“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育”研究綜述

●陸吉健朱哲(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院浙江金華321004)

“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育”研究綜述

●陸吉健朱哲(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院浙江金華321004)

對于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征［1］，這一觀點(diǎn)在近幾年數(shù)學(xué)成就較高的新加坡、芬蘭等國出版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［2-3］，以及我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(包括義務(wù)教育階段和高中階段)關(guān)于數(shù)學(xué)教育理念和目標(biāo)的論述中都能明顯看出.在21世紀(jì)這個(gè)知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代，迫切需要思維能力強(qiáng)的人才.正是在這些背景下，數(shù)學(xué)思維逐漸成為數(shù)學(xué)教育界的熱門話題.回顧近幾十年來，國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界對其進(jìn)行了廣泛、深入地研究，對這些研究思路作一梳理，有助于這一研究不斷地走向深入.

1 國外數(shù)學(xué)思維的研究

國外數(shù)學(xué)思維的研究，在理論和實(shí)踐層面都給予了高度關(guān)注.其中，在理論層面比較有代表性的人物是弗賴登塔爾、斯托利亞爾、奧加涅相等，在實(shí)踐層面比較有代表性的人物是克萊因、道爾、波利亞等.以下著重介紹下國外實(shí)踐層面值得關(guān)注的數(shù)學(xué)思維研究.

數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德在波利亞的解題系統(tǒng)基礎(chǔ)上，在《數(shù)學(xué)解題》中指出，數(shù)學(xué)解題的智力活動含有4個(gè)方面，其中在第2方面指出“啟發(fā)法則，即克服困難的思維策略”，在第3方面指出的“調(diào)控”就是思維活動之反思在起作用.舍費(fèi)爾德認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)生如何去思考問題比教學(xué)生解決問題更重要，強(qiáng)調(diào)的就是數(shù)學(xué)思維的重要性.

另外，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)方面，新加坡義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(新加坡尚未使用課程標(biāo)準(zhǔn))的基本理念中指出“數(shù)學(xué)是發(fā)展和提高人的邏輯推理能力、空間想象能力以及分析和抽象思維能力的重要工具”，“學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展計(jì)算能力、推理能力、思維技巧和問題解決能力”［2］，數(shù)學(xué)思維和邏輯推理、空間想象、計(jì)算、問題解決等能力是并列的;新加坡高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱將數(shù)學(xué)分為H1、H2、H3等3個(gè)層次，H1和H2層次在教育目標(biāo)中指出“發(fā)展數(shù)學(xué)思維和問題解決能力，并將這些技巧運(yùn)用在問題解決中”，層次較高的H3層次則指出“在數(shù)學(xué)推理證明、創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)模型的使用中培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性”［3］，對數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的要求更是落到了問題解決、推理證明、模型使用等實(shí)處.新加坡在2009年和2013年國際學(xué)術(shù)評估項(xiàng)目(PISA)數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試中均僅次于上海，排名第2.對數(shù)學(xué)思維的重視，是取得如此成績的原因之一.

近年來，土耳其葉迪特佩大學(xué)KILI?，Hülya等就小學(xué)六年級學(xué)生數(shù)學(xué)思維技能教學(xué)中使用素材進(jìn)行了實(shí)證研究;西班牙阿利坎特大學(xué)Fernández C等就小學(xué)教師對學(xué)生問題解決中的數(shù)學(xué)思維關(guān)注進(jìn)行了理論研究.這2項(xiàng)研究是對小學(xué)領(lǐng)域的研究，但其研究方法和研究成果的使用范圍是可以延伸到中學(xué)，甚至大學(xué)的.

