(dòng)x(t)的松弛系數(shù)；a和b是系統(tǒng)的反饋率；n是正常數(shù).該模型的參數(shù)必須通過與造血相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定,其詳細(xì)的生物學(xué)意義可見文獻(xiàn)[8-10].本文從穩(wěn)定性與分支的角度研究具雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支進(jìn)行分析．

1平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

(3)

由于具有多重時(shí)滯微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)非常復(fù)雜，因此我們先討論當(dāng)τ1=0的情況，然后再討論τ1≠0的情況.

1.1τ1=0的情形

為了討論方便，我們做如下假設(shè)：

引理1( i ) 如果(H2)或者(H3)成立，則當(dāng)τ2>0時(shí)，方程(3)的所有根具有負(fù)實(shí)部.

(ii) 如果(H4)或者(H5)成立，則當(dāng)τ=τ2,j時(shí)，方程(3)有一對(duì)簡(jiǎn)單純虛根±iβ0;且當(dāng)τ2∈[0,τ2,0)時(shí)，方程(3)的所有根具有負(fù)實(shí)部，其中

證明λ=iβ(β>0)是方程(3)的根的充分必要條件是β滿足

平方相加可得

(4)

進(jìn)而可得

因?yàn)閗>(a+b)m，所以bm-k+am<0.

則(τ2,j,β0)是方程(3)的解，即λ=±iβ0是τ2=τ2,j時(shí)方程(3)的一對(duì)純虛根.

當(dāng)τ2>0時(shí)，τ2,0是使得方程(3)有根出現(xiàn)在虛軸上的第一個(gè)值，由文獻(xiàn)[11]中的推論2.4可得，當(dāng)τ2∈[0,τ2,0)時(shí)，方程(3)的所有根具有負(fù)實(shí)部.】

證明方程(3)兩端同時(shí)關(guān)于τ2求導(dǎo)可得

所以

進(jìn)而可得

定理1(i) 當(dāng)τ1=0時(shí)，如果(H2)或者(H3)成立，則當(dāng)τ2>0時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)x0是局部漸近穩(wěn)定的.

(ii)當(dāng)τ1=0時(shí)，如果(H4)或者(H5)成立，則當(dāng)τ2∈[0,τ2,0)時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)x0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ2∈[τ2,0,+∞)時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)x0是不穩(wěn)定的,而且當(dāng)τ2=τ2,j(j=0,1,2…)時(shí)，系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了Hopf分支，其中τ2,j由引理1所定義.

證明由引理1可得到(i)正確.由引理2可得，當(dāng)τ2∈[τ2,0,+∞)時(shí)，方程(3)至少有一對(duì)具有嚴(yán)格正實(shí)部的根，所以當(dāng)τ2∈[0,τ2,0)時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)x0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ2∈[τ2,0,+∞)時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)x0是不穩(wěn)定的.由文獻(xiàn)[12]中關(guān)于泛函微分方程的Hopf分支定理可得(ii)正確.】

1.2τ≠0時(shí)的情形

固定τ2，以τ1為參數(shù)，且τ2取值于使得方程(4)的根都具有負(fù)實(shí)部的區(qū)間.記

g(ω)=k2-2kbmcosτ2ω+

證明設(shè)iω(ω>0)是方程(3)的根，則

(5)

所以

k2-2kbmcosτ2ω+2ω bmsinτ2ω+

(6)

由假設(shè)可得方程的正根為{ω1,ω2,…,ωs}.令

定義

引理4如果ω0τ2cosω0τ1,0+(1+kτ2)sinω0τ1,0≠0，則

證明方程(3)兩端同時(shí)關(guān)于τ1求導(dǎo)可得

所以

其中

因?yàn)棣?τ2cosω0τ1,0+(1+kτ2)sinω0τ1,0≠0，所以

由引理1～4及文獻(xiàn)[12]第11章的定理1.1，可以得到下面關(guān)于系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性定理.

