新課程新理念新方法

☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

新課程新理念新方法

☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的最終目標(biāo)，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)要致力于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)，要注重知識(shí)相互鏈接和交叉的使用，這些都是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，數(shù)學(xué)教學(xué)最終教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)的思維方式，用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看問(wèn)題，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)而解決生活中的問(wèn)題.課程標(biāo)準(zhǔn)的一席話，我們可以這么解讀：高中數(shù)學(xué)教學(xué)分三個(gè)層次，其一是教材中的數(shù)學(xué)基本概念、基本公式等單一知識(shí)元；其二是各種單一知識(shí)元之間的銜接和整合，形成了知識(shí)塊；最后是將知識(shí)塊中的數(shù)學(xué)思想方法提煉出來(lái)，形成了無(wú)形的數(shù)學(xué)思想，站在更高的層次上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

IBM公司應(yīng)聘信息技術(shù)人才（需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和思維），有這樣一道面試試題：房間里有一個(gè)水壺、一個(gè)水龍頭、一個(gè)煤氣灶，請(qǐng)問(wèn)燒水的流程是怎么樣的？如果現(xiàn)在幫你把水壺里灌滿了水，這個(gè)流程應(yīng)該如何實(shí)施呢？請(qǐng)你描述.面試的人員都一一作答，百分之九十九的人都將兩個(gè)問(wèn)題清晰的解答了，第一個(gè)問(wèn)題是分三步走：打開(kāi)龍頭灌水，放在煤氣灶上，打開(kāi)煤氣灶燒水；第二個(gè)問(wèn)題省去了第一步，只需要放在煤氣灶上，打開(kāi)煤氣灶燒水即可.只有一位學(xué)員是這樣回答的，第一個(gè)問(wèn)題同上，第二個(gè)問(wèn)題先將水壺里的水倒掉，然后遵從第一個(gè)問(wèn)題操作.最終他被IBM公司錄取了.親愛(ài)的讀者，你想這是為什么？我們知道，從事計(jì)算機(jī)工作要求擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和化歸的數(shù)學(xué)思想，這位學(xué)員將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前一個(gè)問(wèn)題，即充分使用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，這意味著其在問(wèn)題解決過(guò)程中站在比較高的視角思考了問(wèn)題，而大多數(shù)人將兩個(gè)問(wèn)題割裂開(kāi)來(lái)看，自然是有扎實(shí)的知識(shí)塊，卻沒(méi)有思想方法的意識(shí).從中可見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？哪些是必備的？重要的？核心的？這些問(wèn)題由原東北師大校長(zhǎng)史寧中教授在解讀課程標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)候特別提到：我認(rèn)為中學(xué)思想方法最核心的、最重要的就是轉(zhuǎn)化與化歸思想，它屬于意識(shí)形態(tài)方面，屬于思想方法中的最高地位，其他的思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等，屬于知識(shí)層面的，圍繞著核心思想方法形成了中學(xué)思想方法圈.有時(shí)我去東北師大附中聽(tīng)別的老師上課，有些老師講一個(gè)題目就由點(diǎn)及面的高效，有些老師題目講了好幾道，卻沒(méi)有滲透應(yīng)該講到的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想，那是低效的.無(wú)獨(dú)有偶，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)終身教授丘成桐也說(shuō)：思想是數(shù)學(xué)的靈魂，解題是數(shù)學(xué)的外衣，有靈魂才是學(xué)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，否則永遠(yuǎn)只有軀殼，停留在數(shù)學(xué)的大門(mén)之外.本文將結(jié)合高中數(shù)學(xué)案例，談?wù)勑抡n程中加強(qiáng)思想方法教學(xué)的重要性.

