“追根溯源”話 函數(shù)

☉浙江省象山縣第二中學呂增鋒

“追根溯源”話 函數(shù)

☉浙江省象山縣第二中學呂增鋒

在高中數(shù)學中，沒有一個概念的表述像函數(shù)那么形式化，讓人感到如此的抽象.當專家、學者們?yōu)楦咧泻瘮?shù)定義應如何表述才能更加精確而爭論不休時，函數(shù)概念教學卻始終難逃“不識函數(shù)真面目，只緣身在函數(shù)中”的怪圈.具體表現(xiàn)為：教師能夠剖析函數(shù)的定義，卻無法揭示函數(shù)的實質；學生會解相關的題目，卻不清楚函數(shù)到底是什么.究其原因，主要是教師對函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展過程了解不夠.盡管課程標準明確要求“通過豐富的實例，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用”，但這只能讓學生更容易接受“集合說”，而無法從整體上揭示函數(shù)的本質.若要函數(shù)概念“大白于天下”，還應“追根溯源”.

一、感受“時間”流逝，誕生“變量”

天地之間的萬物都是在運動變化著的.最吸引古人的運動莫過于“天上”的運動.白天，日出東方；傍晚，日落西方，月亮升起；晚上，星空璀璨，但這些星星也是在運動的，每隔一段時間，它們的位置就會發(fā)生變化.還有，春夏秋冬，四季輪回.不僅如此，地上也是在運動的，比如，火山噴發(fā)、地震、泥石流等.當然，還有人類自身的變化，人從出生到衰老，也是一個運動變化的過程.由于這些變化都是隨著時間的變化而變化的，因此，時間就是最原始的變量.古人通過對時間的感受，頭腦中就逐漸形成了變量的概念.隨著生產力的發(fā)展，人類觀察“變量”的視野不斷開闊，發(fā)現(xiàn)生活之中處處有變量.比如，人口的數(shù)量、氣溫的變化、農作物的產量、城市的規(guī)模、股市波動等.

除了變量以外，還存在著相對穩(wěn)定的常量.比如，某人的生日、圓周率、黃金分割數(shù)等，還有些量有時可以是變量，有時也可以是常量.比如，人的身高，從出生到成年人的身高是在變化的，因此身高是變量；但成年后，身高就保持不變了，此時身高就是常量.又比如你到菜場買豬肉，在這一天內豬肉的價格是固定的，一斤10元，兩斤20元，……，因此，在這天內豬肉的價格是常量.但如果從一段時間看，豬肉的價格是在波動的，此時豬肉的價格就是變量.由此可見，靜止是暫時的，運動卻是永恒的！

二、研究“變量”規(guī)律，建立“關系”

可以說，人類的進步得益于對變量的研究，進而在研究中發(fā)現(xiàn)了變量的變化規(guī)律.比如，對時間變量的研究，最顯著的成果莫過于發(fā)明了“歷法”.在古代，國家歷法的先進程度決定了生產力的先進程度.在我國古代歷法中，把一年劃分成了24節(jié)氣，目的是為了指導農業(yè)生產.比如，節(jié)氣中“立春”，其實就告訴人們天氣要轉暖了，要開始準備農業(yè)生產了，一旦到了“春分”，農民就應該播種了.因此，人類要生存，要發(fā)展，對變量變化規(guī)律的總結是必不可少的.誰掌握了地球上變量的變化規(guī)律，誰就可以主宰地球.到底如何總結變量的變化規(guī)律呢？人們發(fā)現(xiàn)這些變量之間存在著某種制約關系.即一個變量的變化會引起另一個變量的變化.

比如，在商品買賣中有“暴利”一說，意思是同樣數(shù)量的商品，價格越高，銷售收入也越高.這種制約關系能不能用數(shù)學式子來表示呢？

引進一些參數(shù)，用y表示銷售收入，x表示商品價格，n表示賣出的商品數(shù)量，則它們滿足：y=nx.這里的n是常量，x、y是變量.這個式子顯然體現(xiàn)了變量y隨著變量x增大而增大的變化規(guī)律.