定理2假設(shè)(H1)成立,

( i )如果(H2)或者(H3)成立，且g(ω)沒有正根，則系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；如果(H2)或者(H3)成立，且g(ω)有正根，則當(dāng)τ1∈[0,τ1,0)時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.在后一種情況中，如果ω0τ2cosω0τ1,0+(1+kτ2)sinω0τ1,0≠0，則當(dāng)τ1=τ1,0時(shí)，系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了Hopf分支.

( ii )如果(H4)或者(H5)成立,τ2∈[0,τ2,0)，且g(ω)沒有正根，則當(dāng)τ1≥0時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；如果(H4)或者(H5)成立，τ2∈[0,τ2,0)，且g(ω)有正根，則當(dāng)τ1∈[0,τ1,0)時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.在后一種情況，如果ω0τ2cosω0τ1,0+(1+kτ2)sinω0τ1,0≠0，則當(dāng)τ1=τ1,0時(shí)，系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了Hopf分支.

2Hopf分支的分支方向和穩(wěn)定性

本文第1節(jié)得到了系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)經(jīng)歷Hopf分支的一些充分條件，本節(jié)研究Hopf分支的性質(zhì)，即Hopf分支的分支方向和穩(wěn)定性.我們總假設(shè)ω0τ2cosω0τ1,0+(1+kτ2)sinω0τ1,0≠0.

首先對(duì)系統(tǒng)(2)采用尺度變換t→t/τ1，可得

(7)

系統(tǒng)(7)在平衡點(diǎn)0處的線性化方程為

(8)

這里

方程(8)的特征方程為

(9)

比較方程(3)與方程(9)可得υ=τ1λ，因此當(dāng)τ1=τ1,0時(shí)，方程(9)有一對(duì)純虛根±iτ1,0ω0.令τ1=τ1,0+μ，則μ=0是系統(tǒng)(2)的Hopf分支值.

記C=C([-1,0],R)，對(duì)于φ∈C，令

由Risze表示定理，存在函數(shù)η(θ,μ)(-1≤θ≤0)，使得當(dāng)φ∈C時(shí),有

對(duì)φ∈C1([-1,0],R)，定義

(10)

于是，方程(2)可表示

(11)

其中u(t)=x(t),ut=u(t+θ),θ∈[-1,0],對(duì)ψ∈C1[0,1],R)，定義

對(duì)于φ∈C1([-1,0],R)和ψ∈C1([0,1],R),定義雙線性形式

其中η(θ)=η(θ,0),A*和A(0)是伴隨算子.

設(shè)ut是方程(7)當(dāng)μ=0時(shí)的解，定義z(t)=〈q*(θ),ut,w(t,θ)=ut(θ)-2Re{z(t)q(θ)},則在中心流形C0上有

(12)

將其記為

(13)

其中

(14)

(15)

其中

(16)

比較(15)式兩端的系數(shù)可得

(17)

由w(t,θ)=ut(θ)-2Re{z(t)q(θ)}可得

又因?yàn)?/p>

因此有

(18)

比較(14)和(18)式的系數(shù)可得

(19)

所以要求出g21，只需求出w11(-1),w20(-1),w11(-τ2/τ1)和w20(-τ2/τ1)即可.

當(dāng)θ∈[-1,0]時(shí)，由(19)式可得

與(16)式比較系數(shù)可得

進(jìn)而可得

所以

再由(17)式可得Aw20(0)=2iω0τ1,0w20(0)-H20(0),Aw11(0)=-H11(0)，因此由A的定義可得

由前面的分析可知，g20,g11,g02和g21都可由系統(tǒng)(2)中參數(shù)所確定.因此可以計(jì)算出下列值

定理3( i ) 當(dāng)τ=τ1,0時(shí)，系統(tǒng)(1)經(jīng)歷了Hopf分支，且當(dāng)μ2>0時(shí)，Hopf分支是上臨界的，當(dāng)μ2<0時(shí)，Hopf分支是下臨界的；

( ii )當(dāng)β2>0時(shí)，分支周期解是不穩(wěn)定的，當(dāng)β2<0時(shí)，分支周期解是穩(wěn)定的.

