淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中邊緣知識(shí)的重要性

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中邊緣知識(shí)的重要性

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

高中數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為兩部分，其中一部分是受高考應(yīng)試重視的核心知識(shí)，諸如函數(shù)最值、三大性質(zhì)、向量數(shù)量積、立體幾何的角和距離等；另一部分知識(shí)往往不太顯山露水，但是卻默默為核心知識(shí)提供著保障，諸如集合論中的知識(shí)、利用空間向量解決立體幾何問題中的坐標(biāo)系選擇合理與否、三角函數(shù)線等，這些知識(shí)卻又無法缺失，筆者將其稱之為邊緣知識(shí)．

從教學(xué)的實(shí)際情形來看，教師往往對(duì)于核心知識(shí)存在著反復(fù)講、重點(diǎn)講、天天講，但是對(duì)于那些服務(wù)于核心知識(shí)的邊緣知識(shí)卻往往不聞不問，時(shí)不時(shí)在應(yīng)試中造成學(xué)生失分．北京十二中數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛說過：對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，首先要手把手教會(huì)其緊緊抓住基本知識(shí)的一些細(xì)節(jié)，在這些知識(shí)中有些盡管不是考試的重點(diǎn)（即本文所敘述的邊緣知識(shí)），但是其對(duì)于后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)態(tài)度、情感價(jià)值觀等都有著重要的培養(yǎng)．因此，筆者認(rèn)為教學(xué)既要重視核心知識(shí)，也要關(guān)注邊緣知識(shí)．

一、邊緣知識(shí)重要性

邊緣知識(shí)在數(shù)學(xué)中暫時(shí)未有這樣的名稱，筆者借助物理學(xué)中的名稱來代指數(shù)學(xué)中那些既服務(wù)于核心知識(shí)卻又處在不顯山露水地位的知識(shí)，因此給出了這樣的界定．在大量研究中對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性已經(jīng)分析得相當(dāng)完備，對(duì)于我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本知識(shí)和基本技能都有了長(zhǎng)足的研究，在筆者看來，這些基礎(chǔ)知識(shí)和技能中有很多是邊緣知識(shí)，華師大張奠宙教授對(duì)于重要的基本知識(shí)常常這樣感慨：現(xiàn)在的中學(xué)教學(xué)提倡新課程，提倡學(xué)生努力自主發(fā)掘知識(shí)，這些都沒有錯(cuò)．但是不要忘了，有些基本知識(shí)本身形成的過程長(zhǎng)達(dá)幾十年甚至上百年，用區(qū)區(qū)四十五鐘的課堂去讓學(xué)生挖掘知識(shí)的形成根本是癡人說夢(mèng)話．因此，有些知識(shí)教師該怎么傳授還是要怎么傳授，并且要特別注重那些在應(yīng)試中作為給核心知識(shí)做鋪墊的基礎(chǔ)知識(shí)（即本文所提出的概念——邊緣知識(shí)）．張教授的最后一句話應(yīng)特別重視，讓我們看到了對(duì)于邊緣知識(shí)教學(xué)必須重視的依據(jù)．其重要性體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面呢？筆者認(rèn)為：

（1）首先，本文所敘述的邊緣知識(shí)介于基礎(chǔ)知識(shí)和核心知識(shí)之間，這些知識(shí)是核心知識(shí)考查過程中必備的基本知識(shí)，沒有這一類邊緣知識(shí)無法順利進(jìn)行下一步的分析、演算，比如：用空間向量解決立體幾何中的問題，首先必須建立正確的空間坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的建立正體現(xiàn)邊緣知識(shí)的重要性.

（2）其次，有助于學(xué)生穩(wěn)定應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù)．基礎(chǔ)知識(shí)和邊緣知識(shí)屬于應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù)，牢牢抓住這些分?jǐn)?shù)有助于學(xué)生應(yīng)試有基本保障.

