含兩個(gè)消費(fèi)者和一個(gè)生物資源的Armstrong-McGehee擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

伏升茂，李琦蔚

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

含兩個(gè)消費(fèi)者和一個(gè)生物資源的Armstrong-McGehee擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

伏升茂，李琦蔚

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

摘要：討論一個(gè)含有兩個(gè)消費(fèi)者和一個(gè)生物資源的Armstrong-McGehee強(qiáng)耦合交錯(cuò)擴(kuò)散系統(tǒng).首先，通過(guò)線性化方法和構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)得到弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)非負(fù)平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性；其次，分析交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)對(duì)非負(fù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響，證明了當(dāng)交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)充分大時(shí)會(huì)產(chǎn)生Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象.

關(guān)鍵詞：Armstrong-McGehee 模型；交錯(cuò)擴(kuò)散系統(tǒng)；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；Turing不穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O 175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)03-0001-06

Stability analysis of an Armstrong-McGehee diffusive system with

two consumers and one biotic resource

FU Sheng-mao,LI Qi-wei

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Abstract:An Armstrong-McGehee strong coupled cross-diffusion system with two consumers and one biotic resource is studied. Firstly，the local and global asymptotical stability of the nonnegative equilibrium points of weakly coupled reaction-diffusion system are obtained by linearization and constructing Lyapunov function.Secondly，the effect of cross-diffusion coefficient on the stability of the nonnegative equilibrium points is discussed.The results show that cross-diffusion can induce Turing instability if the cross-diffusion coefficient is sufficiently large.

Key words:Armstrong-McGehee model;cross-diffusion system;equilibrium point;stability;Turing instability

2013年，Xiao等[1]提出了一類含有兩個(gè)消費(fèi)者和一個(gè)生物資源的Armstrong-McGehee 模型

(1)

其中，P1,P2和R分別表示兩個(gè)消費(fèi)者和生物資源的密度;r和K分別表示生物資源的內(nèi)稟增長(zhǎng)率環(huán)境容納量;Di(i=1,2)是消費(fèi)者的死亡率;Bi(i=1,2)是消費(fèi)者的轉(zhuǎn)化率;hi(i=1,2)是消費(fèi)者的消化系數(shù);Ci(i=1,2)是消費(fèi)者的捕食率.

作變換t′=tr,u1=P1/kB1,u2=P2/kB2,u3=R/K,并仍記t′為t，再令ai=BiCik/r,bi=kCihi,mi=Di/r(i=1,2),則Armstrong-McGehee模型(1)可化為

(2)

與模型(2)相應(yīng)的弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散模型是

其中Ω?Rn是邊界光滑的有界區(qū)域，η為邊界?Ω上的單位外法向量，?η=?/?η,正常數(shù)di(i=1,2,3)被稱為擴(kuò)散系數(shù)，初值ui0(i=1,2,3)是滿足相容性條件的非負(fù)不恒為0的光滑函數(shù).

在生態(tài)系統(tǒng)中,種群的增長(zhǎng)規(guī)律往往既依賴于時(shí)間和空間變量,還依賴于種群內(nèi)部之間和不同種群之間的作用關(guān)系.因此,我們需要進(jìn)一步研究交錯(cuò)擴(kuò)散模型,與模型(3)相應(yīng)的一個(gè)簡(jiǎn)化的SKT型交錯(cuò)擴(kuò)散模型是

這里d13,d23為交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù).

文獻(xiàn)[1]主要研究了模型(1)中兩個(gè)非線性競(jìng)爭(zhēng)消費(fèi)者之間的排斥和共存作用，得到了兩個(gè)消費(fèi)者潛在的共存區(qū)域和已共存的區(qū)域，它們共存區(qū)域的大小主要隨著消費(fèi)者之間相似性的減少而擴(kuò)展.經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，系統(tǒng)(2)始終有平凡平衡點(diǎn)E0=(0,0,0)和半平凡平衡點(diǎn)E1=(0,0,1)；如果條件

(H1)a1>b1m1+m1

成立，則系統(tǒng)(2)有半平凡平衡點(diǎn)E2=(u*1,0,u*3)，其中

如果條件

(H2)a2>b2m2+m2

在m1(a2-b2m2)=m2(a1-b1m1)和另一些附加條件下，系統(tǒng)(2)才有正平衡點(diǎn)，且正平衡點(diǎn)不是孤立的.