2 國內(nèi)數(shù)學(xué)思維的研究

如果說國外的相應(yīng)研究更加注意對于實(shí)際數(shù)學(xué)思維過程的深入考察，那么，國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究則是一種規(guī)范性的研究［4］.總體上，數(shù)學(xué)思維研究可歸納為3個(gè)方向:為思維而數(shù)學(xué)思維、為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)思維和為教育而數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)思維研究的開端和第1個(gè)方向是“為思維而數(shù)學(xué)思維”，也即從一般思維出發(fā)研究數(shù)學(xué)思維.20世紀(jì)前，國內(nèi)數(shù)學(xué)思維研究“所建構(gòu)的‘?dāng)?shù)學(xué)思維論’的基本理論框架往往就是從一般的思維論研究中直接借用過來的”.甚至于近幾年剛出版的某些“數(shù)學(xué)思維論”的著作，所建構(gòu)的“數(shù)學(xué)思維論”的基本理論框架也是從一般的思維論研究中直接借用過來的.只是在數(shù)學(xué)思維的形式與方法上作了一定的延伸和拓展.例如，將數(shù)學(xué)建模等新的數(shù)學(xué)思維的形式與方法融入進(jìn)來，從思維研究的最新成果“左腦思維”和“右腦思維”等角度來審視數(shù)學(xué)思維.

數(shù)學(xué)思維研究的第2個(gè)方向是“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)思維”，也即從數(shù)學(xué)特殊性出發(fā)，來研究特有的數(shù)學(xué)思維.王仲春認(rèn)為:“數(shù)學(xué)思維是指人類關(guān)于數(shù)學(xué)對象的理性認(rèn)識過程，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實(shí)際問題的思考過程.”王梓坤院士在《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》一文中指出，當(dāng)代數(shù)學(xué)思維是一種定量思維，通過對數(shù)學(xué)問題的提出、分析、解決、應(yīng)用和推廣等一系列工作，以獲得對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律性的認(rèn)識過程.這一方向的數(shù)學(xué)思維研究，不再單單是從一般思維出發(fā)研究數(shù)學(xué)思維，開始從數(shù)學(xué)特殊性出發(fā)來研究數(shù)學(xué)思維.

當(dāng)下，數(shù)學(xué)思維研究的第3個(gè)方向是“為教育而數(shù)學(xué)思維”，也即指向數(shù)學(xué)教育(甚至于數(shù)學(xué)教學(xué))的數(shù)學(xué)思維研究，服務(wù)數(shù)學(xué)教育(教學(xué)).這一研究方向的代表學(xué)者，在國內(nèi)可追溯到孔子.《論語·述而》中有:“子曰，學(xué)而不思則惘，思而不學(xué)則殆.”這里，孔子指出了學(xué)與思之間的關(guān)系，特別是前半句更是強(qiáng)調(diào)了“思”對于“學(xué)”的重要性，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識之后，需要再進(jìn)行思維層面的理解和感悟.

當(dāng)代比較具有代表性的是任樟輝在1997年的著作《數(shù)學(xué)思維論》中提出“從數(shù)學(xué)思維的角度看，學(xué)生是思維的主體，教師是學(xué)生思維的主導(dǎo)，而思維的材料就是教材或數(shù)學(xué)知識”;其在2001年的著作《數(shù)學(xué)思維理論》中又指出“數(shù)學(xué)思維是針對數(shù)學(xué)活動而言的，它是通過對數(shù)學(xué)問題的提出、分析、解決、應(yīng)用和推廣等一系列工作，以獲得對數(shù)學(xué)對象(空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)模式)的本質(zhì)和規(guī)律性的認(rèn)知過程”.另外，也在1997年，郭思樂和喻緯出版的《數(shù)學(xué)思維教育論》，更加直接地從數(shù)學(xué)思維教學(xué)目的論、數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維論、數(shù)學(xué)思維教育過程論、數(shù)學(xué)思維觀念論和數(shù)學(xué)思維教學(xué)論等5個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.同時(shí)，曹才翰等認(rèn)為“數(shù)學(xué)思維形成的過程是主體以獲取數(shù)學(xué)知識或解決數(shù)學(xué)問題為目的，運(yùn)用有關(guān)思維方法達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在的信息加工過程”.隨后，鄭毓信在其著作《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》中，也提出數(shù)學(xué)思維研究應(yīng)“為數(shù)學(xué)教育服務(wù)”;單墫則更加具體地提出“考慮中學(xué)數(shù)學(xué)教材、大綱或是課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，不能僅考慮實(shí)用性，不能簡單地羅列數(shù)學(xué)知識，而更應(yīng)當(dāng)考慮需要培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)，如何去進(jìn)行思維的訓(xùn)練，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)的特點(diǎn).”

