在探索規(guī)律過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想

高燕

[摘 要]“找規(guī)律”是一個(gè)讓學(xué)生探究事物之間的內(nèi)在聯(lián)系或變化趨勢(shì)的過(guò)程。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，因此應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生在探索規(guī)律過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟，在教學(xué)中增加數(shù)學(xué)思維的滲透。

[關(guān)鍵詞]探索 規(guī)律 感悟 思想

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）02-056

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿把“四基”：基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為目標(biāo)體系。數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，其重要性不言而喻?！罢乙?guī)律”是一個(gè)讓學(xué)生探究事物之間的內(nèi)在聯(lián)系或變化趨勢(shì)的過(guò)程。隨著新課程研究的深入，人們?cè)絹?lái)越深刻地認(rèn)識(shí)到這一內(nèi)容所蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵和教育價(jià)值。但在實(shí)際教學(xué)中，普遍存在著“重規(guī)律的獲得，輕過(guò)程的尋找；重規(guī)律的運(yùn)用，輕思想的探尋”。“找規(guī)律”不僅要關(guān)注學(xué)生是否能理解并嘗試運(yùn)用規(guī)律，還應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生在探索規(guī)律過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟。筆者結(jié)合蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“簡(jiǎn)單圖形覆蓋現(xiàn)象的規(guī)律”的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬?duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透。

一、有效親歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法是一種基于數(shù)學(xué)知識(shí)又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的隱性知識(shí)，它比數(shù)學(xué)知識(shí)更抽象。因此，需要為學(xué)生設(shè)計(jì)一些生動(dòng)、有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中展開觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理與交流，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用。那么，我們?cè)谠O(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)該如何關(guān)注數(shù)學(xué)思想呢？

找規(guī)律，重在“找”，找就得讓學(xué)生親歷“找”的過(guò)程。教師應(yīng)幫助學(xué)生在找規(guī)律的過(guò)程中學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，才能充分彰顯找規(guī)律的教育價(jià)值。為此，在教學(xué)“找規(guī)律”的新授環(huán)節(jié)，我著重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三次探索：

第一次探索：了解平移，感知規(guī)律

找出圖形覆蓋現(xiàn)象中的規(guī)律，難點(diǎn)是根據(jù)平移的次數(shù)，推算出被圖形覆蓋的總次數(shù)。在引導(dǎo)學(xué)生尋找“張數(shù)”與“拿法”關(guān)系時(shí)，我將電影票用數(shù)進(jìn)行編號(hào)，通過(guò)“符號(hào)化”，抽象成框數(shù)字問(wèn)題，將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，為滲透數(shù)學(xué)建模思想做準(zhǔn)備?！邦^腦不是一個(gè)等待填滿的容器，而是一支等待燃燒的火把。”在探究規(guī)律過(guò)程中，教師要注意充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法尋找規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)習(xí)方式多樣化，使學(xué)生的主體地位得到真正的回歸與確立。比如，在尋找“從10張電影票中拿兩張連號(hào)票，共有多少種不同的拿法”時(shí)，有的學(xué)生用連線，有的用圈數(shù)，有的用一一列舉，有的用框數(shù)字的方法。魅力源自生活提煉，教師鼓勵(lì)學(xué)生用自己的生活經(jīng)驗(yàn)表達(dá)對(duì)規(guī)律的理解，讓學(xué)生充分親歷規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體會(huì)有序思考的價(jià)值。學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上清楚地了解了“平移”的方法，為后面的探究過(guò)程掃除了認(rèn)知障礙，并初步感知“平移的次數(shù)”和“一共有幾種拿法”之間的關(guān)系。

第二次探索：猜想驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

首先，注重體驗(yàn)感悟，逐步抽象?！懊看文?張連號(hào)的票，會(huì)有多少種不同的拿法”是學(xué)生在本節(jié)課中的第二次操作，至此學(xué)生已隱隱感覺(jué)到有一種內(nèi)在規(guī)律，但還處于“口欲言而不能達(dá)”的不確定狀態(tài)。教師結(jié)合課件形象化的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察前面兩次操作得到的拿法和平移的次數(shù)、每次拿票張數(shù)之間的變化關(guān)系。接著順勢(shì)提出“如果每次拿4張或5張連號(hào)的票，能分別得到多少種不同的拿法”后，并沒(méi)有讓學(xué)生進(jìn)行操作，而是讓學(xué)生先猜想，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，再通過(guò)演示平移驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。接著教師引導(dǎo)學(xué)生在有序思考的基礎(chǔ)上觀察表格，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，再逐級(jí)抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)，即用“算式計(jì)算”，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)算式內(nèi)涵，初步感知數(shù)學(xué)模型思想。其次，利用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展思維。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少自覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬(wàn)事難。”數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。“算法”的抽象，應(yīng)建立在形象的模型的基礎(chǔ)之上。如：在用課件驗(yàn)證學(xué)生的猜想后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧用框平移的過(guò)程，再觀察表格中的數(shù)據(jù)，此時(shí)學(xué)生的形象思維與抽象思維齊頭并進(jìn)，有助于學(xué)生用更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。相信如果沒(méi)有形象的支撐，學(xué)生的理解也許最終會(huì)演變?yōu)樘啄Ｊ浇忸}。

第三次探索：歸納類推，完善認(rèn)知

在學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）試一試

1.如果將電影券的總張數(shù)由10張?jiān)黾拥?5張，你能用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接說(shuō)說(shuō)每次拿兩張連號(hào)券，一共有多少種拿法嗎？

2.如果每次拿3張或4張呢？

（二）練一練

1.下面是小紅設(shè)計(jì)的一條花邊，每次給相鄰兩個(gè)方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？