本文主要應(yīng)用線性化方法和Lyapunov方法討論擴(kuò)散系數(shù)d1,d2,d3,d13,d23對(duì)系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的影響.證明當(dāng)反應(yīng)函數(shù)的系數(shù)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)(4)的非負(fù)平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，即沒(méi)有發(fā)生擴(kuò)散導(dǎo)致Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象.但附加一定的條件后，當(dāng)交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)充分大時(shí)，系統(tǒng)(4)的非負(fù)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，即大交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)可導(dǎo)致Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生.

1弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

本節(jié)主要討論弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(3)整體解的存在性、一致有界性及其非負(fù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

證明由文獻(xiàn)[2]可知，系統(tǒng)(3)在[0,T)上存在唯一的古典解，記作U=(u1,u2,u3)，其中T是最大存在區(qū)間.由比較原理易知，當(dāng)(x,t)∈Ω×[0,T)時(shí)，ui(x,t)≥0(i=1,2,3).

V=u1+u2+u3,k=min{m1,m2},

則由Young不等式有

因此，

下面應(yīng)用線性化方法分析模型(3)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，其中不穩(wěn)定性結(jié)論是ODE模型(2) 的自然推廣，因?yàn)?2)的解是(3)的特解.

定理2下列結(jié)論成立：

(a)平凡平衡點(diǎn)E0是無(wú)條件不穩(wěn)定的；

(b)當(dāng)a1m1(1+b1)或a2>m2(1+b2)時(shí)，E1不穩(wěn)定.

(c)當(dāng)條件(H1)成立，且條件

(H3)a1(b1-1)

成立時(shí)，E2是局部一致漸近穩(wěn)定的;當(dāng)a1(b1-1)>b1m1(b1+1)或a2m1/[a2+(b2-b1)m1]-m2>0時(shí)，E2不穩(wěn)定.

(d)當(dāng)條件(H2)成立，且條件

(H5)a2(b2-1)

成立時(shí)，E3是局部一致漸近穩(wěn)定的;當(dāng)a2(b2-1)>b2m2(b2+1)或a1m2/[a2+(b1-b2)m2]-m1>0時(shí)，E3不穩(wěn)定.

由于(b)，(c)，(d)的證明是類似的，所以我們僅給出(c)的詳細(xì)證明過(guò)程.

設(shè)D=diag(d1,d2,d3),L=DΔ+Fu(E2),這里

其中

系統(tǒng)(3)在E2處的線性化系統(tǒng)為ut=Lu.對(duì)?i≥1,Xi是算子L的不變子空間，λ是算子L的特征值當(dāng)且僅當(dāng)它是矩陣-μiD+Fu(E2)的特征值.矩陣-μiD+Fu(E2)的特征多項(xiàng)式為

這里

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，有

其中

當(dāng)條件(H3),(H4)成立時(shí)，a22,a33均為負(fù)，即有Ai>0,Ci>0,Hi>0.根據(jù)Routh-Hurwits判別法知，φi(λ)=0的三個(gè)根λi,1,λi,2,λi,3均有負(fù)實(shí)部.

設(shè)λ=μiξ,則

因?yàn)楫?dāng)i→∞時(shí)μi→∞，所以

那么當(dāng)i≥i0時(shí)，

故由特征值組成的譜在集合{Reλ≤-δ}中.由文獻(xiàn)[3]定理5.1.1知，平衡點(diǎn)E2是局部一致漸近穩(wěn)定的.】

下面討論E1,E2,E3的全局漸近穩(wěn)定性.由文獻(xiàn)[4]，有

引理1設(shè)a,b為正常數(shù)，φ,ψ∈C1[a,∞),φ(t)≥0,ψ(t)有下界，如果ψ′(t)≤-bφ(t),φ′t)≤K,t∈[a,∞),K為正常數(shù)，則

定理3(a)當(dāng)a1

(b)當(dāng)條件(H1)成立，且條件

成立時(shí)，E2是全局漸近穩(wěn)定的；

(c)當(dāng)條件(H2)成立,且條件

成立時(shí)，E3是全局漸近穩(wěn)定的.