此后至今的10多年，為教育而數(shù)學(xué)思維的相關(guān)研究不斷深入.這在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中有著明顯的體現(xiàn)，其中具體涉及“培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)”和“如何去進(jìn)行思維訓(xùn)練”.對于“培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)”，2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有強(qiáng)調(diào)抽象思維、推理思維、創(chuàng)造性思維、形象思維，2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有強(qiáng)調(diào)理性思維、抽象模式、結(jié)構(gòu)研究事物的思維方式、批判性的思維習(xí)慣、邏輯思維、統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維、直觀思維.對于“如何去進(jìn)行思維訓(xùn)練”，2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)有余力的學(xué)生、提高思維水平、必要的板書、信息技術(shù)、教學(xué)方式的多樣化、評價(jià)方式等方面進(jìn)行了一定的闡述，2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值、算法的基本思想、數(shù)據(jù)收集與處理、嚴(yán)格的邏輯法則、框圖、復(fù)數(shù)的一些基本知識、現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)等方面進(jìn)行了一定的闡述.同時(shí)，2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也強(qiáng)調(diào)“教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過程性”，這對于學(xué)生“形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著重要的作用”.顯然，“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究是當(dāng)下數(shù)學(xué)思維研究的主流方向，以下對此作進(jìn)一步介紹.

3 為教育而數(shù)學(xué)思維的研究現(xiàn)況

最早“為教育而數(shù)學(xué)思維”，在數(shù)學(xué)思維研究的前2個(gè)階段也有出現(xiàn)，但都還只是“在相應(yīng)的一般性理論框架中嵌入若干數(shù)學(xué)的例子”［4］.這些數(shù)學(xué)教育案例盡管在一定程度上起到了一定的作用，但其價(jià)值是不大的.近年來，“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究不斷深入，呈現(xiàn)出以下4個(gè)方面的研究.

3.1 從數(shù)學(xué)知識出發(fā)

電力安全生產(chǎn)中風(fēng)險(xiǎn)隨時(shí)存在，因此，做好風(fēng)險(xiǎn)管理是為了解決電力生產(chǎn)過程中存在的安全問題，同時(shí)，為了電力企業(yè)在生產(chǎn)過程中可能存在的安全事故起到防微杜漸的效果。在風(fēng)險(xiǎn)控制過程中，需進(jìn)行一些科學(xué)、合理的分析，能使其在實(shí)際應(yīng)用中獲得更好地效果，發(fā)揮更大的價(jià)值。

周宇劍從數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)的角度探討了促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的有效途徑，強(qiáng)調(diào)“加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號語言類比和符號提示功能教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)敘述語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言的能力，引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號的含義并規(guī)范符號書寫，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展”.楊寶珊等對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)進(jìn)行思維研究，對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的有關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行思維描述，查明人類思維在該領(lǐng)域中的具體表現(xiàn)，找出應(yīng)有的思維資源(包括數(shù)學(xué)思維資源和一般思維資源)，并給出了“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”思維訓(xùn)練的內(nèi)容和方式.前者是基于學(xué)生角度，后者則是基于教師角度，2個(gè)方面的研究給予了從對應(yīng)數(shù)學(xué)知識出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維研究非常好的示范和參考.

3.2 從數(shù)學(xué)能力出發(fā)

蔡金法曾提出“數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心”，林崇德在其提出的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)觀中也以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)，但也指出“加強(qiáng)數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)，重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)上”，同時(shí)他的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)觀除了以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)外，還包括3種基本能力(運(yùn)算能力、空間想象力和邏輯思維能力)與5種思維品質(zhì).曹才翰等從數(shù)學(xué)能力角度探討了數(shù)學(xué)思維的重要性，其中曾進(jìn)一步提出“邏輯思維能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力的核心”.同時(shí)，蘇建偉對數(shù)學(xué)元認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的相關(guān)性進(jìn)行了研究，提出如何通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力來優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).從中可以看出，數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)能力中處于非常重要的地位，可以說數(shù)學(xué)思維的能力和品質(zhì)是數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn).

