對“同類”高考試題的解析與思考

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學 丁美琴

對“同類”高考試題的解析與思考

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學 丁美琴

高考試題是命題人精心設計、匠心獨運的結果，研究高考試題不僅可以探尋試題本身的奧妙，而且還可推測命題人的設計意圖和命題取向，從而為高考復習提供導航.然而數(shù)學試題浩如煙海，盲目做題既耗時又效率不高，因此同型歸類是研究高考試題的有效途徑.筆者在探究高考試題中含參絕對值函數(shù)的最值問題時發(fā)現(xiàn)，浙江省從2012年至今，連續(xù)四年的高考解答題中都出現(xiàn)了含參絕對值函數(shù)的身影，這一現(xiàn)象讓筆者大為震驚！是命題人不約而同的巧合，還是情有獨鐘的凸顯？當然，巧合也好，凸顯也罷，此現(xiàn)象已足讓人感到：浙江省的高考函數(shù)命題中似乎洋溢著一種揮不去的絕對值情結.這一命題的趨勢引發(fā)了筆者的好奇——為何這類問題能引起命題人如此頻頻的關注？它們究竟有何“亮點”和奧秘？帶著上述疑問，筆者決定一探究竟.

一、考題再現(xiàn)

題1（2015年浙江卷（理）第18題）已知函數(shù)f（x）= x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是函數(shù)|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（2）當a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

題2（2014年浙江卷（理）第22題）已知函數(shù)f（x）= x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在［-1，1］上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）設b∈R，若［f（x）+b］2≤4對x∈［-1，1］恒成立，求3a+b的取值范圍.

題3（2013年浙江卷（理）第22題）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）當x∈［0，2］時，求|f（x）|的最大值.

題4（2012年浙江卷（理）第22題）已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當0≤x≤1.

①函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

②f（x）+|2a-b|+a≥0.

（2）若|f（x）|≤1對x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范圍.

二、試題特征

不難看出，上述四題中的函數(shù)及其研究對象都帶有一定的同型特征：（1）四題都涉及函數(shù)y=|f（x）|在閉區(qū)間內(nèi)的最大值問題（題2中的［f（x）+b］2≤4恒成立，即|f（x）+ b|max≤2）；（2）題2還涉及另一類帶局部絕對值的函數(shù)y= f（x）+（kx+b）|x-a|；（3）函數(shù)中都帶有參數(shù)；（4）題1、2、4中函數(shù)都涉及兩個參數(shù)a、b，且都考查z=h（a，b）的最值或范圍問題；（5）題1、2、4還都涉及不等式恒成立問題.以上諸多的“雷同”，足以體現(xiàn)命題人對此類問題的格外“垂青”，那么這類問題究竟有何玄機？它到底想考查學生些什么？

我們知道，含參函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題大多需要進行分類討論，而被“植入”絕對值之后的函數(shù)（單調性驟然變的復雜）就更是如此，因此“分類討論思想”是這類試題承載的考查功能之一.分類討論通常針對參數(shù)a、b展開，這樣就會得到關于a、b的一些不等式，這些不等式顯然就是關于參數(shù)a、b的約束條件，在直角坐標系aOb下，畫出動點（a，b）的可行域，如此即可用線性規(guī)劃求出參數(shù)函數(shù)z=h（a，b）的最值或范圍.因此“數(shù)形結合思想”是這類試題承擔的考查功能之二.恒成立不等式中的參數(shù)范圍問題，通常轉化為函數(shù)最值問題，但函數(shù)的最值是必須明確求出，還是只要知道可能出現(xiàn)在哪幾個中就可以了？因此“化歸與轉化思想”是此類試題擔負的考查功能之三.由此可見，這類試題能較好地考查學生對高中數(shù)學中重要數(shù)學思想的理解和應用，是甄別學生數(shù)學素養(yǎng)的良好載體，這也許就是它備受矚目的原因之一吧.當然，數(shù)學思想本身也是解決問題的方法，而高考題對方法的考查向來入口較寬，很少有“自古華山一條道”現(xiàn)象.那么，對于上述兩類含參絕對值函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，除了分類討論，是否還有其他途徑？

三、試題解析

浙江省自2015年開始，導數(shù)內(nèi)容退出了150分的考查范圍（僅在模塊中出現(xiàn)），因此筆者下面僅以銜接年份的題2和題1為例進行解析，限于篇幅僅考慮其第一問.為展示不同方法，題2用分類討論法，題1用回避討論策略.

