基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

樊新海，梁瑞剛

(裝甲兵工程學(xué)院 機(jī)械工程系，北京　100072)

基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

樊新海，梁瑞剛

(裝甲兵工程學(xué)院 機(jī)械工程系，北京100072)

摘要：針對(duì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，利用Morlet小波在時(shí)域、頻域都具有良好集中性的特點(diǎn)，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過(guò)多個(gè)具有不同中心頻率的Morlet小波時(shí)域疊加，在頻域構(gòu)建出平頂濾波器的方法；結(jié)果表明：基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法易于理解和編程實(shí)現(xiàn)，通過(guò)合理選擇設(shè)計(jì)參數(shù)可快速設(shè)計(jì)出所需的高性能濾波器。

關(guān)鍵詞：信號(hào)處理；數(shù)字濾波；濾波器設(shè)計(jì)；組合Morlet小波

本文引用格式：樊新海，梁瑞剛.基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)[J].四川兵工學(xué)報(bào)，2015(12):122-125.

Citation format:FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang.Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet[J].Journal of Sichuan Ordnance,2015(12):122-125.

Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet

FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang

(Department of Mechanical Engineering，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China)

Abstract:Aiming at the problem of digital filter design, this paper studied on a method of constructing flat-roofed filter by multi-Morlet wavelet with different center frequency time-domain superposition, using Morlet wavelet with well centrality in both time domain and frequency domain, along with linearity, scaling, frequency-shifting of Fourier transform property. The result indicates that the design of digital filter based on combined Morlet wavelet is comprehensible and easy to program and the requisite high-powered filter can design rapidly by selecting reasonable design parameter.

Key words:signal processing; digital filter; filter design; combined Morlet wavelet

在工程測(cè)試和信號(hào)處理中，濾波器是常用的儀器之一，主要用于信號(hào)選頻，將感興趣的頻率成分提取出來(lái)，而將不感興趣的頻率成分衰減掉。信號(hào)在復(fù)雜系統(tǒng)中傳輸時(shí)，每通過(guò)其中的一個(gè)環(huán)節(jié)，都會(huì)受到該環(huán)節(jié)傳輸特性的影響，使信號(hào)有所變化(衰減、放大、延遲等)，這就形成了更為廣泛的濾波和濾波器的概念。

按照信號(hào)處理的性質(zhì)，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)不但比模擬濾波器容易的多，而且還能獲得較理想的濾波器性能，在數(shù)字信號(hào)處理中應(yīng)用非常廣泛。在經(jīng)典數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中包括無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器(IIR，Infinite Impulse Response)設(shè)計(jì)和有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR，F(xiàn)inite Impulse Response)設(shè)計(jì)兩大類[1]。FIR濾波器可實(shí)現(xiàn)線性相位，為獲得較好的性能，常需要較高的階次，若對(duì)信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性沒(méi)有特殊要求，F(xiàn)IR濾波器是較好的選擇。

經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)原理和方法都很成熟。筆者利用Morlet小波在時(shí)域、頻域都具有良好集中性的特點(diǎn)，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過(guò)多個(gè)具有不同中心頻率的Morlet小波時(shí)域疊加，在頻域構(gòu)建出平頂濾波器的設(shè)計(jì)方法。利用Delphi編寫了應(yīng)用程序，并給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。

1Morlet小波

Morlet小波是小波分析中非常具有代表性的一種經(jīng)典小波，其定義為

(1)

它是一具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)，實(shí)部為

(2)

虛部為

(3)

傅里葉變換為

(4)

理論上，Morlet小波不是緊支撐的，一般取Ω0=5或更大，t∈(-4，4)或更寬，可使ψ(t)和Ψ(Ω)在時(shí)域、頻域都具有較好的集中[2-4]。Morlet小波的實(shí)部、虛部、包絡(luò)、頻譜分別如圖1~圖4所示。

圖1　Morlet小波實(shí)部波形

圖2　Morlet小波虛部波形

圖3　Morlet小波的包絡(luò)

圖4　Morlet小波的頻譜(Ω0=5)

從圖4可見(jiàn)，Morlet小波的頻譜具有帶通特性，中心頻率的位置由Ω0確定[5]。但總體來(lái)看，若使用單個(gè)Morlet小波作為濾波器使用時(shí)，性能不太理想，主要缺點(diǎn)是過(guò)渡帶較寬，通帶不夠平直。為此，可以用多個(gè)Morlet小波組合來(lái)提升濾波器的性能[6]。

2組合Morlet小波

將式(1)改寫為

(5)

假定組合Morlet小波是由M個(gè)形如式(5)的單個(gè)Morlet小波疊加而成，首個(gè)Morlet小波的中心頻率為fL，依次按間隔Δf遞增，最后一個(gè)Morlet小波的中心頻率即為fH=fL+MΔf。這樣，組合Morlet小波中各單個(gè)Morlet小波的中心頻率分別為

一支筆、一個(gè)本子、一臺(tái)望遠(yuǎn)鏡這是王寶生瞭望工作的標(biāo)配，每天一早王寶生就得圍繞整個(gè)瞭望臺(tái)巡視一圈，及時(shí)向徂徠山林場(chǎng)匯報(bào)情況。

由此構(gòu)造出的組合Morlet小波為

(6)