3.3 從學(xué)習(xí)方式出發(fā)

夏小剛、呂傳漢等在跨文化視野下對中、美學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異進(jìn)行了比較研究.研究發(fā)現(xiàn)，在問題解決中，中、美2國學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有明顯的差異性，主要表現(xiàn)為:中國學(xué)生偏于使用抽象的策略和符號表征，而美國學(xué)生則往往比中國學(xué)生更頻繁地使用視覺的策略和表征.王霞進(jìn)行了以草稿為載體訓(xùn)練第2學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的研究，通過分析和訪談研究學(xué)生的草稿，發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)致學(xué)生思維受阻的6個(gè)原因，從而根據(jù)第2學(xué)段學(xué)生的思維現(xiàn)狀以及所存在的問題，提出了第1學(xué)段學(xué)生以草稿為載體的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的有效對策.中外學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的比較研究，能給予思維研究很好的導(dǎo)向;而立足本土的數(shù)學(xué)思維實(shí)證研究，則能給予思維訓(xùn)練以很好的具體啟發(fā).

同時(shí)，數(shù)學(xué)思維活動在學(xué)習(xí)方式角度的表征，還有數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)反思等.數(shù)學(xué)認(rèn)知方面，李玉琪在其《元認(rèn)知開發(fā)與數(shù)學(xué)問題解決》中詳細(xì)論述了元認(rèn)知知識的統(tǒng)攝作用之?dāng)?shù)學(xué)思維模式的規(guī)范作用.數(shù)學(xué)反思方面，惠敏悅對數(shù)學(xué)解題過程中的反思性學(xué)習(xí)進(jìn)行了研究，敘述了古今中外對于反思的各種認(rèn)識和研究，并根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對于反思的理解嘗試了2種新的教學(xué)模式.

鄭毓信以國際上的相關(guān)研究為背景，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析，提出初等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思維的3種基本形式:數(shù)學(xué)化、“凝聚”、互補(bǔ)與整合.數(shù)學(xué)化是指初等數(shù)學(xué)中“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)化;“凝聚”是指初等數(shù)學(xué)中算術(shù)以及代數(shù)概念由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化;互補(bǔ)與整合是指同一概念的不同解釋、同一題目的不同解題方法、形式和直覺之間所存在的重要的互補(bǔ)和整合關(guān)系.

劉曉菁對高中女生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進(jìn)行了研究，通過自然觀察和訪談?wù){(diào)查，具體而客觀地描述了高中女生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)方面的情況及特征，從而提出了如何改進(jìn)女生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)以及培養(yǎng)高中女生的數(shù)學(xué)學(xué)科思維的幾點(diǎn)建議和措施.小學(xué)生、女生等數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的弱勢群體，在近年來不斷得到重視，相關(guān)研究也還在繼續(xù)進(jìn)行之中.

4 進(jìn)一步思考

可以預(yù)見，數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育，同時(shí)“為教育而數(shù)學(xué)思維”的研究方向?qū)⒃谔嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力、加強(qiáng)教師的“數(shù)學(xué)思維”意識、實(shí)證研究有待得到重視、進(jìn)一步關(guān)注數(shù)學(xué)思維的弱勢群體等方面將得到進(jìn)一步的深入.

4.1 數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育

當(dāng)下，應(yīng)該本著“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)與教”來明確數(shù)學(xué)教育的核心、途徑和主體.其中核心是數(shù)學(xué)思維，途徑是數(shù)學(xué)思維活動，主體是學(xué)生.實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)教育三維目標(biāo)，掌握數(shù)學(xué)知識和技能，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的過程、學(xué)習(xí)思維的方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升［5］.周春荔《數(shù)學(xué)思維概論》一書中也提到了“數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)”.進(jìn)入21世紀(jì)，數(shù)學(xué)思維研究將引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育.