2.這道題和剛才的題目有區(qū)別嗎？

3.書上也有一條紅色的花邊，試著獨(dú)立解答。

4.如果給緊連的3個(gè)方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？每次蓋上5個(gè)方格呢？

（三）完善認(rèn)知，深化思維

1.如果方格不是13個(gè)，而是n個(gè)，每次給相鄰的兩個(gè)方格蓋上紅色透明紙后，一共有多少種不同的蓋法？用字母列式表示。

2.如果一共有n個(gè)方格，每次給相鄰的a個(gè)方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？你會(huì)用字母列式表示嗎？

3.揭示課題：簡(jiǎn)單圖形覆蓋的規(guī)律。（板書：圖形覆蓋）

【思考】著名數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾曾說(shuō)：“任何熔巖將凝固，任何思辨的新生事物都在其自身中包含著算法的萌芽，這是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)……算法化意味著鞏固，意味著由一個(gè)平臺(tái)向更高點(diǎn)的跳躍。”經(jīng)過(guò)前面兩次探索，學(xué)生對(duì)規(guī)律有了感性的了解，初步感知“算法化”。在進(jìn)行第三次探索過(guò)程中，教師很快把學(xué)生的目光由10個(gè)數(shù)引向15、13個(gè)數(shù)，學(xué)生的思維也不斷被引向深入。從用“框數(shù)字”平移的方法找規(guī)律，到將規(guī)律“算法化”，再到用“字母式子“概括規(guī)律，學(xué)生初步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)化的形式表示規(guī)律，從而把思維和推理提高到一個(gè)更高的層次。

二、在實(shí)踐反思、靈活應(yīng)用中提煉數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法的獲得，一是來(lái)自于教師有意識(shí)的滲透和訓(xùn)練，二是靠學(xué)生自身反思過(guò)程中的領(lǐng)悟。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注問(wèn)題解決的一般過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的策略，更應(yīng)該在解決問(wèn)題以后有意識(shí)地“引導(dǎo)學(xué)生表述解決問(wèn)題的思路”“重視引導(dǎo)學(xué)生交流與反思”，逐步形成反思的習(xí)慣，“促進(jìn)學(xué)生將解決問(wèn)題的方法策略內(nèi)化為個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。只有這樣，才能對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有所認(rèn)識(shí)，由此對(duì)數(shù)學(xué)的理解一定會(huì)由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍。

比如在揭示出圖形覆蓋的規(guī)律后，我讓學(xué)生回過(guò)頭來(lái)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決課一開始提出的問(wèn)題：“從100張連號(hào)票中，每次拿兩張連號(hào)票，有多少種不同的拿法？”在驗(yàn)證學(xué)生的猜測(cè)之后，組織學(xué)生反思解決問(wèn)題的思維過(guò)程，并以圖文結(jié)合的方法清晰地展現(xiàn)出來(lái)：明確問(wèn)題——猜測(cè)——探究規(guī)律——建立模型——驗(yàn)證——解決問(wèn)題。緊接著我又拋出一個(gè)問(wèn)題：“同學(xué)們，回顧我們解決問(wèn)題的過(guò)程，我們還從中學(xué)到了什么？”沉默一會(huì)，有學(xué)生領(lǐng)會(huì)了，說(shuō)：“我主要學(xué)會(huì)了研究問(wèn)題的方法?！蔽尹c(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)：“是呀，究竟一共有多少種拿法并不重要，重要的是我們共同經(jīng)歷了研究問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)于復(fù)雜的圖形覆蓋的規(guī)律問(wèn)題，我們可以通過(guò)猜測(cè)，采用化繁為簡(jiǎn)的方法將其轉(zhuǎn)化成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，再通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問(wèn)題，驗(yàn)證我們的猜測(cè)，這是解決科學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要方法?！庇辛诉@樣的反思，將圖形覆蓋問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和策略直觀呈現(xiàn)，強(qiáng)化了學(xué)生的認(rèn)知，拓展解決問(wèn)題的策略和方法，形成策略意識(shí)。

在讓學(xué)生感受了圖形覆蓋問(wèn)題的解決策略后，我設(shè)計(jì)了一系列座位的變式問(wèn)題：

（1）同學(xué)們，我們學(xué)校的禮堂一排有13個(gè)座位。要讓唐明雨和茆雪她倆坐在一起，并且唐明雨在茆雪的右邊，在同一排有多少種不同的坐法？

（2）高老師坐在她倆的中間，有多少種不同的坐法？

（3）還是讓她倆坐在一塊，去掉一個(gè)條件“唐明雨在茆雪的右邊”，其他條件不變，有多少種不同的坐法？為什么？

（4）當(dāng)唐明雨和茆雪來(lái)到禮堂時(shí)，這一排已經(jīng)坐了另一名同學(xué)。（課件演示）如果1號(hào)座位已經(jīng)有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

（5）如果這一排6號(hào)位置已經(jīng)有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

教師引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行變式訓(xùn)練，進(jìn)一步運(yùn)用“化歸思想”遷移解決類似圖形覆蓋問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的建模意識(shí)和應(yīng)用規(guī)律的能力。

“數(shù)學(xué)思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數(shù)學(xué)思考變成一堆符號(hào)讓學(xué)生去死記，以至讓美麗的數(shù)學(xué)淹沒(méi)在形式化的海洋里?！保◤埖熘妫臄?shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn)和形成過(guò)程來(lái)說(shuō)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是立竿見影的，而是一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過(guò)程。要真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教材滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，需要數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步更新觀念，加強(qiáng)學(xué)習(xí)，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升；深入研讀教材，提高思想方法滲透的自覺(jué)性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復(fù)性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效的發(fā)展，進(jìn)而“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維”。

（責(zé)編 羅 艷）