（3）最后，對(duì)于邊緣知識(shí)的掌握熟悉更有助學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的全面性，只有將知識(shí)學(xué)習(xí)全面和扎實(shí)穩(wěn)固，才能對(duì)后續(xù)更復(fù)雜的知識(shí)有學(xué)習(xí)的潛力．

二、邊緣知識(shí)教學(xué)實(shí)施

筆者以空間向量解決立體幾何問題中的邊緣知識(shí)為例，談?wù)勅绾螌?shí)施這一邊緣知識(shí)．我們知道，立體幾何引入空間向量之后，隨之而來的各種垂直、平行證明，以及角或距離的求解，都演變成一種代數(shù)運(yùn)算．用吳文俊大師的話說：數(shù)學(xué)機(jī)械化（即代數(shù)化）是一種趨勢(shì)，用代數(shù)的方法解決以前很難的幾何問題，成為流行，向量是一個(gè)很好的工具，除此之外我實(shí)在想不出有什么比代數(shù)化更好的方法．吳大師的話其實(shí)暗示了立體幾何問題解決的一脈相承性、雷同性，因此解決幾何問題也就轉(zhuǎn)變成了解決代數(shù)問題．對(duì)于立體幾何而言，代數(shù)化的最主要邊緣知識(shí)正是如何建立空間坐標(biāo)系．

（一）空間向量坐標(biāo)系選擇的實(shí)施

1.常規(guī)幾何體的選擇

常規(guī)幾何體諸如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱、正棱錐等，通過這些幾何體來建構(gòu)坐標(biāo)系一般較為容易，往往教學(xué)中一筆帶過．

例1如圖1所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．求A1B與平面ABD所成角的余弦值．

解析：如圖1所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA＝2a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），G）.因?yàn)樗砸驗(yàn)闉槠矫鍭BD的法向量，且co．所以A1B與平面ABD所成角的余弦值是

說明：可以發(fā)現(xiàn)，本題的幾何體模型是正規(guī)的直棱柱，且底面三角形是直角三角形，因此對(duì)于教學(xué)而言建系并非難點(diǎn)，值得注意的是指導(dǎo)學(xué)生了解重心條件在向量中是如何使用的．

2.非常規(guī)幾何體的選擇

空間向量引入立體幾何之后，對(duì)于立體幾何問題而言，相比以往傳統(tǒng)來得容易些，學(xué)會(huì)向量的代數(shù)化運(yùn)算成為解決問題的關(guān)鍵．但是有些幾何體模型存在著建系的困擾，這個(gè)步驟無法合理建立導(dǎo)致無法使用空間向量解決問題，因此非常規(guī)幾何體值得我們更多的思考，值得加強(qiáng)此類邊緣知識(shí)的教學(xué)．

例2如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點(diǎn)，四面體PBCG的體積為

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；

（2）求點(diǎn)D到平面PBG的距離；

（2）平面PBG的單位法向量n0＝（0，±1，0），因?yàn)?，∠CGD＝45°，所以所以點(diǎn)D到平面PBG的距離為．設(shè)F（0，y， z），則＝（0，y，z）-）＝．因?yàn)?，所?，所以）·（0，2，0）＝2）＝0，所以在平面PGC內(nèi)作FM⊥GC，M為垂足，則所以

說明：本題是非正棱錐的建系，考慮到在位置G處存在線面垂直關(guān)系，以及下底面中的線線垂直關(guān)系，因此選擇該處建立空間直角坐標(biāo)系比較合適．筆者用本題進(jìn)行隨堂測(cè)試，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)于原點(diǎn)的選擇并不清晰，其無法將坐標(biāo)系清楚地建立起來．在坐標(biāo)系的建立上，筆者認(rèn)為上述兩個(gè)例題所涉及的邊緣知識(shí)是解決立體幾何問題的初步關(guān)鍵，更有甚者我們也看到過坐標(biāo)系建立更為夸張的方式，此處限于篇幅不再贅述．要掌握建系的邊緣知識(shí)，最終是從線面垂直和線線垂直入手分析，對(duì)于此塊邊緣知識(shí)的熟練掌握有助于學(xué)生輕松解決立體幾何問題．