式(6)中：C為使組合小波濾波器幅頻特性通帶取值為1的修正系數(shù)。

由式(6)可見(jiàn)，組合Morlet小波ψc(t)時(shí)域上是由M個(gè)高斯信號(hào)復(fù)調(diào)制后疊加而成，頻域上是由M個(gè)中心頻率為fm的ψa(t)頻譜疊加而成。

3數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

通過(guò)合理選擇式(6)中的a、fL、M和Δf等參數(shù)，就可以設(shè)計(jì)出具有不同功能的濾波器。其中，fL為通帶起始頻率，fH為通帶截止頻率，a和Δf決定了過(guò)渡帶的斜率和通帶紋波，M和Δf決定了濾波器的帶寬B=fH-fL=MΔf。

上述參數(shù)中，a和Δf的選取至關(guān)重要，應(yīng)該兼顧以下3方面：濾波器過(guò)渡帶盡可能窄；通帶盡可能平；組合小波的個(gè)數(shù)盡可能少。為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程，經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，選定一組比較理想的參數(shù)取值：a=0.2，Δf=1，t∈(-4a，4a)，C=fs。這樣，只要給定起始頻率fL，組合小波的個(gè)數(shù)M，采樣頻率fs，就可以設(shè)計(jì)出具有線性相位的高性能濾波器，且濾波器是解析的。下面分別舉例說(shuō)明，例中所使用的采樣頻率均為fs=256 Hz。

3.1　單通帶濾波器設(shè)計(jì)

經(jīng)典濾波器中的低通濾波器、高通濾波器和帶通濾波器在此都可按單通帶濾波器設(shè)計(jì)。

對(duì)于低通濾波器，設(shè)定起始頻率fL=0 Hz，再根據(jù)截止頻率確定出M值即可。例如，當(dāng)M=21時(shí)，濾波器的通帶為0~20 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖5、圖6所示。

圖5　低通濾波器幅頻特性曲線

圖6　低通濾波器相頻特性曲線

對(duì)于高通濾波器，設(shè)定起始頻率fL，截止頻率直接取fH=fs/2，確定出M值即可。例如，當(dāng)fL=60 Hz，M=69時(shí)，高通濾波器的通帶為60~128 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖7、圖8所示。

圖7　高通濾波器幅頻特性曲線

圖8　低通濾波器相頻特性曲線

對(duì)于帶通濾波器，設(shè)定起始頻率fL，再根據(jù)截止頻率確定出M值即可。例如，當(dāng)fL=20 Hz，M=41時(shí)，帶通濾波器的通帶為20~60 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖9、圖10所示。

圖9　帶通濾波器的幅頻特性曲線

圖10　帶通濾波器的相頻特性曲線

3.2　多通帶濾波器設(shè)計(jì)

該方法可方便地設(shè)計(jì)多通帶濾波器[7]。例如，一個(gè)兩通帶濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)為fL1=20 Hz，M1=11，fL2=60 Hz，M2=21，則濾波器的通帶為20~30 Hz和60~80 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖11、圖12所示。

圖11　兩通帶濾波器的幅頻特性曲線

圖12　兩通帶濾波器的相頻特性曲線

帶阻濾波器可以看作是一個(gè)兩通帶濾波器，低頻段按低通濾波器設(shè)計(jì)，高頻段按高通濾波器設(shè)計(jì)即可。比如低通濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)為fL1=0 Hz，M1=21，高通濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)為fL2=60 Hz，M2=69時(shí)，此時(shí)帶阻濾波器的阻帶為20~60 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖13、圖14所示。

圖13　帶阻濾波器的幅頻特性曲線

圖14　帶阻濾波器的相頻特性曲線

4結(jié)論

基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，利用了Morlet小波在時(shí)域、頻域都具有良好集中性的特點(diǎn)，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，通過(guò)多個(gè)具有不同中心頻率的Morlet小波時(shí)域疊加，在頻域構(gòu)建出平頂?shù)臑V波器，設(shè)計(jì)原理易于理解，設(shè)計(jì)方法易于編程實(shí)現(xiàn)。

1) 為了保證濾波器的過(guò)渡帶窄，小波參數(shù)a應(yīng)選擇大一些。但此時(shí)為了保證通帶平直，Δf就要小一些，所使用的小波個(gè)數(shù)會(huì)多一些。因此，a和Δf的取值不唯一，可以有多種不同的組合。

2) 為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程，取a=0.2，Δf=1，t∈(-4a，4a)，C=fs是一種較好的參數(shù)選擇。這樣濾波器的通帶完全由起始頻率fL和組合小波的個(gè)數(shù)M確定。

3) 經(jīng)典濾波器中的低通、高通、帶通濾波器均可按單通帶濾波器設(shè)計(jì)，帶阻濾波器可按兩通道帶通濾波器設(shè)計(jì)。

4) 在多通帶濾波器設(shè)計(jì)中優(yōu)勢(shì)明顯，且每個(gè)通帶的起始頻率和帶寬可以靈活選擇，尤其對(duì)于窄帶梳狀濾波器的設(shè)計(jì)可以取得很好的性能。

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【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

中圖分類號(hào)：TN911.72

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-0707(2015)12-0122-04

doi:10.11809/scbgxb2015.12.030

作者簡(jiǎn)介：樊新海(1973—)，男，副教授，博士，主要從事信號(hào)分析與故障診斷研究。

基金項(xiàng)目：軍隊(duì)科研計(jì)劃項(xiàng)目

收稿日期：2015-06-27