4.2 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力

在實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)思維活動的數(shù)學(xué)教學(xué)三維目標(biāo)中，當(dāng)下最為迫切的研究應(yīng)當(dāng)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力.這可以從學(xué)習(xí)和教學(xué)2個(gè)方面來論證:從學(xué)習(xí)方面來看，當(dāng)前課堂教學(xué)改革的核心目標(biāo)之一是提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力，而數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的能力和品質(zhì)，因此數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的要素需圍繞數(shù)學(xué)思維來構(gòu)建和組織，從而形成成熟的運(yùn)作模型;從教學(xué)方面看，從數(shù)學(xué)知識的教學(xué)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的教學(xué)是必經(jīng)、必由之路.

4.3 加強(qiáng)教師的“數(shù)學(xué)思維”意識

數(shù)學(xué)教師的職責(zé)在于提高“數(shù)學(xué)的社會實(shí)現(xiàn)能力”，具體包括2個(gè)方面:一方面是面向?qū)W生做數(shù)學(xué)教學(xué)工作，普及數(shù)學(xué)思想、知識、技術(shù);另一方面則是對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練等.前一方面是數(shù)學(xué)教師普遍重視的，但后一方面由于現(xiàn)實(shí)的多方面問題卻沒有太多精力給予應(yīng)有的重視.但從學(xué)生的成長上來說，數(shù)學(xué)思維起著非常重要的作用;從數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化上來說，數(shù)學(xué)思維研究、數(shù)學(xué)思維在教學(xué)中的應(yīng)用等研究能夠促進(jìn)教師的專業(yè)成長.

4.4 國內(nèi)數(shù)學(xué)思維的實(shí)證研究有待得到重視

國外數(shù)學(xué)思維的研究多為實(shí)證研究，但在國內(nèi)卻多為理論研究.然而數(shù)學(xué)思維是按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動，它的這一本質(zhì)決定著數(shù)學(xué)思維實(shí)證研究的重要性.另外，數(shù)學(xué)思維的實(shí)證研究也能夠更加具體地指向教學(xué)策略.數(shù)學(xué)思維實(shí)證研究具體可以從2個(gè)維度進(jìn)行:學(xué)生角度和知識角度.學(xué)生角度，可以通過調(diào)研等方式具體探究學(xué)生數(shù)學(xué)思維的薄弱點(diǎn)和培養(yǎng)方式;知識角度，可以通過對具體數(shù)學(xué)知識下的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)式的研究.

4.5 進(jìn)一步關(guān)注數(shù)學(xué)思維的弱勢群體

從已有的研究中可以看出，小學(xué)生和女生是數(shù)學(xué)思維的弱勢群體，而且也已開始得到關(guān)注.除此之外，還有少數(shù)民族學(xué)生這一數(shù)學(xué)思維的弱勢群體，也應(yīng)得到較多的關(guān)注.近年來，代欽已論證了不應(yīng)進(jìn)行“少數(shù)民族學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維水平的研究”，而應(yīng)進(jìn)行“少數(shù)民族學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維特征的研究”，相信隨著數(shù)學(xué)思維研究的不斷深入，小學(xué)生、女生以及少數(shù)民族學(xué)生等數(shù)學(xué)思維弱勢群體會得到進(jìn)一步關(guān)注.

(注:本研究系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2012年度單位資助教育部規(guī)劃課題《“以學(xué)評教”背景下高中課堂學(xué)會學(xué)習(xí)的實(shí)踐》(課題批準(zhǔn)號FHB120509)的系列成果之一，得到浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院微課研究中心的資助.)

［1］鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.課程.教材.教法，2004(4):29-33.

［2］曹一鳴.十三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評介(小學(xué)、初中卷)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2012:94;284.

［3］曹一鳴，代欽，王光明.十三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評介(高中卷)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2013:66;72;261.

［4］鄭毓信.數(shù)學(xué)思維研究的現(xiàn)狀［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000(7):1-3.

［5］朱哲，陸吉健.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)與教［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014(4):9-11.