幾種整環(huán)之間的探討

盧夢霞，凡美金，趙廷芳

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口466001）

1 預(yù)備知識

引理1［1］設(shè)R是唯一分解整環(huán)，則R為主理想整環(huán)的充要條件對 ?a，b∈R?u，v使得d＝ua＋vb為a，b的最大公因子.

引理2［2］環(huán)R是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［x］是整環(huán).

引理3［2］環(huán)R是唯一分解整環(huán)，則R［x］也是唯一分解整環(huán).

引理4［3］域R上多項式環(huán)R［x］是一個歐氏環(huán).

定理1［2］主理想整環(huán)是唯一分解整環(huán).

此定理逆定理不成立.即一個唯一分解整環(huán)不一定是一個主理想整環(huán).

定理2［2］歐氏環(huán)必為主理想整環(huán)，因而是唯一分解整環(huán).

此定理逆定理不成立.即一個主理想整環(huán)不一定是一個歐氏環(huán).

定理3［2］凡域一定是歐氏環(huán).

證 設(shè)F是任意一個域，故F是整環(huán)，定義φ：x→1，x∈F，x≠0，則φ是F＊到N的一個映射，其中F＊＝F－｛0｝，N是非負(fù)整數(shù)集，?a∈F＊，?b∈F，則

b＝ （ba－1）a＋0.故F是一個歐氏環(huán).

2 主要結(jié)論

2.1 歐氏環(huán)、主理想整環(huán)和唯一分解整環(huán)之間的關(guān)系

定理4 設(shè)R是唯一分解整環(huán)，則下列條件等價：

1）R是主理想整環(huán)；

2）R中任一有限生成的理想是主理想；

3）對?a，b∈R，必存在u，v∈R使d＝ua＋vb為a，b的最大公因子.

證 1）?2）顯然.

2）?3）?a，b∈R，由a，b生成的主理想記為＜d＞ ，即 ＜d＞＝＜a，b＞ ，則 ?u，v∈R使d＝ua＋vb，且易證d是a，b的最大公因子.

3）?1）見引理1.

推論 設(shè)R是唯一分解整環(huán)，則下列條件等價：

1）R是主理想整環(huán)；

證 1）?2）顯然.

2）?1）由分解定理知，若M為無扭的有限生成模，則必為自由模，設(shè)a，b為R中任意兩個元，則Ra＋Rb的秩為1，設(shè)基元為d，則Ra＋Rb＝Rd，于是有u，v∈R使d＝ua＋vb，由定理4知R是主理想整環(huán).

2.2 整環(huán)和整環(huán)上的多項式環(huán)

定理5 設(shè)R是一個階大于1的整環(huán).證明：R是域?R［x］是主理想整環(huán).

證 ?由引理4和定理2結(jié)論顯然.

?設(shè)R［x］是主理想整環(huán)，?a∈R，a≠0.則 ?f（x）∈R［x］，使 ＜f（x）＞＝＜a，x＞ ，從而

故R的每個非零元都有逆元，故R是域.

定理6 環(huán)R是唯一分解整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［x］是唯一分解整環(huán).

證 ? 設(shè)R［x］為唯一分解整環(huán)，則R［x］是整環(huán)，由引理2知R是整環(huán)，?a∈R，a≠0，a不是單位，由于a∈R［x］，故a在R［x］中能唯一分解，設(shè)

a＝f1（x）f2（x）…fr（x）（fi（x）是 R［x］的素元，i＝1，2，…，r）

故?（f1（x））＋?（f2（x））＋…＋?（fr（x））＝?（a）＝0，由于R是整環(huán)，無零因子，f1（x）≠0，f2（x）≠0，…，fr（x）≠0.

于是?（f1（x））＝?（f2（x））＝ … ＝?（fr（x））＝0.即fi（x）∈R從而a＝f1（x）f2（x）…fr（x）也是a在R中的唯一分解，因此，R為唯一分解整環(huán).

?見引理3.

定理7 下列三個命題是等價的：

（1）R 為域.

（2）R［x］為歐氏環(huán).

（3）R［x］為主理想整環(huán).

證 （1）? （2）由引理4可得.

（2）? （3）由定理2可得.

（3）?（1）設(shè)R不是域，則存在R的非零非單位的元a.下證R［x］不是主理想整環(huán)：取R［x］的理想 ＜a，x＞ ，假設(shè) ＜a，x＞ 是R［x］的一個主理想，設(shè) ＜a，x＞＝＜p（x）＞ ，p（x）∈R［x］.由a∈＜p（x）＞，x∈＜p（x）＞ ，存在q（x），h（x）∈R［x］，使a＝q（x）p（x），x＝h（x）p（x），由a＝q（x）p（x）可得p（x）∈R.事實上，若p（x）?R，則可設(shè)p（x）＝b0＋b1x＋…＋bnxn，n為正整數(shù)，b0，b1，…，bn∈R，bn≠0，q（x）＝c0＋c1x＋…＋cmxm，m 為非負(fù)整數(shù)，c0，c1，…，cm∈R，cm≠0.

若R不是整環(huán)，則由引理2知R［x］不是整環(huán)，R［x］更不是主理想整環(huán)；

若R是整環(huán)，則R無零因子，于是cmbn≠0，從而q（x）p（x）＝c0b0＋…＋cmbnxm＋n≠a與假設(shè)矛盾，從而p（x）∈R，記p（x）＝b∈R，則b≠0且x＝bh（x），設(shè)h（x）＝d0＋d1x＋…＋dnxn，n為非負(fù)整數(shù)，d0，d1，…，dn∈R，dn≠0，則x＝bh（x）＝bd0＋bd1x＋…＋bdnxn，比較等式兩邊可得bd1＝1，于是1＝bd1∈＜b＞＝＜a，x＞.從而存在d∈R使得1＝da.因此，a為R的一個單位，與a的取法矛盾.矛盾說明 ＜a，x＞ 不是R［x］的主理想，即R［x］不是主理想整環(huán).

定理8 對于任何整環(huán)R，R［x］都不是域.

證 R［x］至少有非零元x沒有逆元，事實上，假設(shè)x有逆元q（x），則xq（x）＝1，設(shè)

q（x）＝c0＋c1x＋…＋cmxm，m為非負(fù)整數(shù)，c0，c1，…，cm∈R，cm≠0，從而xq（x）＝c0x＋c1x2＋…＋cmxm＋1≠1，矛盾.矛盾說明R［x］的非零元x沒有逆元，即R［x］不是域.

推論 對于任何整環(huán)R，R［x］都不是除環(huán).

［1］喻方元.主理想整環(huán)的幾個等價刻畫［J］.南昌大學(xué)學(xué)報，2000，24（3）：240－241.

［2］楊子胥.近世代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］郭世樂.整環(huán)上的一元多項式環(huán)［J］.福建師范大學(xué)福清分校學(xué)報，2004（2）：3－4.