一道測試題的命題“失敗”引發(fā)的反思

☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民

一道測試題的命題“失敗”引發(fā)的反思

☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民

一、測試結果引起的交流與反思

最近，筆者所在學校高一年級組織了一次調研測試，在第14題位置編制了以下一道題.

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c.若c=2acosB，4c2+a2+b2=4，則△ABC的面積的最大值為_________.

本題旨在考查學生對解三角形有關知識的掌握情況，從測試結果來看，全年級458人中僅有12人正確，本題難度可見一斑.翻閱學生的答卷發(fā)現(xiàn)很多空白，為此組織了問卷調查，以及與部分學生面對面交流，集中反饋了以下困惑或困難.

①對“4c2+a2+b2=4”無從下手，毫無處理方向；

②不知如何選擇△ABC的面積公式，導致解題不暢或卡殼；

③由于是第14題，又是“最值”問題，索性放棄.

面對這些情況，筆者陷入了沉思.

反思1：學生為何面對一些條件、目標表現(xiàn)出無法準確表征的傾向？

反思2：試題命制與學生學習實際的“脫鉤”現(xiàn)象何以解決？

要真正解釋與解決上述問題，需從教學實際和試題命制兩方面去尋求答案.

二、試題命制與考試實情的落差分析

1.試題命制的“初衷”

本著源于課本、高于課本的命題原則，一開始注意到蘇教版教材必修5·P17的第5題（下稱題1）：“在△ABC中，已知c=2acosB，試判斷△ABC的形狀.”判斷形狀是“解三角形”這一章節(jié)中重要的題型之一，考慮到若單一考此類問題，學生可能去猜測答案，無法真實、準確了解到學生對此問題的掌握情況，于是決定不直接命制此類問題.恰好搜集到2015屆泰州高三第一學期期末卷第13題（下稱題2）：“在△ABC中，A、B、C所對應的邊分別為a、 b、c，若B=C且，則△ABC的面積的最大值為_________.”于是將二者改裝組合，感覺題2中“7a2+的數(shù)據(jù)煩瑣，不利于解答，故將其改為“4a2+b2+c2=4”.在演算過程中，根據(jù)式的結構特征，由“阿波羅尼斯定理”演算發(fā)現(xiàn)可得出此等腰三角形腰上的中線之長（設為x），即2（a2+c2）=b2+（2x）2，解得，由此聯(lián)想到2011屆南通高三第一學期期末卷第14題（下稱題3）：“已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值為_________.”在題3的處理上方法頗多，這樣的轉化通道或許可為學生的思維走向提供多個方向.

2.考試的實際情況

通過深入的調查與交流，學生反饋了解答中幾種主要情形.

情形1：部分學生在條件“c=2acosB”的處理上，選擇了不同的轉化方向，導致轉化過程（推演過程）過于甬長，耗費了解題時間，如有些同學選擇用正弦定理將邊轉化為角，而后花了一些時間才想到將sinC轉化為sin（A+B），影響了后面的解題進展.

情形2：在得到“a=b”后，很多同學在“4c2+2a2=4”與三角形面積公式兩者之間不知如何架設通道，不能準確地根據(jù)信息選用正確的目標關系，導致思維鏈延長或斷裂，無法進行下去.即便想到如何表示面積（如但接下來在“消元”“根式處理”“換元”等環(huán)節(jié)上出現(xiàn)很多“技術故障”，也使得解題中途“夭折”.

情形3：從調查與交流的學生來看，幾乎沒有學生想到由“4a2+b2+c2=4”演算出中線長，更不要說通過各種方法來研究三角形的面積的最值了.

3.命題與實際情況的“脫鉤”深層分析

從上述命題初衷與現(xiàn)實的落差之大，可見本試題的命制上存在問題.

命制的試題是在成題的基礎上加以改編，能力要求明顯高于原題，并且是在高三模擬測試題的基礎上進行的組合改編，可想而知，題3本身就面向高三學生，綜合性強，隱蔽性大，改編之后的題目與高一學生的現(xiàn)有學習能力存在較大距離.原以為改編題是測試學生能力的“好題”，從實際情況來看，實屬一廂情愿，成了“廢題”——這樣的試題不利于學生對基礎知識的學習，只能干擾或打擊學生學習的積極性.

從信息量上看，命制的試題較題2實際上增加了信息量，而在規(guī)定時間內(nèi)去測試學生的多重表征水平屬于極高要求，學生在解題中表現(xiàn)出的信息處理能力完全處于初級水平，那么出現(xiàn)“索性放棄”的尷尬境況就不足為奇了.因此，命制的試題與學生的心理距離相距較遠.

從解題過程來看，學生肯定是先入為主地思考問題——先研究“c=2acosB”，再研究“4a2+b2+c2=4”，怎能在短時間內(nèi)想到運用“阿波羅尼斯定理”求得“中線長”呢？這樣的思維跨度很大，對學生的思維能力要求極高，更何況這本身就是數(shù)據(jù)的特殊產(chǎn)生的“偶然巧合”，學生實際的思維方向根本不可能走向這個方向.

由此可見，在本題的命題立意上出現(xiàn)了極其嚴重的“主觀傾向”，嚴重脫離了學生的認知基礎和思維水平，在命題中更多地以教師的思維視角來揣度學生的認知可能性，甚至以少許學生的思維水平替代了全校（區(qū)域）學生的思維水平，這是冒險之舉，更是錯誤之舉.因此，在命題中，應充分調查學生的學情，更多地以多數(shù)學生的能力水平為基本依托，以當前學生的思維能力為基本要求，恰當、合理地編制試題，特別是在基礎年級階段，務必要做到：重視基礎考查，避免高難度，素材選擇要適宜，改編尺度要適中，切勿貪求綜合度.

三、關于教學層面的思考

從上面的分析可以看出，本案例是當前教學中急功近利心態(tài)的一個縮影.受到高考“指揮棒”的影響，不少教師在教學中不重視“三基”的落實，不能從學生的實際情況出發(fā)進行教學組織（包括命題），尤其是在基礎年級階段更為嚴重.剛講完一個新的概念（知識），與之相關的高考題、模擬題、綜合題便紛至沓來，殊不知，這樣不負責任“揠苗助長”式的畸形教學行為嚴重挫傷了學生學習數(shù)學的積極性，使得學生越來越畏懼數(shù)學、厭倦數(shù)學.因此，我們呼吁廣大一線教師在教學中務必遵循以生為本的教學理念，立足學情分析，加強研究討論，有針對性地開展教學的一切活動.

另外，學生在本題解答中表現(xiàn)出的茫然、慌亂等心理狀態(tài)，也折射出當前教學中“過程性教學”的缺失.事實上，有些教師在教學中過分重視技能方法目標的實施，將教學的重心更多地偏向于解題中技能的傳授，而對知識產(chǎn)生的過程不予重視，對知識建構過程中所內(nèi)含的數(shù)學觀點和思想方法的揭示視而不見，導致知識技能目標的拔高，造成過程方法目標的丟舍.所以我們要重視引導學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的全過程，充分暴露師生的思維過程，重視他們的表征能力和思維水平的培養(yǎng)，引導學生去參與、探索和體悟數(shù)學知識過程中的思想方法.

最后，需要說明的是本文對筆者親身經(jīng)歷的一個真實案例的解剖，旨在點出當前教學中的一些問題，盼引起廣大同仁的重視與研討.

1.許志者.淺談試卷編制的幾個要素［J］.中學數(shù)學（上），2015（7）.

2.張俊.例談改編課本題的“七種武器”［J］.數(shù)學通訊，2015（7）.A