一、橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同——思想方法層次區(qū)分

從史寧中教授對(duì)于思想方法的區(qū)分來(lái)看，高中數(shù)學(xué)思想方法主要分為知識(shí)類(lèi)、技能類(lèi)和意識(shí)形態(tài)類(lèi)，知識(shí)類(lèi)主要涉及了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，技能類(lèi)主要是分類(lèi)討論思想、類(lèi)比思想、一般化與特殊化思想，意識(shí)形態(tài)類(lèi)涉及的是轉(zhuǎn)化與化歸思想.它們之間的關(guān)系是拾級(jí)而上、不斷提高，用圖1來(lái)表示這些思想方法之間的層次區(qū)分.

筆者認(rèn)為，思想方法教學(xué)正如上述史教授所述的一樣存在著循序漸進(jìn)、螺旋式上升的過(guò)程，它們之間也是高低各不同的，因此從高一教學(xué)開(kāi)始漸漸滲透思想方法教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)各種思想方法之間的認(rèn)識(shí)和不斷的理解.

案例1：如圖2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，A，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值是______.

分析：本題為江西高考原題，連接A1B，將三角形BCC1繞著棱BC1轉(zhuǎn)動(dòng)，使其與三角形A1BC1共面，如圖3所示，連接A1C，則A1C就是所求距離的最小值所以∠ACB=90°.又∠BCC=45°，111因此∠A1C1C=135°，由余弦定理可得

說(shuō)明：本題是空間幾何中一道典型的翻折問(wèn)題.縱觀翻折問(wèn)題，總是將其轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，將平面所求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)化為平面中兩點(diǎn)間連線線段最短問(wèn)題.問(wèn)題的本質(zhì)是教師如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘、發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系.其明在的問(wèn)題是立體幾何，暗在的聯(lián)系是通過(guò)轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題去處理，這一數(shù)學(xué)思想其實(shí)貫穿著立體幾何教學(xué)的始終，即從知識(shí)層面而言是空間問(wèn)題平面化，從意識(shí)形態(tài)層面而言是化歸平面化的思想是否在具體問(wèn)題中得到了實(shí)施.筆者可以將化歸的一般模式總結(jié)為：

化歸思想是最終的數(shù)學(xué)思想，其貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，學(xué)會(huì)用化歸思想去不斷分析問(wèn)題、處理問(wèn)題，其對(duì)于學(xué)生處理問(wèn)題的導(dǎo)向性、方向性有著重要的作用.

二、隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲——思想方法整合教學(xué)

隨著思想方法教學(xué)的深入，我們知道單一的知識(shí)類(lèi)思想方法或技能類(lèi)思想方法并不能解決復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)甚至在問(wèn)題解決過(guò)程中需要多個(gè)思想方法的使用，而且在解決問(wèn)題過(guò)程中那種自然而然的使用，正是將思想方法從知識(shí)體系中流露的體現(xiàn).來(lái)看一個(gè)案例，這是浙江的一道競(jìng)賽問(wèn)題.

分析：對(duì)于本題，筆者在競(jìng)賽訓(xùn)練時(shí)要求學(xué)生探索，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種不同層次的思路.其一是基于最基本的分類(lèi)討論思想實(shí)施，但是可以最終解答完畢的沒(méi)有一人，因?yàn)閺拇鷶?shù)的角度分類(lèi)太復(fù)雜（讀者可以查詢(xún)?cè)}給出的代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案，此處不贅述）；其二是學(xué)生基于知識(shí)類(lèi)思想方法數(shù)形結(jié)合思想的滲透使用，并在圖形化過(guò)程中自然而然地介入了技能類(lèi)的分類(lèi)討論思想，將問(wèn)題化歸為一個(gè)幾何問(wèn)題求解，從這個(gè)問(wèn)題中很自然地看到了“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的思想方法整合，這是利用思想方法較高的境界.

說(shuō)明：對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)答案的代數(shù)化方法，相信你一定會(huì)覺(jué)得思想方法滲透的魅力！這里數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的交替融合使用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形化的問(wèn)題，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)思想方法使用的重要性，在教學(xué)過(guò)程中形成了拾級(jí)而上的思維.

