芻議向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

李銀

內(nèi)蒙古赤峰市克什克騰旗職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校

為了更好的掌握和理解解題的技巧，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中可以利用多種靈活的解題方式進(jìn)行分析，而向量則是其中一種非常重要的靈活解題方式，在高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容中都可以應(yīng)用。如不等式、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、最值、離心率等方面。因此我們可以通過具體的問題來探究向量在解決高中數(shù)學(xué)問題方面的應(yīng)用。

一、向量的概述

1.向量的概念

在高中數(shù)學(xué)中，通常把既有大小又有方向的量總結(jié)稱為向量，向量和普通的只有大小的數(shù)量不同，向量最為重要的特征就是其不僅有大小的數(shù)值還具有方向，通常情況下向量是用一條線段來表示，線段的長度就是向量的大小，也稱作向量的模。

2.高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的要求

（1）要通過向量背景的學(xué)習(xí)來了解平行向量以及相等向量的含義以及可以用幾何來正確的表示向量。（2）要通過具體的例子來懂得如何計(jì)算向量的加減法和乘除法，并充分的掌握其幾何意義，同時(shí)通過向量的共線含義，可以解答線性運(yùn)算的問題。（3）要簡(jiǎn)單的理解向量的基本定義，通過平面向量的正交分解的表示，來從坐標(biāo)中繪制平面向量的加減和乘除運(yùn)算。（4）通過物理學(xué)中有關(guān)功的例子，來掌握平面向量的數(shù)量積和投影之間的關(guān)系，并能夠進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。

3.學(xué)生向量知識(shí)學(xué)習(xí)的必要性

首先向量的最早應(yīng)用是在物理學(xué)中，物理學(xué)和數(shù)學(xué)尤其獨(dú)特的共通行，通過向量的學(xué)習(xí)不僅可以解決數(shù)學(xué)中的問題還能解決物理問題，如加速度、力、位移等物理問題。再者空間向量的深入學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)平立體幾何的發(fā)展具有重要的作用，可以利用向量將空間幾何轉(zhuǎn)化成可以理解的代數(shù)形式。其次向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性，學(xué)生可以通過向量的學(xué)習(xí)來很好的掌握幾何和代數(shù)之間的聯(lián)系，從而為學(xué)生解題提供重要的工具支撐。

二、向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

1.向量在解決幾何問題上的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的整體分支包括幾何知識(shí)和代數(shù)學(xué)習(xí)，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)和解答需要學(xué)生具備豐富的空間想象能力，在幾何問題中多為證明問題，需要學(xué)生通過一步又一步的分析和運(yùn)算來證明題中需要證明的問題，因此對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來說是一個(gè)非常重要的難點(diǎn)問題。例如我們可以從例1中進(jìn)行分析：

例1：如圖1所示平行四邊形ABCD是正方形，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，P為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，PECF為矩形，證明：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF。

這道題是一道很簡(jiǎn)單的平行和垂直證明的問題，我們可以用向量來證明，具體的解題思路：（1）運(yùn)用向量我們建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示。（2）我們可以對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行坐標(biāo)設(shè)置。（3）可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行解析證明。

證明：（1）如圖2，首先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（t，t），0≦t≦1,在這之中，AEF的坐標(biāo)分別為：（0，1）、（t，0）、（1，t），所以AP=（t，t-1），EF=（1-t，t）.

所以|AP|=t2+（t-1）2=|EF|，即PA=EF；

（2）又因?yàn)锳P·EF=（t1-t）+（t-1）t=0，所以AP⊥EF.

2.向量在解決不等式問題上的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的不等式問題也是教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，在解答不等式問題時(shí)如果用常規(guī)的問題進(jìn)行解析，將提高解題的難度，不利于學(xué)生的理解和學(xué)習(xí)，同時(shí)也浪費(fèi)了學(xué)生解題的時(shí)間，但是如果可以將向量準(zhǔn)確的應(yīng)用其中，就是一種很有效率的解題方法，我們可以從例2中來看：

例2：已知x+y+z=1，證明：x2+y2+z2≧1/3

證明：設(shè)p=（x，y，z），q=（1，1，1），則|p·q|≦|p|·|q|。

所以|x+y+z|≦x2+y2+z2·3。

由此可以得出x2+y2+z2≧1/3

所以從該例題中我們得知當(dāng)遇到不等式的問題時(shí)，向量的應(yīng)用可以很好的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用向量假設(shè)的方法，將代數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化成向量的不等式，然后運(yùn)用代入的方法將不等式代入其中。這樣既可以節(jié)約學(xué)生的解題時(shí)間，又便于學(xué)生和判卷老師的理解，是解題的方式更加的靈活和方便化。

3.向量在解決三角函數(shù)問題上的應(yīng)用

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)不僅是高中教學(xué)的重點(diǎn)同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn)，利用空間向量的方法可以很好的解答三角函數(shù)的問題，可以在簡(jiǎn)化解答步驟的同時(shí)，降低解題的實(shí)際難度，同時(shí)還有利于對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。我們可以從例3中進(jìn)行分析：

例3：用向量的解法，求證cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

證明：設(shè)（e1，e2）為平面上的正交基，m，n為平面上的向量，假設(shè)m和e1之間的夾角為α，n和e2的夾角為β，并且向量m在（e1,e2）上的坐標(biāo)為（cosα,cosβ）,n的坐標(biāo)為（cosβ,cosβ）；

那么|m|=|n|=1。

則 m·n=|m|·|n|·cos（α-β）=（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

所以此命題成立。

結(jié)語

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)難度逐漸提升，而向量則是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)運(yùn)用，它貫穿到學(xué)生解題的方方面面，所以通過向量的深入學(xué)習(xí)來解決高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)題型，從而使解題的思路更加靈活。

[1]朱慶華.向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（嘗試創(chuàng)新版）,2014,(5):26.