又比如，在商品買賣中還有一種說法叫“薄利多銷”，意思是在保證銷售收入不變的前提下，商品價格越低，賣出的數(shù)量越多.這種制約關系怎么表示呢？把上式y(tǒng)=nx變形為，此時y是常量，x、n是變量.盡管這個式子是由先前的式子變過來的，但由于變量的不同，所以表達的意思完全不同.由此可見，代數(shù)式能真實地刻畫變量之間的關系.

三、提煉“關系”共性，產生“形式”

當借助代數(shù)式刻畫變量之間的關系逐漸被人們所接受時，人們開始提煉這類式子中所蘊含關系的共性.即這類關系包含了哪些共同的成分呢？

首先，要由兩個變量構成，而且一個變量的變化制約著另一個變量的變化.也就是說一個變量的值是由另一個變量的值決定的.這兩個變量一個稱為自變量，另一個稱為因變量.上述例子中的y=nx，x稱為自變量，y的值因為x的值變化而變化，所以y就稱為因變量.

其次，既然是變化，當然有個變化的范圍.對y=nx來說，x是商品的價格，理論上x的變化范圍是大于0的所有實數(shù)，y的變化范圍也是大于0的所有實數(shù).當然，y的變化范圍可以由x的變化范圍來確定.如果y=nx中x的變化范圍擴大到全體實數(shù)，整個式子的本質就變了，它不再是反映價格與銷售收入的關系了.由此可見，看似一個簡單的代數(shù)式，實際上還包含了變量變化的范圍.

共性提煉完畢后，人們開始思考給這類代數(shù)式一個合適的稱呼，于是“函數(shù)”的概念應運而生.人們對函數(shù)最初的理解就是一個包含變量的代數(shù)式，但后來發(fā)現(xiàn)這種認識并不全面，并不是所有的函數(shù)關系都能列出代數(shù)式.比如，生活中各式各樣的曲線.以股價走勢圖為例，內行的人能夠從這些像“心電圖”一樣的曲線中看出很多有用的信息.比如，什么時候該買進，什么時候該拋了.

觀察股價走勢圖，會發(fā)現(xiàn)其中隱藏著兩個變量，時間和股票價格.走勢圖實際上反映了時間和股價之間的某種聯(lián)系.簡單地說，這個曲線反映了兩個變量之間的某種依賴關系，這一點非常符合“函數(shù)”的特征.但股價走勢圖不能用一個代數(shù)式來表示.盡管不可能寫出它的代數(shù)式，但從曲線中確實可以讓人感受到變量之間的變化規(guī)律，類似的曲線還有很多很多.因此，從數(shù)學上看，這個曲線也是函數(shù)，是函數(shù)的另一種表現(xiàn)形式.當然，很多函數(shù)代數(shù)式都可以找到對應的曲線.

函數(shù)除了代數(shù)式、曲線兩種表現(xiàn)形式外，還有一種表現(xiàn)形式也在生活中經常出現(xiàn).比如，鞋盒上都印有尺碼對照表.

第一行數(shù)據(jù)表示腳的長度，第二行數(shù)據(jù)表示對應的尺碼.多大的腳，穿多大的鞋碼，一目了然.這張表格非常清晰地描述了腳長和鞋碼之間的關系.如果從數(shù)學的角度來分析這張表格，這張表格包含了兩個變量，一個是“腳長”，另一個是“尺碼”，并且這兩個變量都有各自的變化范圍，其中“腳長”的變化范圍是“23.5、24、…”，尺碼的變化范圍是“37、38、…”.兩個變量相互存在著制約關系，也完全符合函數(shù)的特點.有了這樣的表格，我們完全沒有必要再關心代數(shù)式是什么這一問題了.因此，“表格”也是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.

四、統(tǒng)一“形式”表述，構造“定義”

一個函數(shù)概念，三種表征，分別是代數(shù)式、曲線、表格，與之對應的函數(shù)就有三種表示方法：解析法、圖像法、列表法.于是，函數(shù)分為三大陣營，現(xiàn)在要做的就是把三大陣營統(tǒng)一起來.

一方面，這三種表示方法是有聯(lián)系的.比如，一般對于給定的函數(shù)解析式來說，可以列出相應的表格，然后就能畫出其對應的曲線，反過來，對于曲線來說，一般也能找到其對應的解析式.另一方面，這三種方法又是相互獨立的.并不是所有的函數(shù)解析式，都能畫出其對應的圖像.比如狄利克雷函數(shù)當然也并不是所有的曲線，都能寫出對應的解析式.列表也是如此，有些變量之間的關系只能列表來表示.