三、只在此山中，云深不知處——培養(yǎng)思想方法眼光

僅僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的單一使用或者融合交替，有時(shí)未必能正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這里還有一個(gè)更為重要的因素在里面——你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中存在數(shù)學(xué)思想方法的眼光？！有這樣一個(gè)小故事：大眾公司維修總部修理一輛從分部送來(lái)的檢修汽車(chē)，數(shù)位維修員都無(wú)法查出問(wèn)題所在，最后請(qǐng)來(lái)了大眾維修總監(jiān)史蒂夫，只見(jiàn)他打開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)左聽(tīng)聽(tīng)右瞧瞧，開(kāi)著車(chē)去試車(chē)場(chǎng)跑了幾圈，然后拿出筆在氣缸那里劃出了一個(gè)圈，維修人員打開(kāi)氣缸，才發(fā)現(xiàn)一枚固定左葉氣缸的螺絲松動(dòng)跑到了中間，引發(fā)了一系列共振引起了汽車(chē)自檢系統(tǒng)的故障.這個(gè)小故事暗示我們，我們并不缺少解決問(wèn)題的手段，缺少的是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的心.猶如在此山中一般，無(wú)法看透隱藏在問(wèn)題背后的思想方法，從而無(wú)法找到解決的捷徑.

分析：這是來(lái)自天津的一道競(jìng)賽試題，對(duì)于一般思考方向而言，很多學(xué)生勢(shì)必聯(lián)系到了向量共線問(wèn)題，這也是常規(guī)的第一思路選擇.但我們馬上發(fā)現(xiàn)用向量、三角知識(shí)求解計(jì)算復(fù)雜，而且不易求解最終結(jié)果.若觀察A、B兩點(diǎn)則有另一番風(fēng)景！

說(shuō)明：本題貌似與思想方法關(guān)系不大，那是因?yàn)閷?duì)問(wèn)題背后的知識(shí)沒(méi)有深刻的思想認(rèn)知，從觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)滿足了一定的特定圖形關(guān)系，進(jìn)而利用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為幾何問(wèn)題解決，這恰如賈島所云：只在此山中，云深不知處.在思想方法教學(xué)中，利用具備前瞻性的問(wèn)題來(lái)提高優(yōu)秀學(xué)生的思維，是思想方法教學(xué)最高的境界，使其達(dá)到了在看不到思想方法的地方自然而然地使用思想方法解決問(wèn)題.

總之，本文從新的視角分析了思想方法教學(xué)需要關(guān)注的幾個(gè)方面，將思想方法分為了三個(gè)不同的類(lèi)型，并從培養(yǎng)用單一思想方法解決問(wèn)題，到思想方法整合解決難題，到最終在沒(méi)有思想方法顯現(xiàn)的問(wèn)題中挖掘思想方法，努力提高學(xué)生在思想方法運(yùn)用上的層次性和階梯性，也讓教師教學(xué)不再一味地只喊重視思想方法，卻不知道思想方法教學(xué)如何循序漸進(jìn)、螺旋式教學(xué)！堅(jiān)持從本文所述的三個(gè)層面循序漸進(jìn)，教師在加強(qiáng)思想方法教學(xué)中勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的洞察力，有助于學(xué)生既有扎實(shí)的基礎(chǔ)也有寬闊的數(shù)學(xué)視野.張奠宙教授說(shuō)：在沒(méi)有數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的運(yùn)用是一種能力.筆者想說(shuō)：在看不到數(shù)學(xué)思想方法的地方觀察到了思想方法的運(yùn)用恰是一種數(shù)學(xué)的魅力！誠(chéng)然筆者才疏學(xué)淺，以自身認(rèn)識(shí)的一些對(duì)思想方法教學(xué)的愚見(jiàn)，懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

1.劉薇.運(yùn)用整體思想求數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（10）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

3.沈恒.數(shù)形結(jié)合的三重境界［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（10）.A