例析函數(shù)中的“任意存在”與“存在任意”問題

☉浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生

例析函數(shù)中的“任意存在”與“存在任意”問題

☉浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生

函數(shù)中的任意性與存在性問題，是函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯處的一個(gè)十分活躍的知識點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)題型.這類題型通常有以下四種情形：一是單函數(shù)單變量中的任意性與存在性問題；二是雙函數(shù)單變量中的任意性與存在性問題；三是雙函數(shù)雙變量中的任意存在型問題；四是單函數(shù)雙變量中的任意存在型問題（包括任意存在型與存在任意型）.前三種情形已為大家所熟知，而第四種情形是近幾年出現(xiàn)的新題型，本文僅對此型函數(shù)進(jìn)行探討，并分如下兩種情況例說其求解策略，供參考.

一、任意存在型

例1已知函數(shù)f（x）=ax-3a+1，若對任意a∈R，存在x0∈［1，4］，使得f（x0）≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對任意a∈R，存在x0∈［1，4］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x0）max］min≥t.易知一次函數(shù)f（x0）在［1，4］上的最大值f（x0）max為M（a）=max{f（1），f（4）}.因?yàn)閒（1）= -2a+1，f（4）=a+1，所以M（a）= max{-2a+1，a+1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫出其在R上的圖像（如圖1），觀察圖像可知，M（a）min=M（0）=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評注：此型函數(shù)僅有一個(gè)f（x），但變量有兩個(gè)：任意變量a在先，存在變量x0在后，因此不等式f（x0）≥t首先應(yīng)理解為關(guān)于x0在［1，4］上的有解不等式（故f（x0）max≥t），其次再將所得不等式f（x0）max≥t理解為關(guān)于a在R上的恒成立不等式（因?yàn)榇藭r(shí)變量x0已然“退出”，所以f（x0）max僅為關(guān)于變量a的表達(dá)式M（a）），從而有［f（x0）max］min≥t.其中，內(nèi)層函數(shù)的最大值是對變量x0而言的，而外層對最大值而求的最小值是對變量a而言的.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax-2a-10，若對任意a∈R，存在x0∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對任意a∈R，存在x0∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x0）max］min≥t.易知開口朝上的二次函數(shù)f（x0）在［-1，3］上的最大值f（x0）max為M（a）=max{f（-1），f（3）}.因?yàn)閒（1）= -3a-9，f（3）=a-1，所以M（a）= max{-3a-9，a-1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫出其在R上的圖像（如圖2），觀察圖像可知，M（a）min=M（-2）=-3，從而t≤-3，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-3］.

評注：（1）觀察圖像易知，單調(diào)函數(shù)與開口朝上的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最大值都只能在區(qū)間端點(diǎn)處取得；（2）函數(shù)M（a）=max{g1（a），g2（a）}（a∈R）的圖像由函數(shù)g1（a）與g2（a）兩者圖像中較高的部分組成.

變式2：已知函數(shù)f（x）=x2+（a-2）x，若對任意a∈［0，4］，存在x0∈［-1，1］，使得|f（x0）|≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對任意a∈［0，4］，存在x0∈［-1，1］，使得|f（x0）|≥t成立，只需［|f（x0）|max］min≥t.由圖像易知|f（x0）|在［-1，1］上的最大值|（fx0）|max為M（a）=max其中為函數(shù)（fx）的對稱軸.因?yàn)閨（f1）|=|1+（a-2）|，|（f-1）|= |1-（a-2）|，所以max{|（f1）|，|（f-1）|}=1+|a-2|.又所以視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，先畫出其在R上的圖像（如圖3），然后截取它在［0，4］上的“片段”，觀察圖像可知，M（a）min=M（2）=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評析：（1）觀察圖像易知，當(dāng)f（x）為開口朝上的二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)|f（x）|在閉區(qū)間內(nèi)的最大值可能在區(qū)間端點(diǎn)或極大值點(diǎn)處取得（三者中最大的）；（2）變式2中還運(yùn)用了性質(zhì)：max{|a+b|，|a-b|}=|a|+|b|（a，b∈R）（請讀者自行證明）.

二、存在任意型

例2已知函數(shù)f（x）=-ax+3a-1，若存在a∈R，對任意x∈［1，4］，都有f（x）≥t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈R，對任意x∈［1，4］，都有f（x）≤t恒成立，只需［f（x）min］max≥t.易知一次函數(shù)f（x0）在［1，4］上的最小值f（x）min為M（a）=min{f（1），f（4）}.因?yàn)閒（1）=2a-1，f（4）=-a-1，所以M（a）=min{2a-1，-a-1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫出其在R上的圖像（如圖4），觀察圖像可知，M（a）max=M（0）=-1，從而t≤-1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-1］.