3數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(1)中取k=0.5,a=0.2,b=2,n=10,τ1=0，驗(yàn)證可得條件(H4)滿足，計(jì)算可得τ2,0≈0.6229.根據(jù)定理1，當(dāng)τ2=0.5時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,如圖1所示.當(dāng)τ2=7.78時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，且出現(xiàn)了混沌吸引子,如圖2所示.當(dāng)τ2=0.63時(shí)，計(jì)算可得μ2>0,β2<0，由定理1和定理3可得，系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了Hopf分支且是上臨界和局部漸近穩(wěn)定的，如圖3所示.

取τ2=0.5，計(jì)算得g(ω)沒有正根.根據(jù)定理2，當(dāng)τ1>0時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,如圖4和圖5所示.

圖1　當(dāng)τ1=0,τ2=0.5時(shí)，系統(tǒng)(2)的

圖2　當(dāng)τ1=0,τ2=7.78時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定

圖3　當(dāng)τ1=0,τ2=0.63時(shí)，系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了

圖4　當(dāng)τ1=1,τ2=0.5時(shí)，系統(tǒng)(2)的

圖5　當(dāng)τ1=15,τ2=0.5時(shí)，系統(tǒng)(2)的

4結(jié)論

本文研究了雙時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)模型，通過特征值方法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.首先，對(duì)τ1=0的情形，得到了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件，并給出了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性區(qū)域和Hopf分支的存在條件．然后，對(duì)τ1≠0的情形，討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.然后，應(yīng)用中心流形定理和規(guī)范型方法分析了分支周期解的穩(wěn)定性和Hopf分支的分支方向.最后，數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.利用得到的基本定理，能很好地判斷此類模型平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性和周期軌的存在性．

參考文獻(xiàn):

[1]WIGGINSS.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos[M].NewYork:Springer,1996:270-278.

[2]WANA,WEIJ.BifurcationanalysisofMackey-Glasselectroniccircuitsmodelwithdelayedfeedback[J].Nonlinear Dyn,2009,57:85-96.

[3]YANGJi-hua,LIUMei.Stabilityandbifurcationanalysisofman-machinesystemwithtimedelay[J].Chin Quart J of Math,2012,27(2):196-203.

[4]侯愛玉，彭震春.離散時(shí)滯Mackey-Glass系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010,24(5):23-27.

[5]HAIRERE,WANNERG.Solving Ordinary Differential Equations Ⅱ:Stiff and Differential Algebraic Equations[M].NewYork:Springer,1993.

[6]汪芙平，王贊基，郭靜波.Mackey-Glass系統(tǒng)的間歇驅(qū)動(dòng)同步實(shí)現(xiàn)混沌通信[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003,43(3):33-38.

[7]崔萬照，朱長(zhǎng)純，保文星,等.混沌時(shí)間序列的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)[J].物理學(xué)報(bào),2004,53(10):3303-3310.

[8]SHAHVERDIEVEM,NURIEVRA,HASHIMOVRH.ChaossynchronizationbetweentheMackey-Glasssystemswithmultipletimedelays[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,29:854-861.

[9]MACKEYM,HEIDENU.Dynamicdiseasesandbifurcationsinphysiologicalcontrolsystems[J].Funk Biol Med,1982,1:156-164.

[10]BEREZANSKVL,BRAVERMANE,IDELSL.Mackey-Glassmodelofhematopoiesiswithnon-monotonefeedback:stability,oscillationandcontrol[J].Applied Mathematics and Computation,2013,219:6268-6283.

[11]RUANS,WEIJ.Onthezerosoftranscendentalfunctionstostabilityofdelaydifferentialequationswithtwodelays[J].Dyn Contin Discrete Impuls Syst A Math Anal,2003,10:863-874.

[12]HALEJK,LUNELSV.Introduction to Functional Differential Equation[M].NewYork:Springer,1993.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

作者簡(jiǎn)介：楊紀(jì)華(1983—)，男，河南周口人，講師，碩士.主要研究方向?yàn)槲⒎址匠痰姆€(wěn)定性與分支理論.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361046,11301263)；寧夏回族自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ13213)；寧夏師范學(xué)院創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目(zy201207)

收稿日期：2014-06-18;修改稿收到日期:2014-10-10

E-mail:jihua1113@163.com