當然，這三種形式還有其共有的屬性.首先，它們都包含了兩個變量，并且兩個變量都在一定的范圍內變化，而變量的變化范圍就構成了集合.因此，變量就可以看成集合中的元素，兩個變量就是兩個集合中的元素.于是，函數(shù)就和集合聯(lián)系在一起了.其次，這三種方法都體現(xiàn)了變量之間的某種制約關系，具體說，一個變量變化引發(fā)了另一個變量的變化，而這種變化遵循著某種變化規(guī)律.圖形和列表也體現(xiàn)出這種變化規(guī)律，只不過有些規(guī)律我們無法進行精確地表述，但無論如何，規(guī)律還是存在的.

至此，函數(shù)的概念似乎清晰起來了.無論采取哪種表現(xiàn)形式，函數(shù)就是體現(xiàn)了兩個變量之間的變化規(guī)律.由于變量本身是集合中的元素，因此兩個變量之間的關系，就轉變成了兩個集合之間的關系.也就是說給你兩個集合，如何把兩個集合中的元素按照某種規(guī)律對應起來.這就有點像在玩“連連看”游戲.

比如，集合A={1，2，3，4}，集合B={2，4，6，8}，變量x在集合A中變化，變量y在集合B中變化，當然，變量y的變化是隨x變化而變化的.現(xiàn)在，你的任務就是按照某種規(guī)律把兩個集合中的元素連起來.如果按照1→2、2→4、3→6、4→8的規(guī)則連起來，這樣，集合A、B之間的元素就對應起來了，也就是說構成了“函數(shù)”.也可以換個規(guī)則把兩個集合的元素連起來.比如，1→4、2→2、3→6、4→8；或者1-4、2-2、3-8、4-6等.當然，規(guī)則不同，構成的函數(shù)也是不同的.那么，要構成函數(shù)需要哪些要素呢？兩個集合A、B+“對應規(guī)則”.因此，我們就可以借助集合給函數(shù)下個定義，進而把函數(shù)的三種形式統(tǒng)一起來.具體怎么描述呢？

所謂函數(shù)就是：把集合A、B中的元素按照某種對應法則建立聯(lián)系.對于兩個集合來說，對應的法則有很多，但是不是“隨便”什么法則都能構成函數(shù)呢？我們可以用教室里面的“座位法則”來形象地說明對應法則應該滿足的條件.

學生到教室要做的第一件事就是盡快找到座位坐下.這時可能會出現(xiàn)以下三種情景.第一種可能，教室的座位剛剛好，每個學生都有座位坐.這是最滿意的結果.第二種可能，教室的座位比實際人數(shù)多，學生坐好后，還有座位多余.這有點兒浪費，但也合乎情理.第三種可能，教室的座位不夠，哪怎么辦呢？再去其他地方搬可能來不及了，老師一般先暫時讓學生共用一個座位.雖說擠了點兒，但畢竟解決了座位問題.但一般不會出現(xiàn)這樣的情景：學生占據(jù)多個座位，也就是說一個學生坐兩個及以上的座位.

如果把學生看成集合A，座位看成集合B的話，那么學生找座位的事件就可以看成找集合A、B的對應關系，三種情景實際上揭示了對應法則的限制條件.“每個學生都有座位坐”說明集合A中的元素要對應完全.“有多余座位”說明集合B中的元素允許多余，允許存在沒有被對應的元素.“讓學生共用一個座位”說明集合A中可以有多個元素對應集合B中的同一個元素.也就是說可以出現(xiàn)“多對一”的情景.不可能出現(xiàn)“學生占據(jù)多個座位”說明集合A中的元素在集合B中只能有唯一一個元素與之對應，即不允許出現(xiàn)“一對多”的情景.

通過上面的剖析，學生不僅容易提煉出集合觀點下函數(shù)的統(tǒng)一定義，而且能夠系統(tǒng)地了解函數(shù)概念的產生、發(fā)展過程，感受函數(shù)定義的合理性，進而深刻地體會到數(shù)學源于生活，數(shù)學是自然的.A