（1）當a≤-1時，易知f（x）在［-1，1］上單調遞增，所以M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

（2）當-1

當a≥1時，易知f（x）在［-1，1］上單調遞減，所以M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，故此時M（a）-m（a）=4.

綜上，M（a）-m（a）=

評注：對局部絕對值函數(shù)y=f（x）+（kx+b）|x-a|而言，分段求導之后的分類討論往往會讓多數(shù)學生感到困惑甚至難以下手，原因是：（1）雖然上下兩段各自的單調性容易看出，但兩段的“界點”a與下段函數(shù)的極值點±1的大小關系未知；（2）雖然函數(shù)的自然定義域為R，但其求最值的實際定義區(qū)間為［-1，1］，因此最終要考慮函數(shù)在［-1，1］內(nèi)的單調性（好在定義區(qū)間的端點恰好為極值點，這降低了討論的難度）.那么該如何劃分討論段？其實影響函數(shù)最值的是單調性，而影響單調性的是極值點，因此只要考慮極值點是否在其定義區(qū)間之內(nèi).1與-1是確定的極值點，而“界點”a也可能是極值點，因此，我們只需將極值點±1、“界點”a、區(qū)間端點±1進行大小排序，如此即可快速理清分類討論的線索（即a≤-1、-11），然后分別作圖，觀察其在［-1，1］內(nèi)的圖像，即可求其最值.

評注：對整體型二次絕對值函數(shù)g（x）=|cx2+ax+b|（c> 0，a，b∈R）而言，它在對稱區(qū)間［-m，m］（m>0）內(nèi)的最大值，通常是要像題1那樣進行分類討論，而上述解法之所以可以回避討論，緣于有如下性質的支撐.性質1：“V型”函數(shù)（左減右增）在閉區(qū)間內(nèi)的最大值僅在區(qū)間端點處取得；“W型”函數(shù)（減增交替2次）在閉區(qū)間內(nèi)的最大值在區(qū)間端點或極大值點處取得.性質2：max{|a+b|，|a-b|}= |a|+|b|（a，b∈R）.而這些性質的正確性都是顯而易見的.事實上，題1是一道很有“背景”的試題，通過它可以引申出更為一般的最值性質，從而徹底解決此類二次絕對值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值（當二次項系數(shù)為負數(shù)時，同理可解決其最小值）問題，并且無需進行分類討論.

四、題1引申

引申1：已知函數(shù)f（x）=cx2+ax+b（c>0，a，b∈R），記M（a，b，c）是|f（x）|在區(qū)間［-m，m］（m>0）上的最大值，則當|a|≥2cm時，M（a，b，c）=|cm2+b|+|am|；當|a|<2cm時，M（a，b）=max

證明：當|a|≥2cm時，函數(shù)f（x）對稱軸（極大值點）的絕對值，所以|（fx）|為“V型”函數(shù)，故由性質1知，M（a，b，c）=max{|f（m）|，|f（-m）|}.因為|f（m）|= |（cm2+b）+am|，|f（-m）|=|（cm2+b）-am|，所以由性質2知，M（a，b，c）=|cm2+b|+|am|得證；當|a|<2cm時所以|f（x）|為“W型”函數(shù)，故由性質1知，M（a，b，c）= max，由于max{|f（m）|， |f（-m）|}=|cm2+b|+|am|已然獲證，所以M（a，b）= max得證.