評注：此型函數(shù)僅有一個(gè)f（x），但變量有兩個(gè)：存在變量a在先，任意變量x在后，因此不等式f（x）≥t首先應(yīng)理解為關(guān)于x在［1，4］上的恒成立不等式（故f（x）min≥t），其次，再將所得不等式f（x）min≥t理解為關(guān)于a在R上的有解不等式（因?yàn)榇藭r(shí)變量x已然“退出”，所以f（x）min僅為關(guān)于變量a的表達(dá)式M（a）），從而有［f（x）min］max≥t.其中，內(nèi)層函數(shù)的最小值是對變量x而言的，而外層對最小值而求的最大值是對變量a而言的.

變式1：已知函數(shù)f（x）=-x2-ax+2a+10，若存在a∈R，對任意x∈［-1，3］，都有f（x）≥t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈R，對任意x∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x）min］max≥t.易知開口朝下的二次函數(shù)f（x）在［-1，3］上的最小值f（x）min為M（a）=min{f（-1），f（3）}.因?yàn)閒（1）=3a+9，f（3）=-a+1，所以M（a）=min{3a+9，-a+1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫出其在R上的圖像（如圖5），觀察圖像可知，M（a）min= M（-2）=3，從而t≤3，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，3］.

評注：（1）觀察圖像易知，單調(diào)函數(shù)與開口朝下的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最小值都只能在區(qū)間端點(diǎn)處取得；（2）函數(shù)M（a）=min{g1（a），g2（a）}（a∈R）的圖像由函數(shù)g1（a）與g2（a）兩者圖像中較低的部分組成.

變式2：已知函數(shù)f（x）=-x2+（2-a）x，若存在a∈［0，4］，對任意x∈［-1，1］，都有|f（x）|≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈［0，4］，對任意x∈［-1，1］，都有|f（x）|≥t恒成立，只需［|f（x）|min］max≥t.由圖像易知|f（x）|在［-1，1］上的最小值（|fx）|min為M（a）=min其中為函數(shù)（fx）的對稱軸.因?yàn)閨（f1）|=（|-1）+（a-2）|，所以min{|f（1）|，|f（-1）|}=|1-|a-2||.又，所以M（a）=min視 M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，先畫出其在R上的圖像（如圖6），然后截取它在［0，4］上的“片段”，觀察圖像可知，M（a）max=M（0）（或M（4））=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評注：（1）觀察圖像易知，當(dāng)f（x）為開口朝下的二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)|f（x）|在閉區(qū)間內(nèi)的最小值可能在區(qū)間端點(diǎn)或極小值點(diǎn)處取得（三者中最小的）；（2）變式2中還運(yùn)用了性質(zhì)：min{|a+b|，|a-b|}=||a|-|b||（a，b∈R）（請讀者自行證明）.

友情鏈接：此二型解題過程中常用到如下結(jié)論：

（1）若對任意x∈D，不等式t≤f（x）恒成立?t≤f（x）min（x∈D）；

（2）若對任意x∈D，不等式t≥f（x）恒成立?t≥f（x）max（x∈D）；

（3）若存在x∈D，使不等式t≤f（x）成立?t≤f（x）max（x∈D）；

（4）若存在x∈D，使不等式t≥f（x）成立?t≥f（x）min（x∈D）.

通過上述例題和變式可以看出，此二型題目中均只含有一個(gè)函數(shù)、兩個(gè)變量（任意型變量和存在型變量），由于這兩個(gè)變量沒有關(guān)聯(lián)（即它們在各自區(qū)間上的取值具有獨(dú)立性），因此這類題型均可轉(zhuǎn)化為恒成立問題與有解問題，最后借助上述鏈接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題加以解決.但此二型在將其看作是有解問題還是恒成立問題的次序上顯然是有差別的：“任意存在型”首先是對存在變量的有解問題，然后才是對任意變量的恒成立問題；而“存在任意型”正好與之相反，即它首先是對任意變量的恒成立問題，然后才是對存在變量的有解問題.可見，此類題型已將恒成立問題與有解問題揉為一體、交相輝映，對學(xué)生的能力是一種極好的考查，因此在高三的復(fù)習(xí)備考中應(yīng)引起足夠的重視.

1.傅建紅.聚焦函數(shù)中的任意性與存在性問題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（3）.F