證明這里我們僅給出(b)的詳細(xì)證明過(guò)程，因?yàn)?a)，(b)，(c)的證明是類似的.

設(shè)(u1,u2,u3)是系統(tǒng)(3)的唯一解.由定理1和文獻(xiàn)[5]定理A2知，對(duì)?t0>0，有

定義Lyapunov函數(shù)

其中q=1,p=1+b1u*3，則

由條件(H5),(H6)可知，

由引理1得

(6)

由系統(tǒng)(3)和解的有界性知，當(dāng)t∈[1,∞)時(shí)，g(t)的導(dǎo)數(shù)有界.由引理1知，當(dāng)t→∞時(shí)g(t)→∞，因此

利用Pioncare不等式得

(7)

(8)

當(dāng)t=tn時(shí)，由系統(tǒng)(3)的第三式有

(9)

(10)

由(6)式和(10)式得ω1=u*1,ω2=u*2=0,ω3=u*3.所以

這就證明了E2的全局漸近穩(wěn)定性.

為完善起見(jiàn)，我們給出與E1,E3相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)：

2交錯(cuò)擴(kuò)散對(duì)Turing不穩(wěn)定性的影響

類似于文獻(xiàn)[6]定理1.3的證明過(guò)程,我們可以得到模型(4)解的整體存在性.本節(jié)主要討論模型(4)中交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)d13和d23對(duì)非負(fù)平衡點(diǎn)E2和E3穩(wěn)定性的影響.

定理4(a)如果條件(H1),(H3),(H4),(H7),(H8)及條件

(b)如果條件(H2),(H5),(H6),(H9),(H10)及條件

證明由于(a)和(b)的證明是類似的，所以我們只對(duì)(a)做詳細(xì)證明.

令K(u)=((d1+d13u3)u1,(d2+d23u3)u2,d3u3)T，則模型(4)在平衡點(diǎn)E2=(u*1,0,u*3)處的線性化問(wèn)題為

其中

設(shè)A(μ)=μKu(E2)-Fu(E2)，記

(11)

其中

考慮如下極限：

由連續(xù)性知方程D(d13;μ)=0的三個(gè)根滿足如下性質(zhì)：

下面給出滿足定理4的條件的兩個(gè)例子.

例1在模型(4)中令a1=4,b1=3/2,m1=1,a2=3,b2=2,m2=2,d1=d2=d3=1,d13=300(d13較大)，則問(wèn)題(4)的非負(fù)平衡點(diǎn)為(6/25,0,2/5)，這些系數(shù)滿足定理4(a)的所有條件.

例2在模型(4)中令a1=4,b1=4,m1=4,a2=8,b2=5/4,m2=2,d1=d2=d3=1,d23=200(d23較大),則問(wèn)題(4)的非負(fù)平衡點(diǎn)為(0,14/121,4/11)，這些系數(shù)滿足定理4(b)的所有條件.

3結(jié)論

本文主要研究了含兩個(gè)消費(fèi)者和一個(gè)生物資源的Armstrong-McGehee交錯(cuò)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由定理2和定理3知,當(dāng)模型(3)的系數(shù)滿足條件(H1)～(H10)時(shí),弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散模型(3)與ODE模型(2)的解的穩(wěn)定性相似,也就是自擴(kuò)散并沒(méi)有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但是,由定理4可知,當(dāng)附加條件(H11)和(H12)后,若交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)充分大,就會(huì)有擴(kuò)散導(dǎo)致 Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生.

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

作者簡(jiǎn)介：伏升茂(1966—)，男，甘肅秦安人，教授，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061031)

收稿日期：2014-09-12;修改稿收到日期:2014-10-27

E-mail:fusm@nwnu.edu.cn;liqiwei369@163.com