（二）數(shù)列函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，高考中對(duì)于數(shù)列的考查一般側(cè)重于數(shù)列的基本知識(shí)，包括通項(xiàng)公式、求和公式，以及與數(shù)列相關(guān)的不等式，這些是數(shù)列的核心知識(shí)．對(duì)于數(shù)學(xué)最本質(zhì)的知識(shí)，我們的學(xué)生了解反而很少，有時(shí)甚至根本不理解．以等差數(shù)列為例，筆者做過測(cè)試，很多學(xué)生在沒有復(fù)習(xí)的前提下根本不知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本質(zhì)是一次函數(shù)的體現(xiàn)，對(duì)于等差數(shù)列求和公式是二次函數(shù)（必過原點(diǎn)）的函數(shù)本質(zhì)認(rèn)識(shí)則更是鳳毛麟角．這些等差數(shù)列的邊緣知識(shí)極大地豐富了學(xué)生解決某些數(shù)列問題時(shí)的高效性和簡(jiǎn)潔性，卻一直不受重視．

例3（教材習(xí)題）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n．

解法一：設(shè){an}的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

解法二：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m．因?yàn)閙≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）．

說明：解法一是本題的核心知識(shí)，我們知道學(xué)生必需掌握等差數(shù)列相關(guān)的求和公式運(yùn)用及基本的化簡(jiǎn)，但是解法二所利用函數(shù)本質(zhì)的邊緣知識(shí)卻凸顯了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)本質(zhì)，利用其是必過原點(diǎn)的二次函數(shù)這一特性，輕松解決與之相關(guān)的問題．并且可以將類似的數(shù)列邊緣知識(shí)進(jìn)行合理的推廣，等比數(shù)列我們知道其通項(xiàng)公式來源于指數(shù)函數(shù)模型，其求和所得到的關(guān)系式體現(xiàn)了一種特殊的函數(shù)，盡管用處不大，但對(duì)于我們認(rèn)知數(shù)列本質(zhì)，用其相關(guān)邊緣知識(shí)解決問題有著極大的方便．

三、尾聲

邊緣知識(shí)蒞臨于一般基礎(chǔ)知識(shí)之上，但與核心知識(shí)仍舊有一定的差距．但是邊緣知識(shí)在解決問題過程中，卻有著非常重要的作用．從案例中，我們認(rèn)識(shí)到?jīng)]有坐標(biāo)系建立的合理性就無法快捷地解決立體幾何問題，沒有數(shù)列本質(zhì)的研究就無法輕松地利用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列相關(guān)問題．從知識(shí)體系上說，坐標(biāo)系的選擇建立、函數(shù)化本質(zhì)的思索并非是高考應(yīng)試的核心熱點(diǎn)問題，但是它卻對(duì)我們繼續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基本的保障．因此對(duì)于邊緣知識(shí)，筆者認(rèn)為：其一，要加強(qiáng)關(guān)注和細(xì)節(jié)上的把握，邊緣知識(shí)并非像核心知識(shí)一樣困難無法學(xué)習(xí)，但是不重視這些細(xì)節(jié)會(huì)致使學(xué)生患得患失，無法取得理想的成績(jī).其二，邊緣知識(shí)還有哪些？這個(gè)在筆者看來，應(yīng)該由教師進(jìn)行把握和篩選，一般以本省高考內(nèi)容為主的問題中進(jìn)行合理的思考和尋找.最后，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)邊緣知識(shí)態(tài)度的認(rèn)知和重視，只有重視邊緣知識(shí)，才會(huì)有更細(xì)致的問題分析態(tài)度和解決態(tài)度，才會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在解決復(fù)雜問題中更為重視那些邊緣化的知識(shí)，筆者以自身淺顯的一些認(rèn)知以求讀者更精細(xì)的漸漸見解．

1.朱永祥.談數(shù)學(xué)知識(shí)的挖掘和運(yùn)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（2）.

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3.褚人統(tǒng).數(shù)學(xué)高考難題破解與知識(shí)超常聯(lián)系［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2009（8）.F