若將函數(shù)一般化，還可得到如下引申：

引申2：已知函數(shù)f（x）=s（x）+t（x）（其中s（x）為偶函數(shù)，t（x）為奇函數(shù)），記M為|f（x）|在區(qū)間［-m，m］（m>0）上的最大值，則當|f（x）|為“V型”函數(shù)時，M=|s（m）|+|t（m）|；當|f（x）|為“W型”函數(shù)時，M=max{|s（m）|+|t（m）|，|f（x0）|}（其中x0為|f（x）|的極大值點）.

證明：當|f（x）|為“V型”函數(shù)時，由性質1知，M= max{|f（m）|，|f（-m）|}，因為|f（m）|=|s（m）+t（m）|，|f（-m）|= |s（-m）+t（-m）|=|s（m）-t（m）|，所以由性質2知，M=|s（m）|+ |t（m）|得證.

當|f（x）|為“W型”函數(shù)時，由性質1知，M= max{max{|f（m）|，|f（-m）|}，|f（x0）|}，由于max{|f（m）|，|f（-m）|} =|s（m）|+|t（m）|已然獲證，所以M=max{|s（m）|+|t（m）|，|f（x0）|}，得證.

說明：引申2告訴我們，函數(shù)y=|f（x）|在對稱區(qū)間內(nèi)的最值問題，已不再局限于f（x）為二次函數(shù)情形，只要構成f（x）的函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)（不能非奇非偶），且y= |f（x）|為“V型”、“W型”函數(shù)，均可使性質成立.然而美中不足的是引申1、2只能解決函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的最值問題，倘若不是對稱區(qū)間，則它們都將難有作為.是否有變通之策？

引申3：函數(shù)f（x）在［p，q］（p

說明：引申3的正確性是顯而易見的，因為其本質就是函數(shù)求值域時的“換元法”.從圖像上看，的圖像可由y=（fx）的圖像沿水平向量平移而得到，所以它們的值域一致.通過引申3，可將一函數(shù)在非對稱區(qū)間內(nèi)的最值問題，等價轉化為另一函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)進行求解，從而實現(xiàn)了函數(shù)區(qū)間的“大挪移”.

上述引申在題1基礎上步步為營、不斷“升級”：先將二次型推廣到任意的“V型”、“W型”，再將對稱區(qū)間拓廣到任意的閉區(qū)間，從而徹底解決此類絕對值函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，并從此擺脫分類討論的桎梏.由此可見題1的“非同尋?！保@也許是這類問題備受矚目的另一原因吧.

五、命題啟示

浙江省連續(xù)四年高考出現(xiàn)絕對值函數(shù)試題（壓軸），這一現(xiàn)象雖然罕見，但也并非不合情理（歷年各省的高考題中都有不同程度的呈現(xiàn)）：（1）此類問題借絕對值函數(shù)為載體，能充分考查函數(shù)的性質、圖像及導數(shù)知識的應用，考查靈活運用分類討論、數(shù)形結合、化歸轉化等思想方法進行探索、分析與解決問題的能力；（2）此類問題充分展示了“動態(tài)數(shù)學”的魅力——圖像、單調性變化不定，能考查學生在陌生情境中自我探索、獨立分析的能力，以及當問題變化不定時分層出擊、化難為易、化整為零、各個擊破的能力.如此看來，命題人的“情有獨鐘”也就不足為奇.至于這一情結是否還會延續(xù)？這值得備考師生的密切關注.但隨著導數(shù)的退出，函數(shù)題想“出彩”已實屬不易，這時絕對值函數(shù)的出現(xiàn)可謂適逢其時、應運而生，因此筆者猜測，相較其他省份，浙江省延續(xù)的可能性依然較大.

作為一線教師，研究高考試題，不僅要弄清問題的來龍去脈，還需預測命題的可能趨勢，不僅要了解“命什么”，還要揣摩“為什么”，這樣的研究才更有價值、更有意義，才能真正做到“悟其必然，品其真味”.

1.馬文杰，羅增儒.2010年高考數(shù)學“絕對值函數(shù)問題”深度解析［J］.中學數(shù)學（上），2011（3）.F